Momento angular

El momento angular es una magnitud vectorial (más precisamente, un pseudovector ) que representa el producto de la inercia rotacional de un cuerpo y su velocidad rotacional (en radianes/seg) alrededor de un eje particular. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula se encuentra en un solo plano , es suficiente descartar la naturaleza vectorial del momento angular y tratarlo como un escalar (más precisamente, un pseudoescalar ). ^{[ 5 ]} El momento angular puede considerarse un análogo rotacional del momento lineal. Por lo tanto, donde el momento lineal p es proporcional a la masa m y a la velocidad lineal v ,$${\displaystyle p=mv,}$$ El momento angular L es proporcional al momento de inercia I y a la velocidad angular ω medida en radianes por segundo. ^{[ 6 ]}$${\displaystyle L=I\omega .}$$

A diferencia de la masa, que depende únicamente de la cantidad de materia, el momento de inercia también depende de la posición del eje de rotación y de la distribución de la materia. A diferencia de la velocidad lineal, que no depende de la elección del origen, la velocidad angular orbital siempre se mide con respecto a un origen fijo. Por lo tanto, en sentido estricto, L debería denominarse momento angular relativo a ese centro . ^{[ 7 ]}

En el caso del movimiento circular de una sola partícula, podemos usar${\displaystyle I=r^{2}m}$y${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$para expandir el momento angular como${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$reduciendo a: $${\displaystyle L=rmv,}$$

el producto del radio de rotación r y el momento lineal de la partícula${\displaystyle p=mv}$, dónde${\displaystyle v=r\omega }$es la velocidad lineal (tangencial) .

Este sencillo análisis también puede aplicarse al movimiento no circular si se utiliza la componente del movimiento perpendicular al vector de radio : $${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$ dónde${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$es la componente perpendicular del movimiento. Expandiendo,${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$reorganizando,${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$y reduciendo, el momento angular también puede expresarse, $${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$ dónde${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$es la longitud del brazo de palanca , una línea trazada perpendicularmente desde el origen sobre la trayectoria de la partícula. Es a esta definición, (longitud del brazo de palanca) × (momento lineal) , a la que se refiere el término momento de inercia . ^{[ 8 ]}

Otro enfoque consiste en definir el momento angular como el momento conjugado (también llamado momento canónico ) de la coordenada angular.${\displaystyle \phi }$expresado en el lagrangiano del sistema mecánico. Consideremos un sistema mecánico con una masa${\displaystyle m}$obligado a moverse en un círculo de radio${\displaystyle r}$en ausencia de cualquier campo de fuerza externo. La energía cinética del sistema es $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

Y la energía potencial es $${\displaystyle U=0.}$$

Entonces el lagrangiano es $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)}=TU={\tfrac {1}{2}}sr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

El momento generalizado "canónicamente conjugado a" la coordenada${\displaystyle \phi }$se define por $${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

Para definir completamente el momento angular orbital en tres dimensiones , es necesario conocer la velocidad a la que el vector de posición barre un ángulo, la dirección perpendicular al plano instantáneo de desplazamiento angular y la masa involucrada, así como su distribución espacial. ^{[ 9 ]} Al conservar esta naturaleza vectorial del momento angular, se mantiene la naturaleza general de las ecuaciones, que pueden describir cualquier tipo de movimiento tridimensional alrededor del centro de rotación: circular , lineal o de cualquier otro tipo. En notación vectorial , el momento angular orbital de una partícula puntual en movimiento alrededor del origen se puede expresar como: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$ dónde

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$es el momento de inercia de una masa puntual ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$es la velocidad angular orbital de la partícula alrededor del origen,
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de la partícula con respecto al origen, y${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad lineal de la partícula con respecto al origen, y
• ${\displaystyle m}$es la masa de la partícula.

