Leyes del movimiento de Newton

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas que actúen sobre él. ^{[ 14 ] : 114 [ nota 3 ]}

La primera ley de Newton expresa el principio de inercia : el comportamiento natural de un cuerpo es moverse en línea recta a velocidad constante. El movimiento de un cuerpo conserva el estado quo, pero las fuerzas externas pueden perturbarlo.

La interpretación moderna de la primera ley de Newton establece que ningún observador inercial tiene privilegios sobre otro. El concepto de observador inercial cuantifica la idea cotidiana de no sentir los efectos del movimiento. Por ejemplo, una persona de pie en el suelo observando pasar un tren es un observador inercial. Si el observador ve el tren moviéndose suavemente en línea recta a velocidad constante, entonces un pasajero sentado en el tren también será un observador inercial: el pasajero no siente el movimiento. El principio expresado por la primera ley de Newton es que no hay forma de determinar qué observador inercial se está moviendo realmente y cuál está realmente quieto. El estado de reposo de un observador es el estado de movimiento uniforme en línea recta de otro, y ningún experimento puede determinar si un punto de vista es correcto o incorrecto. No existe un estándar absoluto de reposo. ^{[ 18 ] [ 14 ] : 62–63 [ 19 ] : 7–9} El propio Newton creía que existían el espacio y el tiempo absolutos , pero que las únicas medidas de espacio o tiempo accesibles al experimento son relativas. ^{[ 20 ]}

El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada y se produce en la dirección de la línea recta en la que se aplica dicha fuerza. ^{[ 14 ] : 114}

Por «movimiento», Newton se refería a la magnitud que ahora se denomina momento lineal , la cual depende de la cantidad de materia contenida en un cuerpo, la velocidad a la que se mueve dicho cuerpo y la dirección en la que se mueve. ^{[ 21 ]} En notación moderna, el momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa y su velocidad: $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ donde las tres cantidades pueden cambiar con el tiempo. En casos comunes, la masa${\displaystyle m}$no cambia con el tiempo y la derivada actúa solo sobre la velocidad. Entonces la fuerza es igual al producto de la masa y la derivada temporal de la velocidad, que es la aceleración: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}$$ Como la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, esto también se puede escribir $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

La segunda ley de Newton, en su forma moderna, establece que la derivada temporal del momento es la fuerza: ^{[ 23 ] : 4.1}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}$$ Cuando se aplica a sistemas de masa variable , la ecuación anterior es válida solo para un conjunto fijo de partículas. Aplicando la derivada como en $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} }$$ puede conducir a resultados incorrectos. ^{[ 24 ]} Por ejemplo, el momento de un sistema de chorro de agua debe incluir el momento del agua expulsada: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathbf {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}.}$$

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se suman como vectores , por lo que la fuerza total sobre un cuerpo depende tanto de las magnitudes como de las direcciones de las fuerzas individuales. ^{[ 23 ] : 58} Cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a cero, según la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelera y se dice que está en equilibrio mecánico . Un estado de equilibrio mecánico es estable si, al cambiar ligeramente la posición del cuerpo, este permanece cerca de dicho equilibrio. De lo contrario, el equilibrio es inestable. ^{[ 14 ] : 121 [ 23 ] : 174}

Una representación visual común de fuerzas que actúan en conjunto es el diagrama de cuerpo libre , que representa esquemáticamente un cuerpo de interés y las fuerzas que se le aplican por influencias externas. ^{[ 26 ]} Por ejemplo, un diagrama de cuerpo libre de un bloque sobre un plano inclinado puede ilustrar la combinación de la fuerza gravitatoria, la fuerza "normal" , la fricción y la tensión de la cuerda. ^{[ nota 4 ]}

La segunda ley de Newton se presenta a veces como una definición de fuerza, es decir, una fuerza es aquello que existe cuando un observador inercial ve un cuerpo acelerando. Esto a veces se considera una posible tautología : la aceleración implica fuerza, la fuerza implica aceleración. Para ir más allá de la tautología, también se podría especificar una ecuación que detalle la fuerza, como la ley de gravitación universal de Newton . Al insertar dicha expresión para${\displaystyle \mathbf {F} }$Al incorporar la segunda ley de Newton, se puede escribir una ecuación con poder predictivo. ^{[ nota 5 ]} La segunda ley de Newton también se ha considerado como el punto de partida de un programa de investigación para la física, estableciendo que objetivos importantes de la disciplina son identificar las fuerzas presentes en la naturaleza y catalogar los constituyentes de la materia. ^{[ 14 ] : 134 [ 28 ] : 12-2}

