Función analítica

En análisis matemático , una función analítica es aquella que se representa localmente mediante una serie de potencias convergente . Más precisamente, una función real o compleja es analítica en un punto si, en algún entorno de dicho punto, es igual a una serie de potencias centrada allí. Por lo tanto, la función analítica está determinada localmente por los coeficientes de la serie, o equivalentemente por las derivadas de la función evaluadas en el centro del desarrollo en serie. En otras palabras, una función analítica es aquella que se representa localmente mediante una serie de Taylor convergente .

Las funciones analíticas aparecen tanto en el análisis real como en el análisis complejo , aunque de maneras ligeramente diferentes. Una función analítica real o compleja es necesariamente suave , es decir, tiene derivadas de todos los órdenes. Sin embargo, una función real suave no tiene por qué ser analítica. Por el contrario, una función compleja definida en un conjunto abierto es analítica si y solo si es holomorfa , es decir, complejamente diferenciable en cada punto del conjunto. Por esta razón, en el análisis complejo los términos función analítica y función holomorfa se utilizan a menudo indistintamente. Los términos analítica compleja y analítica real distinguen entre estos casos. En el procesamiento de señales , una función analítica compleja a veces se denomina señal analítica .

La analiticidad es una condición de regularidad estricta. Las funciones analíticas presentan un comportamiento local rígido: por ejemplo, en un dominio conexo, una función analítica cuyos ceros tienen un punto de acumulación debe anularse idénticamente. Ejemplos estándar incluyen los polinomios , la función exponencial y las funciones trigonométricas en sus dominios de analiticidad.

Formalmente, una función${\displaystyle f}$es analítica real en un conjunto abierto${\displaystyle D}$en la línea real si para cada${\displaystyle x_{0}\in D}$uno puede escribir $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$$ en el que los coeficientes${\displaystyle a_{0}}$,​​${\displaystyle a_{1}}$⁠ , ...son números reales y esta serie (el lado derecho de esta ecuación) es convergente a${\displaystyle f(x)}$para${\displaystyle x}$en un barrio de${\displaystyle x_{0}}$(es decir, un conjunto que contiene un conjunto abierto que incluye ⁠${\displaystyle x_{0}}$⁠ ).

Alternativamente, una función analítica real es una función infinitamente diferenciable tal que la serie de Taylor en cada punto${\displaystyle x_{0}}$en su dominio $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$$ converge a${\displaystyle f(x)}$para${\displaystyle x}$en un barrio de${\displaystyle x_{0}}$puntualmente . ^{[ a ]} ​​El conjunto de todas las funciones analíticas reales en un conjunto dado${\displaystyle D}$a menudo se denota por ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$⁠ , o simplemente por${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }}$si se comprende el dominio.

Una función${\displaystyle f}$Se dice que una función definida en algún subconjunto de la recta real es analítica real en un punto.${\displaystyle x}$si hay un vecindario${\displaystyle D}$de${\displaystyle x}$sobre la cual una serie de potencias centrada en${\displaystyle x}$converge a${\displaystyle f}$.

La definición de una función analítica compleja se obtiene sustituyendo, en las definiciones anteriores, "real" por "compleja" y "recta real" por "plano complejo". Una función es analítica compleja si y solo si es holomorfa , es decir, es diferenciable en el sentido complejo. Por esta razón, los términos "holomorfa" y "analítica" se utilizan a menudo indistintamente para referirse a dichas funciones. ^{[ 1 ]}

En análisis complejo, una función se denomina analítica en un conjunto abierto .${\displaystyle U}$⁠ si es (complejo) diferenciable en cada punto de ⁠${\displaystyle U}$⁠ . ^{[ 2 ]}

Ejemplos típicos de funciones analíticas son:

• Las siguientes funciones elementales :
  • Todos los polinomios : si un polinomio tiene grado ⁠${\displaystyle n}$⁠ , cualquier término de grado mayor que ⁠${\displaystyle n}$En su desarrollo en serie de Taylor , debe anularse inmediatamente a 0, por lo que esta serie será trivialmente convergente. Además, cada polinomio es su propia serie de Maclaurin .
  • La función exponencial es analítica. Cualquier serie de Taylor para esta función converge no solo para${\displaystyle x}$lo suficientemente cerca de${\displaystyle x_{0}}$( como en la definición) pero para todos los valores de${\displaystyle x}$( real o complejo).
  • Las funciones trigonométricas son analíticas en cualquier conjunto abierto de su dominio.
  • El logaritmo natural es analítico en cualquier conjunto abierto donde su rama sea unívoca, como por ejemplo:${\displaystyle (0,\infty )}$o el complemento en la esfera de Riemann de cualquier arco simple que conecte${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \infty }$.
  • Las funciones potenciales son analíticas en todas partes para potencias enteras no negativas, alejadas de cero para potencias enteras negativas y para potencias complejas arbitrarias en cualquier subconjunto abierto del plano complejo donde el logaritmo sea analítico.
• Muchas funciones especiales son analíticas en un dominio adecuado:
  • funciones hipergeométricas en dominios adecuados
  • Funciones de Bessel en dominios adecuados
  • La función gamma se aleja de sus polos en cero y los enteros negativos.
  • La función zeta de Riemann, excepto por un polo simple en${\displaystyle 1}$
• Las funciones algebraicas son analíticas lejos de cualquier polo o punto de ramificación que puedan tener. Cerca de un punto de ramificación, una función algebraica puede representarse mediante una serie de Puiseux convergente ; equivalentemente, después de un cambio de variable.${\displaystyle za=t^{e}}$, se vuelve analítico en función de${\displaystyle t}$.

Ejemplos típicos de funciones que no son analíticas son:

• La función de valor absoluto${\displaystyle x\mapsto |x|}$sobre los números reales no es analítico en${\displaystyle 0}$. La función correspondiente${\displaystyle z\mapsto |z|}$sobre los números complejos no es analítica compleja en ningún subconjunto abierto no vacío de${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Las funciones definidas por partes (funciones dadas por fórmulas diferentes en regiones diferentes) normalmente no son analíticas en el punto donde se unen las partes.
• La función conjugada compleja${\displaystyle z\to z^{*}}$⁠ no es analítica compleja, aunque su restricción a la recta real es la función identidad y por lo tanto analítica real, y es analítica real como función de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$a​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ .
• Otras funciones suaves no analíticas , y en particular cualquier función suave${\displaystyle f}$con soporte compacto que no es idénticamente cero, es decir${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\setminus \{0\}}$no puede ser analítico en todos los aspectos${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^{[ 3 ]}

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle f}$es analítica real en un conjunto abierto${\displaystyle D}$⁠ .
2. Existe una extensión analítica compleja de${\displaystyle f}$a un conjunto abierto${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$que contiene${\displaystyle D}$⁠ .
3. ${\displaystyle f}$es suave y para cada conjunto compacto${\displaystyle K\subset D}$existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que para cada${\displaystyle x\in K}$y todo entero no negativo${\displaystyle k}$Se cumple la siguiente cota; ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

Las funciones analíticas complejas son exactamente equivalentes a las funciones holomorfas y, por lo tanto, son mucho más fáciles de caracterizar.

Para el caso de una función analítica con varias variables (véase más abajo), la analiticidad real se puede caracterizar utilizando la transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer .

En el caso multivariable, las funciones analíticas reales satisfacen una generalización directa de la tercera caracterización. ^{[ 5 ]} Sea${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$Sea un conjunto abierto, y sea${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$Entonces​${\displaystyle f}$es real analítico en${\displaystyle U}$si y solo si${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$y por cada compacto${\displaystyle K\subsetequ U}$existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que para cada índice múltiple${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _ {\geq 0}^{n}}$Se cumple el siguiente límite ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha$$ !}