Esto se puede expandir, reducir y, mediante las reglas del álgebra vectorial , reorganizar: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ que es el producto vectorial del vector de posición${\displaystyle \mathbf {r} }$y el momento lineal${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$de la partícula. Por definición del producto vectorial, el${\displaystyle \mathbf {L} }$El vector es perpendicular a ambos${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {p} }$. Está dirigido perpendicularmente al plano de desplazamiento angular, como lo indica la regla de la mano derecha , de modo que la velocidad angular se ve como en sentido antihorario desde la cabeza del vector. Por el contrario, el${\displaystyle \mathbf {L} }$El vector define el plano en el que${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {p} }$mentir.

Al definir un vector unitario${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$perpendicular al plano de desplazamiento angular, una velocidad angular escalar${\displaystyle \omega }$resultados, donde $${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$y $${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$dónde${\displaystyle v_{\perp }}$es la componente perpendicular del movimiento, como se indicó anteriormente.

Las ecuaciones escalares bidimensionales de la sección anterior pueden, por lo tanto, recibir una dirección: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$ y${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$para el movimiento circular, donde todo el movimiento es perpendicular al radio${\displaystyle r}$.

En el sistema de coordenadas esféricas, el vector de momento angular se expresa como

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

La segunda ley del movimiento de Newton se puede expresar matemáticamente, $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ o fuerza = masa × aceleración . El equivalente rotacional para partículas puntuales se puede derivar de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$ lo que significa que el torque (es decir, la derivada temporal del momento angular) es $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}$$

Porque el momento de inercia es${\displaystyle mr^{2}}$De ello se deduce que${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$, y${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$lo cual se reduce a $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$ Este es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Cabe destacar que el torque no es necesariamente proporcional ni paralelo a la aceleración angular (como cabría esperar). Esto se debe a que el momento de inercia de una partícula puede variar con el tiempo, algo que no ocurre con la masa ordinaria.

Una analogía rotacional de la tercera ley del movimiento de Newton podría escribirse así: «En un sistema aislado , no se puede ejercer ningún torque sobre ninguna materia sin que se ejerza sobre otra materia un torque igual y opuesto alrededor del mismo eje». ^{[ 20 ]} Por lo tanto, el momento angular puede intercambiarse entre objetos en un sistema aislado, pero el momento angular total antes y después de un intercambio permanece constante (se conserva) . ^{[ 21 ]}

Visto de otra manera, una analogía rotacional de la primera ley del movimiento de Newton podría escribirse: «Un cuerpo rígido continúa en un estado de rotación uniforme a menos que actúe sobre él una influencia externa». ^{[ 20 ]} Por lo tanto , sin ninguna influencia externa que actúe sobre él, el momento angular original del sistema permanece constante . ^{[ 22 ]}

La conservación del momento angular se utiliza para analizar el movimiento de fuerza central . Si la fuerza neta sobre un cuerpo siempre se dirige hacia un punto, el centro , entonces no hay torque sobre el cuerpo con respecto al centro, ya que toda la fuerza se dirige a lo largo del vector de radio y ninguna es perpendicular al radio. Matemáticamente, el torque${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$porque en este caso${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {F} }$son vectores paralelos. Por lo tanto, el momento angular del cuerpo respecto al centro es constante. Este es el caso de la atracción gravitatoria en las órbitas de planetas y satélites , donde la fuerza gravitatoria siempre está dirigida hacia el cuerpo principal y los cuerpos en órbita conservan el momento angular intercambiando distancia y velocidad a medida que se mueven alrededor del principal. El movimiento de fuerza central también se utiliza en el análisis del modelo atómico de Bohr .

