Grupo de rotación 3D

En mecánica y geometría , el grupo de rotación 3D , a menudo denotado SO (3) , es el grupo de todas las rotaciones alrededor del origen del espacio euclidiano tridimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$bajo la operación de composición , que combina dos rotaciones realizándolas una tras otra. ^{[ 1 ]}

Una rotación alrededor de un punto es una transformación que conserva dicho punto, a la vez que preserva la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (por lo que constituye una isometría ) y la orientación (es decir, la quiralidad del espacio). La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; toda rotación tiene una única rotación inversa , y la transformación identidad satisface la definición de rotación. Debido a estas propiedades (junto con la propiedad asociativa de las rotaciones compuestas ), el conjunto de todas las rotaciones constituye un grupo bajo composición.

Toda rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, rotar R 90° en el plano xy seguido de S 90° en el plano yz no es lo mismo que rotar S seguido de R ), lo que convierte al grupo de rotación 3D en un grupo no abeliano . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como una variedad para la cual las operaciones de grupo son diferenciables suavemente , por lo que, de hecho, es un grupo de Lie . Es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son transformaciones lineales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y por lo tanto pueden representarse mediante matrices una vez que se toma como base (los tres vectores unitarios ortogonales de los ejes x, y y z) de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ha sido elegido. Específicamente, si elegimos una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, al multiplicarse por su transpuesta , da como resultado la matriz identidad ) con determinante 1. Por lo tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices . Estas matrices se conocen como "matrices ortogonales especiales", lo que explica la notación SO(3).

El grupo SO(3) se utiliza para describir las posibles simetrías rotacionales de un objeto, así como las posibles orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde dan lugar a las partículas elementales de espín entero .

Además de preservar la longitud, las rotaciones también preservan los ángulos entre vectores. Esto se deduce del hecho de que el producto escalar estándar entre dos vectores u y v se puede escribir únicamente en términos de longitud (véase la ley de los cosenos ): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

De ello se deduce que toda transformación lineal que conserva la longitud en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$conserva el producto escalar y, por lo tanto, el ángulo entre vectores. Las rotaciones a menudo se definen como transformaciones lineales que conservan el producto interno en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, lo cual equivale a exigirles que conserven la longitud. Véase el grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde SO(3) aparece como un caso especial.

Cada rotación mapea una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$a otra base ortonormal. Como cualquier transformación lineal de espacios vectoriales de dimensión finita , una rotación siempre puede representarse mediante una matriz . Sea R una rotación dada. Con respecto a la base estándar e ₁ , e ₂ , e ₃ de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Las columnas de R están dadas por ( Re 1 , Re 2 , Re ₃ ) . Dado que la base estándar es ortonormal, y dado que R conserva los ángulos y la longitud, las columnas de _{R forman} otra base ortonormal. Esta condición de ortonormalidad se puede expresar de la forma

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

donde R ^T denota la transpuesta de R e I es la matriz identidad de 3 × 3. Las matrices que cumplen esta propiedad se denominan matrices ortogonales . El grupo de todas las matrices ortogonales de 3 × 3 se denota como O(3) y consta de todas las rotaciones propias e impropias.

In addition to preserving length, proper rotations must also preserve orientation. A matrix will preserve or reverse orientation according to whether the determinant of the matrix is positive or negative. For an orthogonal matrix R, note that det R^T = det R implies (det R)² = 1, so that det R = ±1. The subgroup of orthogonal matrices with determinant +1 is called the special orthogonal group, denoted SO(3).

Thus every rotation can be represented uniquely by an orthogonal matrix with unit determinant. Moreover, since composition of rotations corresponds to matrix multiplication, the rotation group is isomorphic to the special orthogonal group SO(3).

Improper rotations correspond to orthogonal matrices with determinant −1, and they do not form a group because the product of two improper rotations is a proper rotation.