A toda acción se opone siempre una reacción igual; o bien, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y se dirigen a partes opuestas. ^{[ 14 ] : 116}

En otras palabras, si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, este segundo cuerpo también ejerce una fuerza sobre el primero, de igual magnitud y en dirección opuesta. Las paráfrasis demasiado breves de la tercera ley, como «acción es igual a reacción », podrían haber causado confusión entre generaciones de estudiantes: la «acción» y la «reacción» se aplican a cuerpos diferentes. Por ejemplo, consideremos un libro en reposo sobre una mesa. La gravedad de la Tierra ejerce una fuerza sobre el libro. La «reacción» a esa «acción» no es la fuerza de soporte de la mesa que sostiene el libro, sino la atracción gravitatoria del libro que actúa sobre la Tierra. ^{[ nota 6 ]}

La tercera ley de Newton se relaciona con un principio más fundamental: la conservación del momento lineal . Este último sigue siendo cierto incluso en casos donde la afirmación de Newton no lo es, por ejemplo, cuando los campos de fuerza , así como los cuerpos materiales, transportan momento lineal (por ejemplo, en electromagnetismo ), y cuando el momento lineal se define correctamente, también en mecánica cuántica . ^{[ nota 7 ]} En mecánica newtoniana, si dos cuerpos tienen momento lineal${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$respectivamente, entonces el momento total del par es${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$y la tasa de cambio de${\displaystyle \mathbf {p} }$es$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}.}$$Según la segunda ley de Newton, el primer término es la fuerza total sobre el primer cuerpo, y el segundo término es la fuerza total sobre el segundo cuerpo. Si los dos cuerpos están aislados de influencias externas, la única fuerza sobre el primer cuerpo puede ser la del segundo, y viceversa. Según la tercera ley de Newton, estas fuerzas tienen igual magnitud pero dirección opuesta, por lo que se cancelan al sumarse, y${\displaystyle \mathbf {p} }$es constante. Alternativamente, si${\displaystyle \mathbf {p} }$Se sabe que es constante, por lo que se deduce que las fuerzas tienen igual magnitud y dirección opuesta.

Diversas fuentes han propuesto elevar otras ideas utilizadas en la mecánica clásica al estatus de leyes de Newton. Por ejemplo, en la mecánica newtoniana, la masa total de un cuerpo formado por la unión de dos cuerpos más pequeños es la suma de sus masas individuales. Frank Wilczek ha sugerido llamar la atención sobre esta suposición denominándola "Ley Cero de Newton". ^{[ 37 ]} Otro candidato a "ley cero" es el hecho de que, en cualquier instante, un cuerpo reacciona a las fuerzas que se le aplican en ese instante. ^{[ 38 ]} Asimismo, la idea de que las fuerzas se suman como vectores semejantes (o, en otras palabras, obedecen el principio de superposición ), y la idea de que las fuerzas cambian la energía de un cuerpo, se han descrito como una "cuarta ley". ^{[ nota 8 ]}

Además, algunos textos organizan las ideas básicas de la mecánica newtoniana en diferentes postulados, distintos de las tres leyes tal como se formulan comúnmente, con el objetivo de aclarar qué se observa empíricamente y qué es verdadero por definición. ^{[ 19 ] : 9 [ 27 ]}

El estudio del comportamiento de los cuerpos masivos mediante las leyes de Newton se conoce como mecánica newtoniana. Algunos problemas de la mecánica newtoniana son particularmente notables por razones conceptuales o históricas.

movimiento uniformemente acelerado

Si un cuerpo cae desde el reposo cerca de la superficie de la Tierra, entonces, en ausencia de resistencia del aire, acelerará a una tasa constante. Esto se conoce como caída libre . La velocidad alcanzada durante la caída libre es proporcional al tiempo transcurrido, y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. ^{[ 43 ]} Es importante destacar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos, independientemente de su masa. Esto se deduce de la combinación de la segunda ley del movimiento de Newton con su ley de gravitación universal . Esta última establece que la magnitud de la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre el cuerpo es $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo que cae,${\displaystyle M}$es la masa de la Tierra,${\displaystyle G}$es la constante de Newton, y${\displaystyle r}$es la distancia desde el centro de la Tierra hasta la ubicación del cuerpo, que es muy cercana al radio de la Tierra. Haciendo esto igual a${\displaystyle ma}$la masa del cuerpo${\displaystyle m}$se cancela en ambos lados de la ecuación, dejando una aceleración que depende de${\displaystyle G}$,${\displaystyle M}$, y${\displaystyle r}$, y${\displaystyle r}$puede considerarse constante. Este valor particular de aceleración se suele denotar${\displaystyle g}$: $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