En un planeta, el momento angular se distribuye entre su rotación y su traslación en órbita, y estos se intercambian frecuentemente mediante diversos mecanismos. La conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna da como resultado la transferencia de momento angular de la Tierra a la Luna, debido al par de marea que la Luna ejerce sobre la Tierra. Esto, a su vez, provoca una disminución de la velocidad de rotación de la Tierra, de aproximadamente 65,7 nanosegundos por día, ^{[ 23 ]} y un aumento gradual del radio de la órbita lunar, de aproximadamente 3,82  centímetros por año. ^{[ 24 ]}

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de un patinador sobre hielo al acercar sus brazos y piernas al eje vertical de rotación. Al acercar parte de la masa de su cuerpo al eje, disminuye su momento de inercia. Dado que el momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular , si el momento angular se mantiene constante (se conserva), la velocidad angular (rapidez de rotación) del patinador debe aumentar.

Este mismo fenómeno da como resultado una rotación extremadamente rápida de las estrellas compactas (como las enanas blancas , las estrellas de neutrones y los agujeros negros ) cuando se forman a partir de estrellas mucho más grandes y de rotación más lenta.

La conservación no siempre explica completamente la dinámica de un sistema, pero es una restricción fundamental. Por ejemplo, una peonza está sujeta a un par gravitatorio que la inclina y modifica su momento angular respecto al eje de nutación ; sin embargo, si se ignora la fricción en el punto de contacto, conserva su momento angular respecto a su eje de rotación y a su eje de precesión . Asimismo, en cualquier sistema planetario , los planetas, las estrellas, los cometas y los asteroides pueden moverse de diversas maneras complejas, siempre y cuando se conserve el momento angular del sistema.

El teorema de Noether establece que toda ley de conservación está asociada a una simetría (invariante) de la física subyacente. La simetría asociada a la conservación del momento angular es la invariancia rotacional . El hecho de que la física de un sistema no cambie si se rota cualquier ángulo alrededor de un eje implica que el momento angular se conserva. ^{[ 25 ]}

Si bien la conservación total del momento angular puede entenderse por separado de las leyes del movimiento de Newton como derivada del teorema de Noether en sistemas simétricos bajo rotaciones, también puede entenderse simplemente como un método eficiente de cálculo de resultados que también pueden obtenerse directamente de la segunda ley de Newton, junto con las leyes que rigen las fuerzas de la naturaleza (como la tercera ley de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ). De hecho, dadas las condiciones iniciales de posición y velocidad para cada punto, y las fuerzas en dicha condición, se puede usar la segunda ley de Newton para calcular la segunda derivada de la posición, y resolverla proporciona información completa sobre el desarrollo del sistema físico en el tiempo. ^{[ 26 ]} Sin embargo, cabe señalar que esto ya no es cierto en mecánica cuántica , debido a la existencia del espín de la partícula , que es un momento angular que no puede describirse mediante el efecto acumulativo de movimientos puntuales en el espacio.

Como ejemplo, consideremos la disminución del momento de inercia , por ejemplo, cuando un patinador artístico tira de sus manos, acelerando el movimiento circular. En términos de conservación del momento angular, tenemos, para un momento angular L , un momento de inercia I y una velocidad angular ω : $${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

Utilizando esto, vemos que el cambio requiere una energía de: $${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ de modo que una disminución del momento de inercia requiere invertir energía.

Esto se puede comparar con el trabajo realizado calculado mediante las leyes de Newton. Cada punto del cuerpo giratorio acelera, en cada instante, con una aceleración radial de: $${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

Consideremos un punto de masa m , cuyo vector de posición con respecto al centro de movimiento es perpendicular al eje z en un instante dado, y se encuentra a una distancia z . La fuerza centrípeta sobre este punto, que mantiene el movimiento circular, es: $${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

Por lo tanto, el trabajo requerido para mover este punto a una distancia dz más alejada del centro de movimiento es: $${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

Para un cuerpo no puntual, se debe integrar sobre esto, reemplazando m por la densidad de masa por unidad de z . Esto da como resultado: $${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ que es precisamente la energía necesaria para mantener conservado el momento angular.