The rotation group is a group under function composition (or equivalently the product of linear transformations). It is a subgroup of the general linear group consisting of all invertible linear transformations of the real 3-space${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.^[2]

Furthermore, the rotation group is nonabelian. That is, the order in which rotations are composed makes a difference. For example, a quarter turn around the positive x-axis followed by a quarter turn around the positive y-axis is a different rotation than the one obtained by first rotating around y and then x.

The orthogonal group, consisting of all proper and improper rotations, is generated by reflections. Every proper rotation is the composition of two reflections, a special case of the Cartan–Dieudonné theorem.

Every nontrivial proper rotation in 3 dimensions fixes a unique 1-dimensional linear subspace of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ which is called the axis of rotation (this is Euler's rotation theorem). Each such rotation acts as an ordinary 2-dimensional rotation in the plane orthogonal to this axis. Since every 2-dimensional rotation can be represented by an angle φ, an arbitrary 3-dimensional rotation can be specified by an axis of rotation together with an angle of rotation about this axis. (Technically, one needs to specify an orientation for the axis and whether the rotation is taken to be clockwise or counterclockwise with respect to this orientation).

For example, counterclockwise rotation about the positive z-axis by angle φ is given by

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Given a unit vectorn in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ and an angle φ, let R(φ, n) represent a counterclockwise rotation about the axis through n (with orientation determined by n). Then

• R(0, n) is the identity transformation for any n
• R(φ, n) = R(−φ, −n)
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n).

Using these properties one can show that any rotation can be represented by a unique angle φ in the range 0 ≤ φ ≤ π and a unit vector n such that

• n is arbitrary if φ = 0
• n is unique if 0 < φ < π
• n is unique up to a sign if φ = π (that is, the rotations R(π, ±n) are identical).

In the next section, this representation of rotations is used to identify SO(3) topologically with three-dimensional real projective space.

Consider the solid ball in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ of radius π (that is, all points of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de distancia π o menos del origen). Dado lo anterior, para cada punto en esta bola hay una rotación, con eje que pasa por el punto y el origen, y ángulo de rotación igual a la distancia del punto al origen. La rotación identidad corresponde al punto en el centro de la bola. Las rotaciones a través de un ángulo 𝜃 entre 0 y π (sin incluir ninguno de los dos) están en el mismo eje a la misma distancia. Las rotaciones a través de ángulos entre 0 y − π corresponden al punto en el mismo eje y distancia del origen pero en el lado opuesto del origen. El único problema restante es que las dos rotaciones a través de π y a través de − π son la misma. Entonces identificamos (o "pegamos") puntos antipodales en la superficie de la bola. Después de esta identificación, llegamos a un espacio topológico homeomorfo al grupo de rotación.

En efecto, la bola con puntos de superficie antipodales identificados es una variedad diferenciable , y esta variedad es difeomorfa al grupo de rotación. También es difeomorfa al espacio proyectivo tridimensional real.${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$Por lo tanto, este último también puede servir como modelo topológico para el grupo de rotación.

Estas identificaciones ilustran que SO(3) está conectado , pero no simplemente conectado . En cuanto a esto último, en la esfera con puntos de superficie antipodales identificados, consideremos el camino que va desde el "polo norte" directamente a través del interior hasta el polo sur. Este es un bucle cerrado, ya que el polo norte y el polo sur están identificados. Este bucle no se puede reducir a un punto, ya que, independientemente de cómo se deforme, el punto de inicio y el punto final deben permanecer antipodales, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones alrededor del eje z que comienza (por ejemplo) en la identidad (centro de la esfera), pasa por el polo sur, salta al polo norte y termina de nuevo en la rotación de identidad (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde φ va de 0 a 2π ) .

Sorprendentemente, recorrer el camino dos veces, es decir, ir desde el polo norte hasta el polo sur, volver al polo norte (aprovechando que los polos norte y sur están identificados) y luego ir de nuevo desde el polo norte hasta el polo sur, de modo que φ va de 0 a 4π , ​​da como resultado un bucle cerrado que se puede reducir a un solo punto: primero, movemos los caminos continuamente a la superficie de la bola, conectando aún el polo norte con el polo sur dos veces. El segundo camino se puede reflejar hacia el lado antipodal sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un bucle cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un círculo máximo . Este círculo se puede reducir al polo norte sin problemas. El truco de la placa y otros trucos similares lo demuestran en la práctica.