Si el cuerpo no se libera desde el reposo, sino que se lanza hacia arriba y/o horizontalmente con velocidad distinta de cero, entonces la caída libre se convierte en movimiento parabólico . ^{[ 44 ]} Cuando se puede despreciar la resistencia del aire, los proyectiles siguen trayectorias en forma de parábola , porque la gravedad afecta el movimiento vertical del cuerpo y no el horizontal. En el punto más alto de la trayectoria del proyectil, su velocidad vertical es cero, pero su aceleración es${\displaystyle g}$hacia abajo, como ocurre en todo momento. Establecer el vector incorrecto igual a cero es una confusión común entre los estudiantes de física. ^{[ 45 ]}

movimiento circular uniforme

Cuando un cuerpo está en movimiento circular uniforme, la fuerza que actúa sobre él cambia la dirección de su movimiento, pero no su velocidad. Para un cuerpo que se mueve en un círculo de radio${\displaystyle r}$a velocidad constante${\displaystyle v}$, su aceleración tiene una magnitud$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$y está dirigida hacia el centro del círculo. ^{[ nota 9 ]} La fuerza necesaria para mantener esta aceleración, llamada fuerza centrípeta , también está dirigida hacia el centro del círculo y tiene magnitud${\displaystyle mv^{2}/r}$Muchas órbitas , como la de la Luna alrededor de la Tierra, pueden aproximarse mediante un movimiento circular uniforme. En tales casos, la fuerza centrípeta es la gravedad, y según la ley de gravitación universal de Newton tiene magnitud${\displaystyle GMm/r^{2}}$, dónde${\displaystyle M}$es la masa del cuerpo más grande alrededor del cual orbita. Por lo tanto, la masa de un cuerpo se puede calcular a partir de observaciones de otro cuerpo que orbita a su alrededor. ^{[ 47 ] : 130}

La bala de cañón de Newton es un experimento mental que interpola entre el movimiento de proyectiles y el movimiento circular uniforme. Una bala de cañón lanzada débilmente desde el borde de un acantilado alto impactará contra el suelo en el mismo tiempo que si se dejara caer desde el reposo, porque la fuerza de la gravedad solo afecta el momento de la bala en dirección descendente, y su efecto no disminuye con el movimiento horizontal. Si la bala de cañón se lanza con una mayor velocidad horizontal inicial, recorrerá una mayor distancia antes de impactar contra el suelo, pero aun así lo hará en el mismo tiempo. Sin embargo, si la bala de cañón se lanza con una velocidad inicial aún mayor, la curvatura de la Tierra se vuelve significativa: el suelo mismo se curvará alejándose de la bala de cañón en caída. Una bala de cañón muy rápida se desviará de la trayectoria rectilínea inercial a la misma velocidad que la Tierra se curva bajo ella; en otras palabras, estará en órbita (imaginando que no se ve frenada por la resistencia del aire ni por obstáculos). ^{[ 48 ]}

Movimiento armónico

Consideremos un cuerpo de masa${\displaystyle m}$capaz de moverse a lo largo del${\displaystyle x}$eje, y supongamos que existe un punto de equilibrio en la posición${\displaystyle x=0}$. Es decir, en${\displaystyle x=0}$La fuerza neta sobre el cuerpo es el vector cero y, según la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelerará. Si la fuerza sobre el cuerpo es proporcional al desplazamiento desde el punto de equilibrio y está dirigida hacia dicho punto, entonces el cuerpo realizará un movimiento armónico simple . Escribiendo la fuerza como${\displaystyle F=-kx}$La segunda ley de Newton se convierte en: $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}$$ Esta ecuación diferencial tiene la solución $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ donde la frecuencia${\displaystyle \omega }$es igual a${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$y las constantes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$se puede calcular conociendo, por ejemplo, la posición y la velocidad que tiene el cuerpo en un momento dado, como${\displaystyle t=0}$.