Cabe señalar que el cálculo anterior también puede realizarse por masa, utilizando únicamente la cinemática . Así, el fenómeno de la aceleración de la velocidad tangencial del patinador artístico al acercar las manos al cuerpo puede entenderse de la siguiente manera: las palmas del patinador no se mueven en línea recta, por lo que aceleran constantemente hacia adentro, pero no ganan velocidad adicional porque la aceleración siempre se produce cuando su movimiento hacia adentro es cero. Sin embargo, esto cambia al acercar las palmas al cuerpo: la aceleración debida a la rotación ahora aumenta la velocidad; pero debido a la rotación, el aumento de velocidad no se traduce en una velocidad significativa hacia adentro, sino en un aumento de la velocidad de rotación.

En mecánica clásica se puede demostrar que la invariancia rotacional de los funcionales de acción implica la conservación del momento angular. La acción se define en física clásica como un funcional de posiciones,${\displaystyle x_{i}(t)}$A menudo se representa mediante corchetes, junto con las horas inicial y final. En coordenadas cartesianas, adopta la siguiente forma:$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$donde los índices repetidos indican la suma sobre el índice. Si la acción es invariante ante una transformación infinitesimal, se puede expresar matemáticamente como:${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$.

Bajo la transformación,${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$, la acción se convierte en: $${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$ donde podemos emplear la expansión de los términos hasta primer orden en${\textstyle \delta x_{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$dando el siguiente cambio en la acción: $${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

Dado que todas las rotaciones pueden expresarse como exponencial matricial de matrices antisimétricas, es decir,${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$dónde${\displaystyle M}$es una matriz antisimétrica y${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación, podemos expresar el cambio de coordenadas debido a la rotación.${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$, hasta el primer orden del ángulo infinitesimal de rotación,${\displaystyle \delta \theta }$como: $${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

Combinando la ecuación de movimiento y la invariancia rotacional de la acción , obtenemos de las ecuaciones anteriores que:$${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$Dado que esto es cierto para cualquier matriz${\displaystyle M_{ij}}$que satisface${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$Esto da como resultado la conservación de la siguiente cantidad: $${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$ como${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$Esto corresponde a la conservación del momento angular a lo largo del movimiento. ^{[ 27 ]}

En mecánica lagrangiana , el momento angular de rotación alrededor de un eje dado es el momento conjugado de la coordenada generalizada del ángulo alrededor del mismo eje. Por ejemplo,${\displaystyle L_{z}}$, el momento angular alrededor del eje z, es: $${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$ dónde${\displaystyle {\cal {L}}}$es el lagrangiano y${\displaystyle \theta _{z}}$es el ángulo alrededor del eje z.

Tenga en cuenta que${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$, la derivada temporal del ángulo, es la velocidad angular${\displaystyle \omega _{z}}$. Normalmente, el lagrangiano depende de la velocidad angular a través de la energía cinética: Esta última se puede escribir separando la velocidad en su parte radial y tangencial, siendo la parte tangencial en el plano xy, alrededor del eje z, igual a: $${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ donde el subíndice i representa el i-ésimo cuerpo, y${\displaystyle m}$,${\displaystyle v_{T}}$y${\displaystyle \omega _{z}}$representan la masa, la velocidad tangencial alrededor del eje z y la velocidad angular alrededor de ese eje, respectivamente.

Para un cuerpo que no es puntual, con densidad ρ , tenemos en cambio: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ donde la integración se realiza sobre el área del cuerpo, ^{[ 28 ]} e I _z es el momento de inercia alrededor del eje z.

Por lo tanto, suponiendo que la energía potencial no depende de ω _z (esta suposición puede fallar para sistemas electromagnéticos), tenemos el momento angular del i- ésimo objeto: $${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

Hasta ahora hemos rotado cada objeto un ángulo separado; también podemos definir un ángulo global θz por el cual rotamos todo el sistema, rotando así también cada objeto alrededor del eje z, y tener el momento angular global _:$${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

De las ecuaciones de Euler-Lagrange se deduce entonces que: $${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

Dado que el lagrangiano depende de los ángulos del objeto solo a través del potencial, tenemos: $${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$ que es el torque sobre el i- ésimo objeto.