• Las sumas, productos y composiciones de funciones analíticas son analíticas.
• El recíproco de una función analítica que no es cero en ningún punto es analítico.
• En una variable, la inversa de una función analítica biyectiva cuya derivada no es cero en ningún punto es analítica. En varias variables, la condición correspondiente es que la derivada sea una transformación lineal invertible, o equivalentemente, que el determinante jacobiano sea distinto de cero.
• Toda función analítica es suave , es decir, infinitamente diferenciable. Lo contrario no es cierto para las funciones reales; de hecho, en cierto sentido, las funciones analíticas reales son escasas en comparación con todas las funciones reales infinitamente diferenciables. Para los números complejos, sí se cumple lo contrario: toda función con una única derivada compleja en un conjunto abierto es analítica en ese conjunto (véase §  Analiticidad y diferenciabilidad ).
• Para cualquier conjunto abierto${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$⁠ , el conjunto ⁠${\displaystyle A(\Omega )}$de todas las funciones analíticas${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$es un espacio de Fréchet con respecto a la convergencia uniforme en conjuntos compactos. El hecho de que los límites uniformes en conjuntos compactos de funciones analíticas sean analíticos es una consecuencia sencilla del teorema de Morera . El conjunto${\ Displaystyle A _ {\ infty} (\ Omega)}$de todas las funciones analíticas acotadas con la norma del supremo es un espacio de Banach .
• En cambio, las funciones analíticas reales en un conjunto abierto no son completas bajo la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos, ya que los límites compactos-abiertos de funciones analíticas reales no necesariamente son analíticas reales. Las funciones analíticas reales son densas en el espacio de funciones continuas en la topología compacto-abierta.

Un polinomio no puede ser cero en demasiados puntos a menos que sea el polinomio cero (más precisamente, el número de ceros es como máximo el grado del polinomio). Una afirmación similar pero más débil se aplica a las funciones analíticas. Si el conjunto de ceros de una función analítica${\displaystyle f}$Si tiene un punto de acumulación dentro de su dominio , entonces${\displaystyle f}$⁠ es cero en todas partes del componente conectado que contiene el punto de acumulación. En otras palabras, si ⁠${\displaystyle (r_{n})}$es una secuencia de números distintos tal que${\displaystyle f(r_{n})=0}$para todos​${\displaystyle n}$y esta secuencia converge a un punto${\displaystyle r}$en el dominio de${\displaystyle D}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle f}$⁠ es idénticamente cero en la componente conexa de ⁠${\displaystyle D}$que contiene​${\displaystyle r}$Esto se conoce como el teorema de identidad .

Además, si todas las derivadas de una función analítica en un punto son cero, la función es constante en la componente conexa correspondiente.

Estas afirmaciones implican que, si bien las funciones analíticas tienen más grados de libertad que los polinomios, siguen siendo bastante rígidas.

Como se indicó anteriormente, cualquier función (real o compleja) es infinitamente diferenciable en un entorno donde es igual a una serie de potencias convergente. En un entorno de un punto de analiticidad, existe una serie de potencias convergente igual a la función en dicho entorno, por lo que la función es infinitamente diferenciable allí. Existen funciones reales suaves que no son analíticas: véase Función suave no analítica . De hecho, existen muchas funciones de este tipo.

La situación es bastante diferente cuando se consideran funciones analíticas complejas y derivadas complejas. Cualquier función diferenciable compleja en un disco abierto centrado en${\displaystyle z=z_{0}}$( función holomorfa ) es analítica allí , y recíprocamente cualquier función dada por una serie de potencias convergente en la variable compleja.${\displaystyle z-z_{0}}$es diferenciable compleja (e infinitamente diferenciable) en el disco de convergencia. En consecuencia, en análisis complejo, el término función analítica es sinónimo de función holomorfa .