Una razón por la que el oscilador armónico es un ejemplo conceptualmente importante es que constituye una buena aproximación para muchos sistemas cercanos a un equilibrio mecánico estable. ^{[ nota 10 ]} Por ejemplo, un péndulo tiene un equilibrio estable en la posición vertical: si permanece inmóvil en esa posición, se mantendrá allí, y si se le empuja ligeramente, oscilará de un lado a otro. Si se desprecia la resistencia del aire y la fricción en el pivote, la fuerza que actúa sobre el péndulo es la gravedad, y la segunda ley de Newton se convierte en:$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$dónde${\displaystyle L}$es la longitud del péndulo y${\displaystyle \theta }$es su ángulo con respecto a la vertical. Cuando el ángulo${\displaystyle \theta }$es pequeño, el seno de${\displaystyle \theta }$es casi igual a${\displaystyle \theta }$(véase la aproximación de ángulo pequeño ), y por lo tanto esta expresión se simplifica a la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$.

Un oscilador armónico puede amortiguarse, a menudo por fricción o arrastre viscoso, en cuyo caso la energía se disipa del oscilador y la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Asimismo, un oscilador armónico puede ser impulsado por una fuerza aplicada, lo que puede dar lugar al fenómeno de resonancia . ^{[ 50 ]}

Objetos con masa variable

La física newtoniana considera que la materia no se crea ni se destruye, aunque puede reorganizarse. Puede darse el caso de que un objeto de interés gane o pierda masa debido a que se le añade o se le quita materia. En tal situación, las leyes de Newton pueden aplicarse a las piezas individuales de materia, registrando a lo largo del tiempo qué piezas pertenecen al objeto de interés. Por ejemplo, si un cohete de masa${\displaystyle M(t)}$, moviéndose a velocidad${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$, expulsa materia a una velocidad${\displaystyle \mathbf {u} }$en relación con el cohete, entonces ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {F} }$es la fuerza externa neta (por ejemplo, la atracción gravitatoria de un planeta). ^{[ 23 ] : 139}

Abanica y vela

El ejemplo del ventilador y la vela es una situación estudiada en discusiones sobre la tercera ley de Newton. ^{[ 51 ]} En esta situación, un ventilador está acoplado a un carro o un velero y sopla sobre su vela. Según la tercera ley, se podría deducir que la fuerza del aire que empuja en una dirección anularía la fuerza ejercida por el ventilador sobre la vela, dejando todo el aparato inmóvil. Sin embargo, debido a que el sistema no está completamente cerrado, existen condiciones en las que la embarcación se moverá; por ejemplo, si la vela está construida de manera que redirige la mayor parte del flujo de aire hacia el ventilador, la fuerza neta hará que la embarcación avance. ^{[ 34 ] [ 52 ]}

Aspectos significativos del movimiento de un cuerpo extenso pueden entenderse imaginando la masa de ese cuerpo concentrada en un solo punto, conocido como centro de masa. La ubicación del centro de masa de un cuerpo depende de cómo se distribuye el material de ese cuerpo. Para un conjunto de objetos puntuales con masas${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$en posiciones${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$, el centro de masa se encuentra en$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$dónde${\displaystyle M}$es la masa total de la colección. En ausencia de una fuerza externa neta, el centro de masa se mueve a velocidad constante en línea recta. Esto se aplica, por ejemplo, a una colisión entre dos cuerpos. ^{[ 55 ]} Si la fuerza externa total no es cero, entonces el centro de masa cambia de velocidad como si fuera un cuerpo puntual de masa${\displaystyle M}$Esto se deduce del hecho de que las fuerzas internas dentro del conjunto, las fuerzas que los objetos ejercen entre sí, se presentan en pares equilibrados según la tercera ley de Newton. En un sistema de dos cuerpos, uno mucho más masivo que el otro, el centro de masa coincidirá aproximadamente con la ubicación del cuerpo más masivo. ^{[ 19 ] : 22–24}

Cuando las leyes de Newton se aplican a cuerpos extensos en rotación, dan lugar a nuevas magnitudes análogas a las invocadas en las leyes originales. El análogo de la masa es el momento de inercia , el equivalente del momento lineal es el momento angular y el equivalente de la fuerza es el torque .