Supongamos que el sistema es invariante a las rotaciones, de modo que el potencial es independiente de una rotación global por el ángulo θ _z (por lo tanto, puede depender de los ángulos de los objetos solo a través de sus diferencias, en la forma${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$Por lo tanto, obtenemos para el momento angular total: $${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$ Y, por lo tanto, el momento angular alrededor del eje z se conserva.

Este análisis puede repetirse por separado para cada eje, lo que da como resultado la conservación del vector de momento angular. Sin embargo, los ángulos alrededor de los tres ejes no pueden tratarse simultáneamente como coordenadas generalizadas, ya que no son independientes; en particular, dos ángulos por punto bastan para determinar su posición. Si bien es cierto que en el caso de un cuerpo rígido, describirlo completamente requiere, además de tres grados de libertad de traslación , también la especificación de tres grados de libertad de rotación; sin embargo, estos no pueden definirse como rotaciones alrededor de los ejes cartesianos (véase ángulos de Euler ). Esta advertencia se refleja en la mecánica cuántica en las relaciones de conmutación no triviales de las diferentes componentes del operador de momento angular .

De forma equivalente, en mecánica hamiltoniana el hamiltoniano puede describirse como una función del momento angular. Como antes, la parte de la energía cinética relacionada con la rotación alrededor del eje z para el i -ésimo objeto es: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$ lo cual es análogo a la dependencia de la energía con respecto al momento a lo largo del eje z,${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$.

Las ecuaciones de Hamilton relacionan el ángulo alrededor del eje z con su momento conjugado, el momento angular alrededor del mismo eje: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

La primera ecuación da $${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

Y así obtenemos los mismos resultados que en el formalismo lagrangiano.

Nótese que, al combinar todos los ejes, escribimos la energía cinética como: $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|\mathbf {p} _{i}|^{2}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\mathbf {L} _{i}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}\mathbf {L} _{i}\right)}$$ donde p _r es el momento en la dirección radial, y el momento de inercia es una matriz tridimensional ; las letras en negrita representan vectores tridimensionales.

Para cuerpos puntuales tenemos: $${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\mathbf {L} _{i}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

Esta forma de la parte de energía cinética del hamiltoniano es útil para analizar problemas de potencial central y se transforma fácilmente a un marco de trabajo de la mecánica cuántica (por ejemplo, en el problema del átomo de hidrógeno ).

Para un conjunto de partículas en movimiento alrededor de un origen arbitrario, es útil desarrollar la ecuación del momento angular descomponiendo su movimiento en componentes alrededor de su propio centro de masa y alrededor del origen. Dado,

• ${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la partícula${\displaystyle i}$,
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$es el vector de posición de la partícula${\displaystyle i}$con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$es la velocidad de la partícula${\displaystyle i}$con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$es el vector de posición del centro de masa con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$es la velocidad del centro de masa con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es el vector de posición de la partícula${\displaystyle i}$con respecto al centro de masa,
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de la partícula${\displaystyle i}$con respecto al centro de masa,

La masa total de las partículas es simplemente su suma, $${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

El vector de posición del centro de masa se define mediante ^{[ 30 ].}$${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

Mediante inspección,

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$y${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

El momento angular total del conjunto de partículas es la suma del momento angular de cada partícula,

En expansión${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

En expansión${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que (ver barra lateral),

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$y${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

por lo tanto, el segundo y tercer término desaparecen,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

El primer término se puede reorganizar,

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

y el momento angular total para el conjunto de partículas es finalmente, ^{[ 31 ]}

El primer término representa el momento angular del centro de masas con respecto al origen. De forma similar a la sección «  Partícula individual» ( más adelante), se trata del momento angular de una partícula de masa M en el centro de masas que se mueve con velocidad V. El segundo término representa el momento angular de las partículas que se mueven con respecto al centro de masas, de forma similar a la sección «  Centro de masas fijo» (más adelante). El resultado es general: el movimiento de las partículas no se limita a la rotación o revolución alrededor del origen o del centro de masas. Las partículas no tienen por qué ser masas individuales, sino que pueden ser elementos de una distribución continua, como un cuerpo sólido.