El mismo argumento se puede realizar de forma general, y muestra que el grupo fundamental de SO(3) es el grupo cíclico de orden 2 (un grupo con dos elementos).

La cubierta universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3) . El grupo Spin(3) es isomorfo al grupo unitario especial SU(2); también es difeomorfo a la 3-esfera unitaria S ³ y puede entenderse como el grupo de versores ( cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S ³ sobre SO(3) que identifica puntos antipodales de S ³ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {±1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de recubrimiento de dos a uno .

En aplicaciones físicas , especialmente en mecánica cuántica , esta doble cobertura permite la existencia de objetos conocidos como espinores y constituye una herramienta importante en el desarrollo del teorema de espín-estadística . (Véase también Espinores en tres dimensiones ).

En esta sección, presentamos dos construcciones diferentes de un homomorfismo dos a uno y sobreyectivo de SU(2) sobre SO(3).

Using Möbius transformations

The general reference for this section is Gelfand, Minlos & Shapiro (1963). The points P on the sphere

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\tfrac {1}{4}}\right\}}$

can, barring the north pole N, be put into one-to-one bijection with points S(P) = P' on the plane M defined by z = −⁠1/2⁠, see figure. The map S is called stereographic projection.

Let the coordinates on M be (ξ, η). The line L passing through N and P can be parametrized as

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Demanding that the z-coordinate of ${\displaystyle L(t_{0})}$igual a − ⁠ 1 / 2 ⁠ , se encuentra

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

Tenemos${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$De ahí el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\dfrac {x}{{\tfrac {1}{2}}-z}},{\dfrac {y}{{\tfrac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

donde, para mayor comodidad, el plano M se identifica con el plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Para la inversa, escriba L como

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right),}$

y exige x² + y² + z² = ^1/4 para encontrar s = 1/1 + ξ² + ^{η² y} por lo tanto^​​​​​​​

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\dfrac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Si g ∈ SO(3) es una rotación, entonces llevará puntos en S a puntos en S mediante su acción estándar Π _s ( g ) en el espacio de incrustación.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$Al componer esta acción con S se obtiene una transformación S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹ de M ,

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Por lo tanto, Π _u ( g ) es una transformación de${\displaystyle \mathbb {C} }$asociado a la transformación Π _s ( g ) de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Resulta que g ∈ SO(3) representado de esta manera por Π _u ( g ) puede expresarse como una matriz Π _u ( g ) ∈ SU(2) (donde la notación se recicla para usar el mismo nombre para la matriz que para la transformación de${\displaystyle \mathbb {C} }$representa). Para identificar esta matriz, consideremos primero una rotación g _φ alrededor del eje z a través de un ángulo φ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Por eso

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\tfrac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\tfrac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

lo cual, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si g _θ es una rotación alrededor del eje x a través de un ángulo θ , entonces

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Estas dos rotaciones,${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$por lo tanto, corresponden a transformaciones bilineales de R ² ≃ C ≃ M , es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius .

Una transformación de Möbius general viene dada por

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

Las rotaciones,${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$generar todo SO(3) y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición de${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$se traduce en la composición correspondiente de transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

ya que un factor común de α , β , γ , δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de forma única, ya que la multiplicación por − I no afecta ni al determinante ni a la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g , − g ∈ SL(2, C ) .

Utilizando esta correspondencia se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estas matrices son unitarias y, por lo tanto, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . En términos de ángulos de Euler ^{[ nb 1 ]} se encuentra para una rotación general

uno tiene ^{[ 5 ]}

Para el caso contrario, consideremos una matriz general.

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

Realizar las sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\tfrac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi )&=\arg \alpha ,&{\tfrac {1}{2}}(\psi -\phi )&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

Con las sustituciones, Π( g _{α , β} ) asume la forma del lado derecho ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde bajo Π _u a una matriz en la forma del RHS de ( 1 ) con los mismos φ , θ , ψ . En términos de los parámetros complejos α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Para verificar esto, sustituya α . β por los elementos de la matriz del lado derecho de ( 2 ). Después de algunas manipulaciones, la matriz toma la forma del lado derecho de ( 1 ).