El momento angular se calcula con respecto a un punto de referencia. ^{[ 56 ]} Si el vector de desplazamiento desde un punto de referencia a un cuerpo es${\displaystyle \mathbf {r} }$y el cuerpo tiene impulso${\displaystyle \mathbf {p} }$, entonces el momento angular del cuerpo con respecto a ese punto es, usando el producto vectorial ,$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$Al tomar la derivada temporal del momento angular se obtiene$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$El primer término desaparece porque${\displaystyle \mathbf {v} }$y${\displaystyle m\mathbf {v} }$apuntan en la misma dirección. El término restante es el torque,$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$Cuando el torque es cero, el momento angular es constante, al igual que cuando la fuerza es cero, el momento es constante. ^{[ 19 ] : 14–15} El torque puede desaparecer incluso cuando la fuerza no es cero, si el cuerpo está ubicado en el punto de referencia (${\displaystyle \mathbf {r} =0}$) o si la fuerza${\displaystyle \mathbf {F} }$y el vector de desplazamiento${\displaystyle \mathbf {r} }$están dirigidos en la misma línea.

El momento angular de un conjunto de masas puntuales, y por lo tanto de un cuerpo extenso, se obtiene sumando las contribuciones de cada uno de los puntos. Esto permite caracterizar la rotación de un cuerpo alrededor de un eje, mediante la suma de los momentos angulares de sus partes individuales. El resultado depende del eje elegido, la forma del cuerpo y la velocidad de rotación. ^{[ 19 ] : 28}

La ley de gravitación universal de Newton establece que cualquier cuerpo atrae a cualquier otro cuerpo a lo largo de la línea recta que los conecta. La magnitud de la fuerza de atracción es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Determinar la forma de las órbitas que produce una ley de fuerza inversamente proporcional al cuadrado se conoce como el problema de Kepler . Este problema puede resolverse de diversas maneras, incluyendo demostrando que el vector de Laplace-Runge-Lenz es constante ^{[ 57 ]} o aplicando una transformación de dualidad a un oscilador armónico bidimensional ^{[ 58 ]} . Independientemente del método de resolución, el resultado es que las órbitas serán secciones cónicas , es decir, elipses (incluyendo círculos), parábolas o hipérbolas . La excentricidad de la órbita, y por lo tanto el tipo de sección cónica, está determinada por la energía y el momento angular del cuerpo en órbita. Los planetas no tienen energía suficiente para escapar del Sol, por lo que sus órbitas son elipses, con buena aproximación; debido a que los planetas se atraen entre sí, las órbitas reales no son exactamente secciones cónicas.

Si se añade una tercera masa, el problema de Kepler se convierte en el problema de los tres cuerpos, que en general no tiene una solución exacta en forma cerrada . Es decir, no hay manera de partir de las ecuaciones diferenciales implícitas en las leyes de Newton y, tras una secuencia finita de operaciones matemáticas estándar, obtener ecuaciones que expresen los movimientos de los tres cuerpos a lo largo del tiempo. ^{[ 59 ] [ 60 ]} Se pueden aplicar métodos numéricos para obtener resultados útiles, aunque aproximados, para el problema de los tres cuerpos. ^{[ 61 ]} Las posiciones y velocidades de los cuerpos se pueden almacenar en variables dentro de la memoria de una computadora; las leyes de Newton se utilizan para calcular cómo cambiarán las velocidades en un intervalo corto de tiempo y, conociendo las velocidades, se pueden calcular los cambios de posición en ese intervalo de tiempo. Este proceso se repite para calcular, aproximadamente, las trayectorias de los cuerpos. En general, cuanto más corto sea el intervalo de tiempo, más precisa será la aproximación. ^{[ 62 ]}

Las leyes del movimiento de Newton permiten la posibilidad del caos . ^{[ 63 ] [ 64 ]} Es decir, cualitativamente hablando, los sistemas físicos que obedecen las leyes de Newton pueden exhibir una dependencia sensible de sus condiciones iniciales: un ligero cambio en la posición o velocidad de una parte de un sistema puede llevar a que todo el sistema se comporte de una manera radicalmente diferente en poco tiempo. Ejemplos notables incluyen el problema de los tres cuerpos, el péndulo doble , el billar dinámico y el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou .

Las leyes de Newton se pueden aplicar a los fluidos considerando un fluido como compuesto de piezas infinitesimales, cada una ejerciendo fuerzas sobre las piezas vecinas. La ecuación de momento de Euler es una expresión de la segunda ley de Newton adaptada a la dinámica de fluidos. ^{[ 65 ] [ 66 ]} Un fluido se describe mediante un campo de velocidad, es decir, una función${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$que asigna un vector de velocidad a cada punto en el espacio y el tiempo. Un objeto pequeño arrastrado por el flujo del fluido puede cambiar de velocidad por dos razones: primero, porque el campo de velocidad en su posición cambia con el tiempo, y segundo, porque se mueve a una nueva ubicación donde el campo de velocidad tiene un valor diferente. En consecuencia, cuando se aplica la segunda ley de Newton a una porción infinitesimal de fluido, la aceleración${\displaystyle \mathbf {a} }$tiene dos términos, una combinación conocida como derivada total o material . La masa de una porción infinitesimal depende de la densidad del fluido , y hay una fuerza neta sobre ella si la presión del fluido varía de un lado a otro. En consecuencia,${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$se convierte $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad,${\displaystyle P}$es la presión, y${\displaystyle \mathbf {f} }$representa una influencia externa como la fuerza gravitatoria. Al incorporar el efecto de la viscosidad, la ecuación de Euler se convierte en una ecuación de Navier-Stokes : $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ dónde${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática . ^{[ 65 ]}

Es matemáticamente posible que un conjunto de masas puntuales, moviéndose de acuerdo con las leyes de Newton, expulsen algunas de ellas con tal fuerza que se alejen hasta el infinito en un tiempo finito. ^{[ 67 ]} Este comportamiento no físico, conocido como «singularidad de no colisión», ^{[ 60 ]} depende de que las masas sean puntuales y puedan acercarse arbitrariamente entre sí, así como de la ausencia de un límite de velocidad relativista en la física newtoniana. ^{[ 68 ]}

Todavía se desconoce si las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes presentan un comportamiento análogo, en el que las soluciones inicialmente suaves "explotan" en un tiempo finito. La cuestión de la existencia y la suavidad de las soluciones de Navier-Stokes es uno de los Problemas del Premio del Milenio . ^{[ 69 ]}

La mecánica lagrangiana se diferencia de la formulación newtoniana al considerar trayectorias completas a la vez en lugar de predecir el movimiento de un cuerpo en un solo instante. ^{[ 19 ] : 109} Es tradicional en la mecánica lagrangiana denotar la posición con${\displaystyle q}$y velocidad con${\displaystyle {\dot {q}}}$El ejemplo más sencillo es una partícula puntual masiva, cuyo lagrangiano se puede escribir como la diferencia entre sus energías cinética y potencial: $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ donde la energía cinética es $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ y la energía potencial es alguna función de la posición,${\displaystyle V(q)}$. La trayectoria física que seguirá la partícula entre un punto inicial${\displaystyle q_{i}}$y un punto final${\displaystyle q_{f}}$es la trayectoria para la cual la integral del lagrangiano es "estacionaria". Es decir, la trayectoria física tiene la propiedad de que pequeñas perturbaciones de ella, en una primera aproximación, no cambiarán la integral del lagrangiano. El cálculo de variaciones proporciona las herramientas matemáticas para encontrar esta trayectoria. ^{[ 46 ] : 485} La aplicación del cálculo de variaciones a la tarea de encontrar la trayectoria produce la ecuación de Euler-Lagrange para la partícula, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ Evaluar las derivadas parciales del lagrangiano da como resultado $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ que es una reformulación de la segunda ley de Newton. El lado izquierdo es la derivada temporal del momento, y el lado derecho es la fuerza, representada en términos de la energía potencial. ^{[ 9 ] : 737}

Landau y Lifshitz argumentan que la formulación lagrangiana aclara el contenido conceptual de la mecánica clásica en comparación con partir de las leyes de Newton. ^{[ 29 ]} La mecánica lagrangiana proporciona un marco conveniente para demostrar el teorema de Noether , que relaciona simetrías y leyes de conservación. ^{[ 72 ]} La conservación del momento se puede derivar aplicando el teorema de Noether a un lagrangiano para un sistema de múltiples partículas, por lo que la tercera ley de Newton es un teorema y no una suposición. ^{[ 19 ] : 124}