Las funciones analíticas reales y complejas presentan diferencias importantes (que pueden observarse incluso en su distinta relación con la diferenciabilidad). La analiticidad de las funciones complejas es una propiedad más restrictiva, ya que tiene condiciones necesarias más estrictas y las funciones analíticas complejas poseen mayor estructura que sus contrapartes de la recta real. ^{[ 7 ]}

Según el teorema de Liouville , cualquier función analítica compleja acotada definida en todo el plano complejo es constante. La afirmación correspondiente para funciones analíticas reales, con el plano complejo reemplazado por la recta real, es claramente falsa; esto se ilustra mediante $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$

Además, si una función analítica compleja se define en una bola abierta alrededor de un punto${\displaystyle x_{0}}$⁠ , su expansión en serie de potencias en ⁠${\displaystyle x_{0}}$⁠ es convergente en toda la bola abierta ( las funciones holomorfas son analíticas ). Esta afirmación para funciones analíticas reales (donde bola abierta significa un intervalo abierto de la recta real en lugar de un disco abierto del plano complejo) no es cierta en general; la función del ejemplo anterior da un ejemplo para ⁠${\displaystyle x_{0}=0}$y una bola de radio mayor que ${\displaystyle 1}$⁠ , ya que la serie de potencias ⁠${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$diverge para​${\displaystyle \vert x\vert \geq 1}$⁠ .

Cualquier función analítica real en algún conjunto abierto de la recta real puede extenderse a una función analítica compleja en algún conjunto abierto del plano complejo. Sin embargo, no toda función analítica real definida en toda la recta real puede extenderse a una función compleja definida en todo el plano complejo. La función${\displaystyle f(x)}$⁠ definido en el párrafo anterior es un contraejemplo, ya que no está definido para ⁠${\displaystyle x=\pm i}$⁠ . Esto explica por qué la serie de Taylor de ⁠${\displaystyle f(x)}$diverge para​${\displaystyle \vert x\vert >1}$⁠ , es decir, el radio de convergencia es ⁠${\displaystyle 1}$⁠ porque la función complejizada tiene un polo a distancia ⁠${\displaystyle 1}$desde el punto de evaluación${\displaystyle 0}$y ningún otro polo dentro del disco abierto de radio${\displaystyle 1}$alrededor del punto de evaluación.

Si una función es analítica en${\displaystyle a}$, entonces su serie de Taylor converge a la función en algún entorno abierto de${\displaystyle a}$De forma más general, para cualquier serie de potencias $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n},}$$ hay un número${\displaystyle R}$llamado radio de convergencia , que puede ser cualquier número no negativo o${\displaystyle +\infty }$, de tal manera que la serie de potencias converge absolutamente para${\displaystyle |xa|<R}$y diverge para${\displaystyle |xa|>R}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Por lo tanto, cuando una serie de Taylor converge, lo hace en un intervalo abierto centrado en${\displaystyle a}$en el caso real, o un disco centrado en${\displaystyle a}$en el caso complejo. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Una serie de Taylor puede converger absoluta o condicionalmente en algunos, todos o ninguno de los puntos límite del intervalo abierto o disco. ^{[ 12 ]}

En análisis complejo, el radio de convergencia de una función holomorfa en un punto es el radio del disco abierto más grande centrado en ese punto en el que la función sigue siendo holomorfa. En muchos casos comunes, esta es la distancia a la singularidad más cercana de la función en el plano complejo. ^{[ 13 ]}

Esto explica los diferentes radios de convergencia para las series de Taylor conocidas. La serie para${\displaystyle e^{z}}$,${\displaystyle \sin z}$, y${\displaystyle \cos z}$tienen radio de convergencia infinito porque son funciones enteras , sin singularidades en el plano complejo. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Por el contrario, la serie de Taylor para${\displaystyle \log(1+z)}$alrededor${\displaystyle z=0}$tiene radio de convergencia${\displaystyle 1}$, porque la singularidad más cercana está en${\displaystyle z=-1}$. ^{[ 16 ]}