Es evidente, a partir de la forma explícita en términos de ángulos de Euler, que el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

Lo que se acaba de describir es un homomorfismo de grupos liso, 2:1 y sobreyectivo . Por lo tanto, es una descripción explícita del espacio de recubrimiento universal de SO(3) a partir del grupo de recubrimiento universal SU(2) .

Cada grupo de Lie está asociado a su álgebra de Lie , un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alternante bilineal llamado corchete de Lie . El álgebra de Lie de${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$se denota por${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$y consta de todas matrices antisimétricas de 3 × 3. ^{[ 6 ]} Esto se puede ver diferenciando la condición de ortogonalidad ,${\displaystyle A^{T}A=I,\ A\in \operatorname {SO} (3)}$. ^{[ nb 2 ]} El corchete de Lie de dos elementos de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ is, as for the Lie algebra of every matrix group, given by the matrix commutator, ${\displaystyle [A_{1},A_{2}]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}}$, which is again a skew-symmetric matrix. The Lie algebra bracket captures the essence of the Lie group product in a sense made precise by the Baker–Campbell–Hausdorff formula.

The elements of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ are the "infinitesimal generators" of rotations, i.e., they are the elements of the tangent space of the manifold ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ at the identity element. If ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$ denotes a counterclockwise rotation with angle ${\displaystyle \phi }$ about the axis specified by the unit vector ${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$ then

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

This can be used to show that the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ (with commutator) is isomorphic to the Lie algebra ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (with cross product). Under this isomorphism, an Euler vector${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ corresponds to the linear map ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ defined by ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

In more detail, most often a suitable basis for ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ as a 3-dimensional vector space is

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

The commutation relations of these basis elements are,

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

which agree with the relations of the three standard unit vectors of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ under the cross product.

As announced above, one can identify any matrix in this Lie algebra with an Euler vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$^[7]

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

This identification is sometimes called the hat-map.^[8] Under this identification, the ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ bracket corresponds in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ to the cross product,

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

The matrix identified with a vector ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ has the property that

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

where the left-hand side we have ordinary matrix multiplication. This implies ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ is in the null space of the skew-symmetric matrix with which it is identified, because ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Dado que SO(3) es un grupo de Lie matricial, su aplicación exponencial se define utilizando la serie exponencial matricial estándar,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp$ :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}

Para cualquier matriz antisimétrica A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^A siempre está en SO(3) . La demostración utiliza las propiedades elementales de la exponencial matricial.

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

Dado que las matrices A y AT conmutan, esto se puede demostrar fácilmente con la condición de matriz antisimétrica. Sin embargo, esto no basta para demostrar que ^𝖘𝖔 (3) es el álgebra de Lie correspondiente a SO(3) , y deberá demostrarse por separado.

El nivel de dificultad de la demostración depende de cómo se defina un álgebra de Lie de grupo matricial. Hall (2003) define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

en cuyo caso es trivial. Rossmann (2002) utiliza para una definición derivadas de segmentos de curva suaves en SO(3) a través de la identidad tomada en la identidad, en cuyo caso es más difícil. ^{[ 10 ]}

Para un A ≠ 0 fijo , e ^tA , −∞ < t < ∞ es un subgrupo uniparamétrico a lo largo de una geodésica en SO(3) . Que esto dé un subgrupo uniparamétrico se deduce directamente de las propiedades del mapa exponencial. ^{[ 11 ]}

El mapa exponencial proporciona un difeomorfismo entre un entorno del origen en el 𝖘𝖔(3) y un entorno de la identidad en el SO(3) . ^{[ 12 ]} Para una demostración, véase el teorema del subgrupo cerrado .