En mecánica hamiltoniana , la dinámica de un sistema se representa mediante una función llamada hamiltoniano, que en muchos casos de interés es igual a la energía total del sistema. ^{[ 9 ] : 742} El hamiltoniano es una función de las posiciones y los momentos de todos los cuerpos que componen el sistema, y ​​también puede depender explícitamente del tiempo. Las derivadas temporales de las variables de posición y momento se obtienen mediante derivadas parciales del hamiltoniano, a través de las ecuaciones de Hamilton . ^{[ 19 ] : 203} El ejemplo más simple es una masa puntual.${\displaystyle m}$obligado a moverse en línea recta, bajo el efecto de un potencial. Escritura${\displaystyle q}$para la coordenada de posición y${\displaystyle p}$para el momento del cuerpo, el hamiltoniano es $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ En este ejemplo, las ecuaciones de Hamilton son $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ y $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ Al evaluar estas derivadas parciales, la ecuación anterior se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}$$ que reproduce la conocida afirmación de que el momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa y su velocidad. La derivada temporal del momento lineal es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ lo cual, al identificar la derivada negativa del potencial con la fuerza, es simplemente la segunda ley de Newton una vez más. ^{[ 63 ] [ 9 ] : 742}

Al igual que en la formulación lagrangiana, en la mecánica hamiltoniana la conservación del momento se puede derivar utilizando el teorema de Noether, lo que convierte la tercera ley de Newton en una idea que se deduce en lugar de asumirse. ^{[ 19 ] : 251}

Entre las propuestas para reformar el currículo estándar de física introductoria se encuentra una que enseña el concepto de energía antes que el de fuerza, esencialmente "mecánica hamiltoniana introductoria". ^{[ 73 ] [ 74 ]}

La ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona otra formulación de la mecánica clásica, que la hace matemáticamente análoga a la óptica ondulatoria . ^{[ 19 ] : 284 [ 75 ]} Esta formulación también utiliza funciones hamiltonianas, pero de una manera diferente a la formulación descrita anteriormente. Las trayectorias tomadas por los cuerpos o conjuntos de cuerpos se deducen de una función${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$de puestos${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$y tiempo${\displaystyle t}$. El hamiltoniano se incorpora a la ecuación de Hamilton-Jacobi, una ecuación diferencial para${\displaystyle S}$Los cuerpos se mueven a lo largo del tiempo de tal manera que sus trayectorias son perpendiculares a las superficies de constante${\displaystyle S}$, de forma análoga a cómo un rayo de luz se propaga en la dirección perpendicular a su frente de onda. Esto se expresa de forma más sencilla para el caso de una única masa puntual, en la que${\displaystyle S}$es una función${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$y la masa puntual se mueve en la dirección a lo largo de la cual${\displaystyle S}$cambia de forma más pronunciada. En otras palabras, el momento de la masa puntual es el gradiente de${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ La ecuación de Hamilton-Jacobi para una masa puntual es $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ La relación con las leyes de Newton se puede observar al considerar una masa puntual que se mueve en un potencial independiente del tiempo.${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$, en cuyo caso la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ Tomando la pendiente de ambos lados, esto se convierte en $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ Intercambiando el orden de las derivadas parciales en el lado izquierdo y utilizando las reglas de potencia y cadena en el primer término del lado derecho, $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ Reunir los términos que dependen del gradiente de${\displaystyle S}$, $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ Esta es otra reformulación de la segunda ley de Newton. ^{[ 76 ]} La expresión entre corchetes es una derivada total o material como se mencionó anteriormente, ^{[ 77 ]} en la que el primer término indica cómo cambia la función que se está diferenciando a lo largo del tiempo en una ubicación fija, y el segundo término captura cómo una partícula en movimiento verá diferentes valores de esa función a medida que viaja de un lugar a otro: $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}$$

En física estadística , la teoría cinética de los gases aplica las leyes del movimiento de Newton a un gran número de partículas (típicamente del orden del número de Avogadro ). La teoría cinética puede explicar, por ejemplo, la presión que un gas ejerce sobre el recipiente que lo contiene como la suma de muchos impactos de átomos, cada uno de los cuales imparte una pequeña cantidad de momento. ^{[ 71 ] : 62}

La ecuación de Langevin es un caso especial de la segunda ley de Newton, adaptada para describir un objeto pequeño bombardeado estocásticamente por otros aún más pequeños. ^{[ 78 ] : 235} Se puede escribir$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$dónde${\displaystyle \gamma }$es un coeficiente de arrastre y${\displaystyle \mathbf {\xi } }$es una fuerza que varía aleatoriamente de un instante a otro, representando el efecto neto de las colisiones con las partículas circundantes. Esto se utiliza para modelar el movimiento browniano . ^{[ 79 ]}

Las tres leyes de Newton pueden aplicarse a fenómenos relacionados con la electricidad y el magnetismo , aunque existen matices y salvedades.

