Geometría conforme

El grupo conforme para la forma cuadrática de Minkowski q ( x , y ) = 2 xy en el plano es el grupo de Lie abeliano .

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

con álgebra de Lie cso (1, 1) que consiste en todas las matrices diagonales reales de 2 × 2 .

Consideremos ahora el avión de Minkowski,${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$equipado con la métrica

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Un grupo de transformaciones conformes de un parámetro da lugar a un campo vectorial X con la propiedad de que la derivada de Lie de g a lo largo de X es proporcional a g . Simbólicamente,

L _X g = λg  para algún λ .

En particular, utilizando la descripción anterior del álgebra de Lie cso (1, 1) , esto implica que

1. ∫ L _X dx = a ( x ) dx 
2. L _X dy = b ( y ) dy 

para algunas funciones de valor real a y b que dependen, respectivamente, de x e y .

Por el contrario, dado cualquier par de funciones de valor real, existe un campo vectorial X que satisface 1 y 2. Por lo tanto, el álgebra de Lie de simetrías infinitesimales de la estructura conforme, el álgebra de Witt , es de dimensión infinita .

La compactificación conforme del plano de Minkowski es un producto cartesiano de dos círculos S ¹ × S ¹ . En el recubrimiento universal , no hay obstrucción para integrar las simetrías infinitesimales, por lo que el grupo de transformaciones conformes es el grupo de Lie de dimensión infinita.

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

donde Diff( S ¹ ) es el grupo de difeomorfismos del círculo. ^{[ 1 ]}

El grupo conforme CSO(1, 1) y su álgebra de Lie son de interés actual en la teoría de campos conformes bidimensionales .

El grupo de simetrías conformes de la forma cuadrática

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

es el grupo GL ₁ ( C ) = C ^× , el grupo multiplicativo de los números complejos. Su álgebra de Lie es gl ₁ ( C ) = C .

Consideremos el plano complejo (euclidiano) equipado con la métrica

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Las simetrías conformes infinitesimales satisfacen

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _ {X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

donde f satisface la ecuación de Cauchy-Riemann y, por lo tanto, es holomorfa sobre su dominio. (Véase álgebra de Witt ).

Por lo tanto, las isometrías conformes de un dominio consisten en automapas holomorfos. En particular, en la compactificación conforme —la esfera de Riemann— las transformaciones conformes vienen dadas por las transformaciones de Möbius .

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde ad − bc es distinto de cero.

El modelo inversivo de geometría conforme consiste en el grupo de transformaciones locales en el espacio euclidiano E ⁿ generado por inversión en esferas. Según el teorema de Liouville , cualquier transformación local (conforme) que preserve los ángulos es de esta forma. ^{[ 5 ]} Desde esta perspectiva, las propiedades de transformación del espacio conforme plano son las de la geometría inversiva .

El modelo proyectivo identifica la esfera conforme con una cierta cuádrica en un espacio proyectivo . Sea q la forma cuadrática lorentziana en R ^{n +2} definida por

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

En el espacio proyectivo P ( R ^{n +2} ), sea S el lugar geométrico de q = 0. Entonces S es el modelo proyectivo (o de Möbius) de la geometría conforme. Una transformación conforme en S es una transformación lineal proyectiva de P ( R ^{n +2} ) que deja invariante la cuádrica.

En una construcción relacionada, la cuádrica S se considera como la esfera celeste en el infinito del cono nulo en el espacio pseudoeuclidiano R ^{n +1,1} , que está equipado con la forma cuadrática q como se indicó anteriormente. El cono nulo se define por

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Este es el cono afín sobre la cuádrica proyectiva S. Sea N ⁺ la parte futura del cono nulo (con el origen eliminado). Entonces, la proyección tautológica R ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} ) se restringe a una proyección N ⁺ → S. Esto le da a N ⁺ la estructura de un fibrado lineal sobre S. Las transformaciones conformes en S son inducidas por las transformaciones de Lorentz ortócronas de R ^{n +1,1} , ya que estas son transformaciones lineales homogéneas que preservan el futuro cono nulo.

Intuitivamente, la geometría conformemente plana de una esfera es menos rígida que la geometría riemanniana de una esfera. Las simetrías conformes de una esfera se generan mediante la inversión en todas sus hiperesferas . Por otro lado, las isometrías riemannianas de una esfera se generan mediante inversiones en hiperesferas geodésicas (véase el teorema de Cartan-Dieudonné ). La esfera euclidiana se puede mapear a la esfera conforme de manera canónica, pero no a la inversa.

