colector plano de Ricci

En el campo matemático de la geometría diferencial , la planitud de Ricci es una condición sobre la curvatura de una variedad riemanniana . Las variedades planas de Ricci son un tipo especial de variedad de Einstein . En física teórica , las variedades lorentzianas planas de Ricci son de interés fundamental, ya que son las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío con constante cosmológica nula .

En geometría lorentziana, se conocen varias métricas Ricci-planas gracias a los trabajos de Karl Schwarzschild , Roy Kerr y Yvonne Choquet-Bruhat . En geometría riemanniana , la resolución de la conjetura de Calabi por Shing-Tung Yau produjo varias métricas Ricci-planas en variedades de Kähler .

Se dice que una variedad pseudoriemanniana es Ricci-plana si su curvatura de Ricci es cero. ^{[ 1 ]} Es directo verificar que, excepto en dimensión dos, una métrica es Ricci-plana si y solo si su tensor de Einstein es cero. ^{[ 2 ]} Las variedades Ricci-planas son uno de los tres tipos especiales de variedades de Einstein , que surgen como el caso especial de curvatura escalar igual a cero.

A partir de la definición del tensor de curvatura de Weyl , es directo ver que cualquier métrica Ricci-plana tiene una curvatura de Weyl igual al tensor de curvatura de Riemann . Tomando trazas , es sencillo ver que lo contrario también se cumple. Esto también puede expresarse diciendo que la Ricci-planitud se caracteriza por la anulación de las dos partes no-Weyl de la descomposición de Ricci .

Dado que la curvatura de Weyl se anula en dos o tres dimensiones, toda métrica Ricci-plana en estas dimensiones es plana . Por el contrario, de las definiciones se deduce automáticamente que cualquier métrica plana es Ricci-plana. El estudio de las métricas planas suele considerarse un tema independiente. Por lo tanto, el estudio de las métricas Ricci-planas solo constituye un tema distinto en la cuarta dimensión y superiores.

Como se mencionó anteriormente, cualquier métrica plana es Ricci-plana. Sin embargo, no es trivial identificar variedades Ricci-planas cuya curvatura total sea distinta de cero.

En 1916, Karl Schwarzschild descubrió las métricas de Schwarzschild , que son variedades lorentzianas de curvatura no nula y de Ricci plana. ^{[ 3 ]} Posteriormente, Roy Kerr descubrió las métricas de Kerr , una familia de dos parámetros que incluye las métricas de Schwarzschild como un caso particular. ^{[ 4 ]} Estas métricas son completamente explícitas y de interés fundamental en las matemáticas y la física de los agujeros negros . De forma más general, en la relatividad general , las variedades lorentzianas de Ricci plana representan las soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica nula . ^{[ 5 ]}

Muchas variedades pseudoriemannianas se construyen como espacios homogéneos . Sin embargo, estas construcciones no son directamente útiles para las métricas riemannianas Ricci-planas, en el sentido de que cualquier variedad riemanniana homogénea Ricci-plana debe ser plana. ^{[ 6 ]} No obstante, existen variedades lorentzianas homogéneas (e incluso simétricas ) que son Ricci-planas pero no planas, como se deduce de una construcción y cálculo explícitos de álgebras de Lie . ^{[ 7 ]}

Hasta la resolución de la conjetura de Calabi por Shing-Tung Yau en la década de 1970, se desconocía si toda métrica riemanniana Ricci-plana en una variedad cerrada era plana. ^{[ 8 ]} Su trabajo, utilizando técnicas de ecuaciones diferenciales parciales , estableció una teoría de existencia integral para métricas Ricci-planas en el caso especial de métricas de Kähler en variedades complejas cerradas . Debido a sus técnicas analíticas, las métricas no son explícitas incluso en los casos más simples. Estas variedades riemannianas se denominan a menudo variedades de Calabi-Yau , aunque varios autores utilizan este nombre de maneras ligeramente diferentes. ^{[ 9 ]}

En relación con las coordenadas armónicas , la condición de planitud de Ricci para una métrica riemanniana puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Es una consecuencia directa de los resultados estándar de regularidad elíptica que cualquier métrica riemanniana de Ricci plana en una variedad diferenciable es analítica, en el sentido de que las coordenadas armónicas definen una estructura analítica compatible y la representación local de la métrica es analítica real . Esto también se cumple en el contexto más amplio de las métricas riemannianas de Einstein. ^{[ 10 ]}

Análogamente, en relación con las coordenadas armónicas, la planitud de Ricci de una métrica lorentziana puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Partiendo de esta perspectiva, Yvonne Choquet-Bruhat desarrolló la buena formulación de la condición de planitud de Ricci. En la década de 1960, en colaboración con Robert Geroch , llegó a un resultado definitivo que estableció cómo se prescribe y construye una determinada clase de métricas lorentzianas planas de Ricci máximamente extendidas mediante ciertos datos riemannianos. Estas se conocen como desarrollos hiperbólicos globales máximos . En relatividad general, esto se interpreta típicamente como una formulación de valor inicial de las ecuaciones de campo de Einstein para la gravitación. ^{[ 11 ]}