Las singularidades complejas pueden determinar el radio de convergencia incluso para funciones que son suaves en la recta real. Por ejemplo, aunque $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ es suave para todos los reales${\displaystyle x}$, el radio de convergencia de su serie de Taylor alrededor de${\displaystyle x=0}$es${\displaystyle 1}$, porque la función compleja correspondiente tiene singularidades en${\displaystyle x=i}$y${\displaystyle x=-i}$, que son puntos del círculo unitario complejo. ^{[ 17 ]} Por lo tanto, incluso para funciones de valor real, el papel de las singularidades complejas es importante: una función puede ser infinitamente diferenciable en toda la recta real y, sin embargo, tener una serie de Taylor con un radio de convergencia finito, porque la obstrucción límite puede provenir de singularidades en la función compleja correspondiente en lugar de cualquier fallo de suavidad en el eje real. ^{[ 18 ]}

Una serie de potencias puede converger en cada punto del límite de su disco de convergencia y aun así no extenderse holomorfamente más allá de ese disco. Por ejemplo, si${\displaystyle \alpha >0}$si no es un número entero, entonces la serie binomial$${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}z^{n}}$$ tiene radio de convergencia${\displaystyle R=1}$. ^{[ 19 ]} La serie converge en todas partes en el disco unitario cerrado, incluyendo cada punto límite. Sin embargo, para no enteros${\displaystyle \alpha }$, la función${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$no se extiende como una función holomorfa de valor único a ningún entorno de${\displaystyle z=-1}$. ^{[ 20 ]} Por lo tanto, la obstrucción a la continuación analítica en el punto límite${\displaystyle z=-1}$no es un fallo de convergencia de la serie de potencias, ni un polo o singularidad esencial , sino la ramificación de la continuación analítica. En efecto,${\displaystyle z=-1}$es un punto de ramificación de la función. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Esto ilustra que la convergencia en el disco cerrado es más débil que la extendibilidad holomorfa más allá del límite.

Dado que las funciones analíticas se representan localmente mediante series de potencias, un valor de la función en un entorno pequeño puede, en ocasiones, determinar valores en una región más amplia. Este proceso se denomina continuación analítica . Partiendo de una representación en serie de potencias en un entorno, a veces se puede utilizar para definir la función en entornos superpuestos y continuar este proceso a lo largo de trayectorias en el dominio.

La continuación analítica es única cuando existe en un dominio conexo. Más precisamente, si dos funciones analíticas en un conjunto abierto conexo coinciden en un subconjunto abierto no vacío, o más generalmente en un conjunto que tiene un punto de acumulación en el dominio, entonces coinciden en todo ese conjunto abierto conexo. Esta es una forma del teorema de identidad .

Sin embargo, la continuación analítica no tiene por qué ser posible en todas partes, ni tiene por qué ser unívoca. Por ejemplo, el logaritmo natural es localmente analítico en${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, pero la continuación por un camino cerrado que rodea${\displaystyle 0}$cambia su valor en un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi i}$Por esta razón, se puede definir una rama unívoca del logaritmo en dominios como${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$, pero no en todos los${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$Tomar una única función analítica en un disco y formar todas sus posibles continuaciones analíticas conduce, en general, a una superficie de Riemann que cubre un subconjunto abierto de la esfera de Riemann . La función analítica global obtenida de esta manera es, naturalmente, un haz en lugar de una función: cada germen es una serie de potencias convergente en algún disco, pero varios gérmenes pueden apilarse unos sobre otros. ^{[ 23 ]}

Las funciones algebraicas proporcionan otra fuente de continuación analítica multivaluada. Por ejemplo, la función${\displaystyle f(z)={\sqrt {1-z}}}$es analítica, donde la rama es tal que${\displaystyle f(0)=1}$, tiene una serie de potencias convergente en el disco${\displaystyle |z|<1}$. Se puede continuar alrededor de un bucle que lo encierre${\displaystyle z=1}$pero se transforma en su negativo después de un solo bucle. La superficie de Riemann asociada a una función algebraica es una cubierta ramificada finita de la esfera de Riemann.

Muchas funciones especiales se definen primero mediante una serie de potencias o una fórmula integral en un dominio restringido y luego se extienden mediante continuación analítica. Por ejemplo, la función zeta de Riemann se define inicialmente mediante la serie de Dirichlet.$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, pero tiene una continuación meromorfa al plano complejo, con un único polo simple en${\displaystyle s=1}$.