Reordenando la ecuación ( 2 ) mediante identidades vectoriales, multiplicando ambos términos por "uno" y agrupando adecuadamente, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$ da el momento angular total del sistema de partículas en términos de momento de inercia${\displaystyle I}$y velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$,

La definición clásica de momento angular como${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$Esto se puede trasladar a la mecánica cuántica, reinterpretando r como el operador de posición cuántica y p como el operador de momento cuántico . L es entonces un operador , específicamente llamado operador de momento angular orbital . Los componentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie SO(3) . ^{[ 37 ]} De hecho, estos operadores son precisamente la acción infinitesimal del grupo de rotación sobre el espacio de Hilbert cuántico . ^{[ 38 ]} (Véase también la discusión posterior sobre los operadores de momento angular como generadores de rotaciones).

Sin embargo, en física cuántica, existe otro tipo de momento angular, denominado momento angular de espín , representado por el operador de espín S. El espín se suele representar como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esta es una imagen engañosa e inexacta: el espín es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio y fundamentalmente diferente del momento angular orbital. Todas las partículas elementales tienen un espín característico, ^{[ 39 ]} que es distinto de cero para todas las partículas elementales excepto el bosón de Higgs (que tiene espín 0, lo que lo convierte en el único bosón escalar elemental conocido ). ^{[ 40 ]} Por ejemplo, los electrones tienen "espín 1/2" (esto en realidad significa "espín ħ /2"), los fotones tienen "espín 1" (esto en realidad significa "espín ħ") y los mesones pi tienen espín 0. ^{[ 41 ]}

Finalmente, existe el momento angular total J , que combina el momento angular de espín y orbital de todas las partículas y campos. (Para una partícula, J = L + S ). La conservación del momento angular se aplica a J , pero no a L ni a S ; por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera entre L y S , permaneciendo el total constante. Los electrones y los fotones no necesariamente tienen valores enteros para el momento angular total, sino que también pueden tener valores semienteros. ^{[ 42 ]}

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N , el momento angular de espín electrónico S y el momento angular de espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota como J en lugar de N. Como explica Van Vleck, ^{[ 43 ]} las componentes del momento angular rovibrónico molecular referidas a ejes fijos a la molécula tienen relaciones de conmutación diferentes a las de las componentes respecto a ejes fijos al espacio.

En mecánica cuántica , el momento angular está cuantizado , es decir, no puede variar de forma continua, sino solo en " saltos cuánticos " entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de las mediciones, donde${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida y${\displaystyle {\hat {n}}}$es cualquier vector euclidiano como x, y o z:

La constante de Planck reducida${\displaystyle \hbar }$Es minúsculo para los estándares cotidianos, aproximadamente 10⁻³⁴ ^J s , por lo que esta cuantización no afecta notablemente el momento angular de los objetos macroscópicos. Sin embargo, es muy importante en el mundo microscópico. Por ejemplo, la estructura de las capas y subcapas electrónicas en química se ve significativamente afectada por la cuantización del momento angular.

La cuantización del momento angular fue postulada por primera vez por Niels Bohr en su modelo del átomo y posteriormente predicha por Erwin Schrödinger en su ecuación de Schrödinger .

En la definición${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$En la imagen aparecen seis operadores: Los operadores de posición${\displaystyle r_{x}}$,${\displaystyle r_{y}}$,${\displaystyle r_{z}}$y los operadores de momento${\displaystyle p_{x}}$,${\displaystyle p_{y}}$,${\displaystyle p_{z}}$Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos indica que no es posible conocer simultáneamente estas seis magnitudes con precisión arbitraria. Por lo tanto, existen límites a lo que se puede conocer o medir sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que se puede hacer es medir simultáneamente tanto la magnitud del vector de momento angular como su componente a lo largo de un eje.

