Teorema de isomorfismo de Almgren

El teorema de isomorfismo de Almgren es un resultado de la teoría de la medida geométrica y la topología algebraica sobre la topología del espacio de ciclos planos en una variedad de Riemann.

El teorema juega un papel fundamental en la teoría min-max de Almgren-Pitts ya que establece la existencia de familias de ciclos topológicamente no triviales, que fueron utilizadas por Frederick J. Almgren Jr. , Jon T. Pitts y otros para demostrar la existencia de subvariedades mínimas (posiblemente singulares) en cada variedad de Riemann. En el caso especial del espacio de ciclos de codimensión 1 nulo-homólogos con coeficientes módulo 2 en una variedad de Riemann cerrada, el teorema de isomorfismo de Almgren implica que es débilmente homotópicamente equivalente al espacio proyectivo real infinito . ^[1]

Sea M una variedad riemanniana . El teorema de isomorfismo de Almgren afirma que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos de dimensión k en M es isomorfo al (m+k)-ésimo grupo de homología dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold–Thom , que puede considerarse como el caso k=0 del teorema de Almgren (1962a (versión tesis doctoral), ^[2] 1962b (versión Topología (Elsevier) ^[3] ) ^[4] . El isomorfismo se define de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano y denote el espacio de ciclos planos con coeficientes en el grupo G. A cada familia de ciclos asociamos un (m+k)-ciclo C de la siguiente manera. Fijemos una triangulación fina T de . A cada vértice v en el 0-esqueleto de T asociamos un ciclo f(v). A cada arista E en el 1-esqueleto de T con ∂E=vw asociamos una cadena (k+1) con un límite f(v)-f(w) de masa mínima. Procedemos de esta manera por inducción sobre el esqueleto de T. La suma de todas las cadenas correspondientes a caras m-dimensionales de T será el ciclo (m+k) deseado C. Aunque las opciones de triangulación y rellenos de masa mínima no fueron únicas, todas dan como resultado un ciclo (m+k) en la misma clase de homología. ^[5]$Estilo de visualización Zk(M;G)$${\displaystyle f:S^{m}\rightarrow Z_{k}(M;G)}$$Estilo de visualización Sm$

• Almgren, Frederick Justin (1962a). Los grupos de homotopía de los grupos de ciclos integrales (Tesis). OCLC  22016723.
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• Friedlander, Eric M.; Lawson, H. Blaine (2009). "Mapeos de grafos y dualidad de Poincaré". Anales matemáticos . 343 (2): 431–461. doi :10.1007/s00208-008-0278-4. S2CID  8779502.
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• Marques, Fernando C.; Neves, André (2013). "Aplicaciones de la teoría mín-máx de Almgren-Pitts". Desarrollos actuales en matemáticas . 2013 : 1–71. doi : 10.4310/CDM.2013.v2013.n1.a1 .
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• White, Brian (1997), "Las matemáticas de F. J. Almgren Jr." (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 44 (11): 1451–1456, ISSN  0002-9920, MR  1488574, Zbl  0908.01017

• Li, Yangyang (2019). "Notas de Yangyang Li sobre Almgren-Pitts min-max" (PDF) . S2CID  221792677.