Construcción ambiental

Supongamos que M es una variedad conforme y que [ g ] denota la métrica conforme definida en M. Sea π  : N → M el subfibrado tautológico de T ^* M ⊗ T ^* M definido por todos los representantes de la métrica conforme. En términos de una métrica de fondo fija g ₀ , N consta de todos los múltiplos positivos ω ² g ₀ de la métrica. Hay una acción natural de R ⁺ sobre N , dada por

${\displaystyle \delta _{\omega }g=\omega ^{2}g}$

Además, el espacio total de N lleva una métrica degenerada tautológica, pues si p es un punto de la fibra de π  : N → M correspondiente al representante conforme g _p , entonces sea

${\displaystyle h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).}$

Esta métrica degenera a lo largo de las direcciones verticales. Además, es homogénea de grado 2 bajo la acción R ^{+ sobre} N :

${\displaystyle \delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h}$

Sea X el campo vectorial vertical que genera la acción de escala. Entonces, las siguientes propiedades son inmediatas:

h ( X ,-) = 0

L _X h = 2 h , donde L _X es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X .

Sea N ^~ = N × (-1,1), con la inclusión natural i  : N → N ^~ . Las dilataciones δ _ω se extienden naturalmente a N ^~ , y por lo tanto también lo hace el generador X de dilatación.

Una métrica ambiental en N ^~ es una métrica lorentziana h ^~ tal que

• La métrica es homogénea : δ _ω ^* h ^~ = ω ² h ^~
• La métrica es una extensión ambiental : i ^* h ^~ = h , donde i ^* es el retroceso a lo largo de la inclusión natural.
• La métrica es Ricci plana : Ric( h ^~ ) = 0.

Supongamos que se elige un representante fijo de la métrica conforme g y un sistema de coordenadas local x = ( x ^{i ) en} M. Estos inducen coordenadas en N al identificar un punto en la fibra de N con ( x , t ² g ( x )) donde t > 0 es la coordenada de la fibra. (En estas coordenadas, X = t ∂ _t .) Finalmente, si ρ es una función definitoria de N en N ^~ que es homogénea de grado 0 bajo dilataciones, entonces ( x , t , ρ ) son coordenadas de N ^~ . Además, cualquier métrica de extensión que sea homogénea de grado 2 puede escribirse en estas coordenadas de la forma:

${\displaystyle h^{\sim }=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,}$

donde las g _ij son n ² funciones con g ( x ,0) = g ( x ), el representante conforme dado.

Tras algunos cálculos se demuestra que la planitud de Ricci es equivalente a la siguiente ecuación diferencial, donde la prima es la diferenciación con respecto a ρ :

${\displaystyle \rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_ {ij}=0.}$

Se puede entonces resolver formalmente esta ecuación como una serie de potencias en ρ para obtener el desarrollo asintótico de la métrica ambiente fuera del cono nulo. Por ejemplo, sustituyendo ρ = 0 y resolviendo se obtiene

g _ij ^′ ( x ,0) = 2 P _ij

donde P es el tensor de Schouten . A continuación, diferenciando de nuevo y sustituyendo el valor conocido de g _ij ^′ ( x ,0) en la ecuación, se puede encontrar que la segunda derivada es un múltiplo del tensor de Bach . Y así sucesivamente.