La aplicación exponencial es sobreyectiva . Esto se deduce del hecho de que todo R ∈ SO(3) , puesto que toda rotación deja un eje fijo ( teorema de rotación de Euler ), y es conjugada a una matriz diagonal por bloques de la forma

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

de tal manera que A = BDB ⁻¹ , y que

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

junto con el hecho de que 𝖘𝖔(3) es cerrado bajo la acción adjunta de SO(3) , lo que significa que BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Así, por ejemplo, es fácil comprobar la identidad popular.

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔(3) está asociado con un vector ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria. Dado que u está en el espacio nulo de A , si ahora se rota a una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal O , con u como eje z , la última columna y fila de la matriz de rotación en la nueva base serán cero.

Por lo tanto, sabemos de antemano, a partir de la fórmula para la exponencial, que exp( OAO ^T ) debe dejar u fijo. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula directa para tal base como función de u , porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda ; pero la exponenciación directa es posible y produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&=I+s({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})+(1-c)({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}c+x^{2}(1-c)&-zs+xy(1-c)&ys+xz(1-c)\\zs+yx(1-c)&c+y^{2}(1-c)&-xs+yz(1-c)\\-ys+zx(1-c)&xs+zy(1-c)&c+z^{2}(1-c)\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

dónde${\textstyle c=\cos \theta }$y${\textstyle s=\sin \theta }$. Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ : cf. Fórmula de rotación de Rodrigues .

Dado R ∈ SO(3) , sea${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$denotemos la parte antisimétrica y sea${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$Entonces, el logaritmo de R viene dado por ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Esto se manifiesta al examinar la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

donde el primer y el último término del lado derecho son simétricos.

${\displaystyle SO(3)}$está doblemente cubierto por el grupo de cuaterniones unitarios, que es isomorfo a la 3-esfera. Dado que la medida de Haar en los cuaterniones unitarios es simplemente la medida de área tridimensional en 4 dimensiones, la medida de Haar en${\displaystyle SO(3)}$es simplemente el impulso de la medida de 3 áreas.

En consecuencia, generar una rotación uniformemente aleatoria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es equivalente a generar un punto aleatorio uniforme en la 3-esfera. Esto se puede lograr de la siguiente manera:$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

dónde${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$son muestras aleatorias uniformes de${\displaystyle [0,1]}$. ^{[ 13 ]}

Supongamos que se dan X e Y en el álgebra de Lie. Sus exponenciales, exp( X ) y exp( Y ) , son matrices de rotación que se pueden multiplicar. Dado que la aplicación exponencial es una sobreyección, para algún Z en el álgebra de Lie, exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , y se puede escribir tentativamente:

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

para C alguna expresión en X e Y. Cuando las matrices de rotación exp( X ) y exp( Y ) conmutan (por ejemplo, la rotación es alrededor del mismo eje), entonces Z = X + Y , imitando el comportamiento de la exponenciación compleja.

El caso general de no conmutación viene dado por la fórmula BCH más elaborada , un desarrollo en serie de corchetes de Lie anidados. ^{[ 14 ]} Para matrices, el corchete de Lie es la misma operación que el conmutador , que monitoriza la falta de conmutatividad en la multiplicación. Este desarrollo general se despliega como sigue, ^{[ nb 4 ]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

La expansión infinita en la fórmula BCH para SO(3) se reduce a una forma compacta,

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

para coeficientes de función trigonométrica adecuados ( α , β , γ ) .

Vale la pena escribir este generador de rotación compuesto como

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

para enfatizar que se trata de una identidad del álgebra de Lie .

La identidad anterior se cumple para todas las representaciones fieles de 𝖘𝖔(3) . El núcleo de un homomorfismo de álgebra de Lie es un ideal , pero 𝖘𝖔(3) , al ser simple , no tiene ideales no triviales y, por lo tanto, todas las representaciones no triviales son fieles. Esto se cumple en particular en la representación doblete o espinorial. La misma fórmula explícita se deduce así de una manera más sencilla a través de matrices de Pauli, cf. la derivación 2×2 para SU(2) .

Para el caso general n × n , se podría utilizar la referencia ^{[ 15 ] .}