Es posible definir funciones analíticas de varias variables mediante series de potencias de dichas variables (véase Series de potencias ). Las funciones analíticas de varias variables comparten algunas propiedades con las funciones analíticas de una variable. Sin embargo, especialmente en el caso de funciones analíticas complejas, surgen fenómenos nuevos e interesantes en dos o más dimensiones complejas:

• Los conjuntos nulos de funciones analíticas complejas en más de una variable nunca son discretos si no son vacíos. Esto se puede demostrar mediante el teorema de extensión de Hartogs .
• Los dominios de holomorfía para funciones unívocas consisten en conjuntos abiertos (conexos) arbitrarios. Sin embargo, en varias variables complejas, solo algunos conjuntos abiertos conexos son dominios de holomorfía. La caracterización de los dominios de holomorfía conduce a la noción de pseudoconvexidad .

Nociones análogas de analiticidad pueden formularse sobre otros cuerpos valuados completos , siendo los números reales y complejos los dos más destacados donde el valor absoluto es arquimediano . Las funciones analíticas también pueden definirse sobre cuerpos locales no arquimedianos , como los números p-ádicos.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y sus campos de extensión finitos , y campos de series de Laurent formales.${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$sobre un cuerpo finito . ^{[ 24 ]}

Si${\displaystyle K}$es un campo valorado completo, una función en un entorno de un punto${\displaystyle a\in K}$Se denomina analítica si se representa localmente mediante una serie de potencias convergente. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}$$ con coeficientes en${\displaystyle K}$En el caso no arquimediano, la convergencia está regida por un valor absoluto ultramétrico , y la teoría resultante difiere significativamente tanto del análisis real como del complejo. ^{[ 25 ]}

Por ejemplo, una serie de potencias sobre${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$ converge a una función analítica sobre los enteros p -ádicos.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid |x|_{p}\leq 1\}}$si y solo si $${\displaystyle |a_{n}|_{p}\to 0.}$$ De igual modo, la serie sobre un campo de extensión finito${\displaystyle K}$de un cuerpo p -ádico converge en el anillo de enteros si y solo si${\displaystyle |a_{n}|_{K}\to 0}$. La razón es el criterio ultramétrico: si${\displaystyle |x|_{K}\leq 1}$, entonces${\displaystyle |a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|}$y la ultrametricidad implica que cualquier segmento medio de la serie satisface $${\displaystyle \left|\sum _{n=N}^{M}a_{n}x^{n}\right|_{K}\leq \max _{N\leq n\leq M}|a_{n}|.}$$

En términos más generales, en el disco cerrado $${\displaystyle a+\pi ^{m}{\mathcal {O}}_{K}=\{x:|x-a|\leq |\pi |^{m}\},}$$ una serie $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}$$ converge en ese disco si y solo si $${\displaystyle |b_{n}|\,|\pi |^{mn}\to 0.}$$ Aquí${\displaystyle \pi }$denota el uniformizador de${\displaystyle K|\mathbb {Q} _{p}}$.

Sobre un cuerpo no arquimediano, el anillo de funciones analíticas en un disco cerrado se relaciona así con el álgebra de Tate , el álgebra de series de potencias cuyos coeficientes tienden a cero con suficiente rapidez. Este punto de vista es fundamental en la geometría analítica rígida y otras formas de geometría analítica no arquimediana. ^{[ 26 ]}

• ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Función holomorfa
• Teorema de Paley-Wiener
• Función cuasi-analítica
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función suave no analítica

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I. Textos de posgrado en matemáticas 11 (2.ª  ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (2002). Introducción a las funciones analíticas reales (2.ª  ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.
• Gamelin, Theodore W. (2004). Análisis complejo . Saltador. ISBN 9788181281142.

• "Función analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función analítica" . MathWorld .
• Solucionador para todos los ceros de una función analítica compleja que se encuentran dentro de una región rectangular, por Ivan B. Ivanov.