El estudio de la planitud de Ricci en los casos riemanniano y lorentziano presenta diferencias notables. Esto se evidencia en la distinción fundamental entre las métricas geodésicamente completas, típicas de la geometría riemanniana, y los desarrollos hiperbólicos globales máximos derivados del trabajo de Choquet-Bruhat y Geroch. Además, la analiticidad y la correspondiente continuación única de una métrica riemanniana de Ricci plana poseen un carácter fundamentalmente distinto al de las métricas lorentzianas de Ricci planas, que presentan velocidades de propagación finitas y fenómenos totalmente localizables. Esto puede considerarse un análogo geométrico no lineal de la diferencia entre la ecuación de Laplace y la ecuación de onda .

El teorema de existencia de Yau para métricas de Kähler Ricci-planas estableció la condición topológica precisa bajo la cual existe dicha métrica en una variedad compleja cerrada dada : la primera clase de Chern del fibrado tangente holomorfo debe ser cero. La necesidad de esta condición ya era conocida por la teoría de Chern-Weil .

Más allá de la geometría de Kähler, la situación no se comprende tan bien. Una variedad cerrada y orientada de cuatro dimensiones que admite cualquier métrica riemanniana de Einstein debe satisfacer la desigualdad de Hitchin-Thorpe en sus datos topológicos. Como casos particulares de teoremas bien conocidos sobre variedades riemannianas de curvatura de Ricci no negativa, cualquier variedad con una métrica riemanniana completa y plana de Ricci debe: ^{[ 12 ]}

• tener el primer número de Betti menor o igual a la dimensión, siempre que la variedad esté cerrada
• tienen un grupo fundamental de crecimiento polinomial.

Mikhael Gromov y Blaine Lawson introdujeron la noción de ampliabilidad de una variedad cerrada. La clase de variedades ampliables es cerrada bajo la equivalencia homotópica , la toma de productos y bajo la suma conexa con una variedad cerrada arbitraria. Toda variedad riemanniana Ricci-plana en esta clase es plana, lo cual es un corolario del teorema de descomposición de Cheeger y Gromoll . ^{[ 13 ]}

En una variedad de Kähler simplemente conexa , una métrica de Kähler es Ricci-plana si y solo si el grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario especial . En una variedad de Kähler general, la dirección "si" sigue siendo válida, pero solo el grupo de holonomía restringido de una métrica de Kähler Ricci-plana está necesariamente contenido en el grupo unitario especial. ^{[ 14 ]}

Una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico . Esta condición en una variedad riemanniana también puede caracterizarse (en términos generales) por la existencia de una 2-esfera de estructuras complejas que son todas paralelas . Esto significa, en particular, que toda métrica hiperkähler es de Kähler; además, mediante el teorema de Ambrose-Singer , toda métrica de este tipo es Ricci-plana. El teorema de Calabi-Yau se especializa en este contexto, proporcionando un teorema general de existencia y unicidad para métricas hiperkähler en variedades de Kähler compactas que admiten estructuras simplécticas holomorfas. Ejemplos de métricas hiperkähler en espacios no compactos habían sido obtenidos previamente por Eugenio Calabi . El espacio de Eguchi-Hanson , descubierto al mismo tiempo, es un caso especial de su construcción. ^{[ 15 ]}

Una variedad de Kähler cuaternión es una variedad riemanniana cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo de Lie Sp(n)·Sp(1) . Marcel Berger demostró que cualquier métrica de este tipo debe ser de Einstein. Además, cualquier variedad de Kähler cuaternión plana de Ricci debe ser localmente hiperkähler, lo que significa que el grupo de holonomía restringido está contenido en el grupo simpléctico. ^{[ 16 ]}

Una variedad G2 o variedad Spin(7) _es una variedad riemanniana cuyo grupo de holonomía está contenido en los grupos de Lie _Spin (7) o G2 . El teorema de Ambrose-Singer implica que cualquier variedad de este tipo es Ricci-plana. ^{[ 17 ]} La ​​existencia de variedades cerradas de este tipo fue establecida por Dominic Joyce en la década de 1990. ^{[ 18 ]}

Marcel Berger comentó que todos los ejemplos conocidos de métricas riemannianas irreducibles de Ricci planas en variedades cerradas simplemente conexas tienen grupos de holonomía especiales, según las posibilidades anteriores. Se desconoce si esto sugiere un teorema general desconocido o simplemente una limitación de las técnicas conocidas. Por esta razón, Berger consideraba que las variedades de Ricci planas eran «extremadamente misteriosas». ^{[ 19 ]}

Notas.

Fuentes.