La esfera unitaria euclidiana es el lugar geométrico en R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Esto se puede mapear al espacio pseudo-euclidiano R ^{n +1,1} haciendo lo siguiente:

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Se observa fácilmente que la imagen de la esfera bajo esta transformación es nula en el espacio pseudoeuclidiano, y por lo tanto se encuentra sobre el cono N ⁺ . En consecuencia, determina una sección transversal del fibrado de líneas N ⁺ → S .

Sin embargo, hubo una elección arbitraria. Si κ ( x ) es cualquier función positiva de x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , entonces la asignación

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

también proporciona un mapeo en N ⁺ . La función κ es una elección arbitraria de escala conforme .

Una métrica riemanniana representativa en la esfera es una métrica proporcional a la métrica estándar de la esfera. Esto proporciona una realización de la esfera como una variedad conforme . La métrica estándar de la esfera es la restricción de la métrica euclidiana en R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

a la esfera

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Un representante conforme de g es una métrica de la forma λ ² g , donde λ es una función positiva en la esfera. La clase conforme de g , denotada [ g ], es la colección de todos esos representantes:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Una incrustación de la esfera euclidiana en N ⁺ , como en la sección anterior, determina una escala conforme en S . Recíprocamente, cualquier escala conforme en S viene dada por dicha incrustación. Así, el fibrado de líneas N ⁺ → S se identifica con el fibrado de escalas conformes en S : dar una sección de este fibrado equivale a especificar una métrica en la clase conforme [ g ].

Otra forma de realizar las métricas representativas es mediante un sistema de coordenadas especial en R ^{n +1,1} . Supongamos que la n -esfera euclidiana S lleva un sistema de coordenadas estereográficas . Este consiste en el siguiente mapeo de R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

En términos de estas coordenadas estereográficas, es posible dar un sistema de coordenadas en el cono nulo N ⁺ en el espacio pseudoeuclidiano. Usando la incrustación dada anteriormente, la sección métrica representativa del cono nulo es

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Introducir una nueva variable t correspondiente a dilataciones hasta N ⁺ , de modo que el cono nulo se coordina mediante

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Finalmente, sea ρ la siguiente función definitoria de N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

En las coordenadas t , ρ , y en R ^{n +1,1} , la métrica lorentziana toma la forma:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

donde g _ij es la métrica en la esfera.

En estos términos, una sección del fibrado N ⁺ consiste en una especificación del valor de la variable t = t ( y ⁱ ) como función de y ⁱ a lo largo del cono nulo ρ = 0 . Esto produce el siguiente representante de la métrica conforme en S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

Consideremos primero el caso de la geometría conforme plana en signatura euclidiana. El modelo n -dimensional es la esfera celeste del espacio lorentziano ( n +2) -dimensional R ^{n +1,1} . Aquí el modelo es una geometría de Klein : un espacio homogéneo G / H donde G = SO( n +1,1) actuando sobre el espacio lorentziano ( n +2) -dimensional R ^{n +1,1} y H es el grupo de isotropía de un rayo nulo fijo en el cono de luz . Así, los modelos conformemente planos son los espacios de geometría inversiva . Para la pseudoeuclidiana de signatura métrica ( p , q ) , la geometría plana del modelo se define análogamente como el espacio homogéneo O( p +1, q +1) / H , donde H se toma de nuevo como el estabilizador de una línea nula. Nótese que tanto los espacios modelo euclidianos como los pseudoeuclidianos son compactos .

Para describir los grupos y álgebras involucrados en el espacio modelo plano, fijemos la siguiente forma en R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

donde J es una forma cuadrática de signatura ( p , q ) . Entonces G = O( p + 1, q + 1) consta de ( n + 2) × ( n + 2) matrices que estabilizan Q  : ^t MQM = Q (el superíndice t significa transpuesta). El álgebra de Lie admite una descomposición de Cartan

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{\text{t}}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{\text{t}}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Alternativamente, esta descomposición concuerda con una estructura de álgebra de Lie natural definida en R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

El estabilizador del rayo nulo que apunta hacia arriba del último vector de coordenadas viene dado por la subálgebra de Borel.

h = g ₀ ⊕ g ₁ .