Teorema de isomorfismo de Almgren

El teorema de isomorfismo de Almgren es un resultado de la teoría geométrica de la medida y la topología algebraica sobre la topología del espacio de ciclos planos en una variedad riemanniana.

El teorema desempeña un papel fundamental en la teoría min-max de Almgren-Pitts, ya que establece la existencia de familias de ciclos topológicamente no triviales, que fueron utilizadas por Frederick J. Almgren Jr. , Jon T. Pitts y otros para demostrar la existencia de subvariedades mínimas (posiblemente singulares) en toda variedad riemanniana. En el caso especial del espacio de ciclos de codimensión 1 con coeficientes módulo 2 y homólogos nulos en una variedad riemanniana cerrada, el teorema de isomorfismo de Almgren implica que es débilmente homotópicamente equivalente al espacio proyectivo real infinito . ^{[ 1 ]}

Sea M una variedad riemanniana . El teorema de isomorfismo de Almgren afirma que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos k-dimensionales en M es isomorfo al grupo de homología (m+k)-dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold-Thom , que puede considerarse como el caso k=0 del teorema de Almgren ( 1962a (ver. tesis doctoral) , ^{[ 2 ]} 1962b (ver. Topology (Elsevier) ^{[ 3 ]} ) ^{[ 4 ])} . El isomorfismo se define de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano y${\displaystyle Z_{k}(M;G)}$denotemos el espacio de ciclos planos con coeficientes en el grupo G. A cada familia de ciclos${\displaystyle f:S^{m}\rightarrow Z_{k}(M;G)}$Asociamos un ciclo (m+k) C de la siguiente manera. Fijemos una triangulación fina T de${\displaystyle S^{m}}$A cada vértice v en el esqueleto 0 de T le asociamos un ciclo f(v). A cada arista E en el esqueleto 1 de T con ∂E=vw le asociamos una cadena (k+1) con frontera f(v)-f(w) de masa mínima. Procedemos de esta manera por inducción sobre el esqueleto de T. La suma de todas las cadenas correspondientes a las caras m-dimensionales de T será el ciclo (m+k) deseado C. Aunque las elecciones de triangulación y rellenos de masa mínima no fueron únicas, todas resultan en un ciclo (m+k) en la misma clase de homología. ^{[ 5 ]}

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