La incertidumbre está estrechamente relacionada con el hecho de que los diferentes componentes de un operador de momento angular no conmutan , por ejemplo${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$(Para conocer las relaciones de conmutación precisas , consulte el operador de momento angular ).

Como se mencionó anteriormente, el momento angular orbital L se define como en la mecánica clásica:${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$, pero el momento angular total J se define de una manera diferente y más básica: J se define como el "generador de rotaciones". ^{[ 44 ]} Más específicamente, J se define de modo que el operador $${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ es el operador de rotación que toma cualquier sistema y lo rota un ángulo${\displaystyle \phi }$alrededor del eje${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$(La "exp" en la fórmula se refiere al operador exponencial ). Dicho de otro modo, sea cual sea nuestro espacio de Hilbert cuántico, esperamos que el grupo de rotación SO(3) actúe sobre él. Existe entonces una acción asociada del álgebra de Lie so(3) de SO(3); los operadores que describen la acción de so(3) sobre nuestro espacio de Hilbert son los operadores de momento angular (total).

La relación entre el operador de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la que existe entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas. Esta estrecha relación entre el momento angular y las rotaciones se refleja en el teorema de Noether , que demuestra que el momento angular se conserva siempre que las leyes de la física sean invariantes bajo rotaciones.

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Patrick d'Arcy comprendieron el momento angular en términos de conservación de la velocidad angular , como resultado de su análisis de la segunda ley de Kepler del movimiento planetario. Es improbable que se percataran de las implicaciones para la materia rotatoria ordinaria. ^{[ 51 ]}

En 1736, Euler, al igual que Newton, tocó algunas de las ecuaciones del momento angular en su Mecánica sin desarrollarlas más. ^{[ 52 ]}

Bernoulli escribió en una carta de 1744 sobre un "momento de movimiento rotacional", posiblemente la primera concepción del momento angular tal como lo entendemos ahora. ^{[ 53 ]}

En 1799, Pierre-Simon Laplace se dio cuenta por primera vez de que un plano fijo estaba asociado con la rotación: su plano invariable .

En 1803, Louis Poinsot comenzó a representar las rotaciones como un segmento de línea perpendicular a la rotación y elaboró ​​el concepto de "conservación de momentos".

En 1852, Léon Foucault utilizó un giroscopio en un experimento para demostrar la rotación de la Tierra.

El Manual de Mecánica Aplicada de William J.M. Rankine, publicado en 1858, definió por primera vez el momento angular en el sentido moderno:

...  una línea cuya longitud es proporcional a la magnitud del momento angular, y cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento del cuerpo y del punto fijo, y tal que, cuando el movimiento del cuerpo se observa desde el extremo de la línea, el vector de radio del cuerpo parece tener una rotación dextrógira.

En una edición de 1872 del mismo libro, Rankine afirmó que «El término momento angular fue introducido por el Sr. Hayward», ^{[ 54 ]} probablemente refiriéndose al artículo de R.B. Hayward, « Sobre un método directo para estimar velocidades, aceleraciones y todas las cantidades similares con respecto a ejes que pueden moverse de cualquier manera en el espacio, con aplicaciones», ^{[ 55 ]} que se introdujo en 1856 y se publicó en 1864. Rankine estaba equivocado, ya que numerosas publicaciones incluyen el término desde finales del siglo XVIII hasta principios del XIX. ^{[ 56 ]} Sin embargo, el artículo de Hayward fue aparentemente el primer uso del término y del concepto conocido por gran parte del mundo angloparlante. Antes de esto, el momento angular se denominaba típicamente «momento de rotación» en inglés. ^{[ 57 ]}