La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cuerpos estacionarios cargados eléctricamente tiene una forma matemática muy similar a la ley de gravitación universal de Newton: la fuerza es proporcional al producto de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y está dirigida a lo largo de la línea recta que las une. La fuerza de Coulomb que una carga${\displaystyle q_{1}}$ejerce sobre una carga${\displaystyle q_{2}}$es igual en magnitud a la fuerza que${\displaystyle q_{2}}$ejerce sobre${\displaystyle q_{1}}$y apunta en la dirección exactamente opuesta. Por lo tanto, la ley de Coulomb es consistente con la tercera ley de Newton. ^{[ 80 ]}

El electromagnetismo considera que las fuerzas son producidas por campos que actúan sobre cargas. La ley de la fuerza de Lorentz proporciona una expresión para la fuerza sobre un cuerpo cargado que puede sustituirse en la segunda ley de Newton para calcular su aceleración. ^{[ 81 ] : 85} Según la ley de la fuerza de Lorentz, un cuerpo cargado en un campo eléctrico experimenta una fuerza en la dirección de dicho campo, una fuerza proporcional a su carga.${\displaystyle q}$y a la intensidad del campo eléctrico. Además, un cuerpo cargado en movimiento en un campo magnético experimenta una fuerza que también es proporcional a su carga, en una dirección perpendicular tanto al campo como a la dirección del movimiento del cuerpo. Usando el producto vectorial ,$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Si el campo eléctrico desaparece (${\displaystyle \mathbf {E} =0}$), entonces la fuerza será perpendicular al movimiento de la carga, al igual que en el caso del movimiento circular uniforme estudiado anteriormente, y la carga girará (o, más generalmente, se moverá en hélice ) alrededor de las líneas del campo magnético a la frecuencia ciclotrónica.${\displaystyle \omega =qB/m}$. ^{[ 78 ] : 222} La espectrometría de masas funciona aplicando campos eléctricos y/o magnéticos a cargas en movimiento y midiendo la aceleración resultante, que por la ley de fuerza de Lorentz produce la relación masa-carga . ^{[ 82 ]}

Los conjuntos de cuerpos cargados no siempre obedecen la tercera ley de Newton: puede haber un cambio en el momento de un cuerpo sin un cambio compensatorio en el momento de otro. La discrepancia se explica por el momento transportado por el propio campo electromagnético. El momento por unidad de volumen del campo electromagnético es proporcional al vector de Poynting . ^{[ 83 ] : 184 [ 84 ]}

Existe un sutil conflicto conceptual entre el electromagnetismo y la primera ley de Newton: la teoría del electromagnetismo de Maxwell predice que las ondas electromagnéticas viajan por el vacío a una velocidad constante y definida. Por lo tanto, algunos observadores inerciales parecen tener una posición privilegiada sobre los demás, concretamente aquellos que miden la velocidad de la luz y la encuentran igual al valor predicho por las ecuaciones de Maxwell. En otras palabras, la luz proporciona un estándar absoluto de velocidad, pero el principio de inercia sostiene que no debería existir tal estándar. Esta tensión se resuelve en la teoría de la relatividad especial, que revisa las nociones de espacio y tiempo de tal manera que todos los observadores inerciales coinciden en la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ nota 12 ]}

En la relatividad especial, la regla que Wilczek llamó "Ley Cero de Newton" se rompe: la masa de un objeto compuesto no es simplemente la suma de las masas de las piezas individuales. ^{[ 87 ] : 33} La primera ley de Newton, el movimiento inercial, sigue siendo cierta. Una forma de la segunda ley de Newton, que la fuerza es la tasa de cambio del momento, también se cumple, al igual que la conservación del momento. Sin embargo, la definición de momento se modifica. Entre las consecuencias de esto está el hecho de que cuanto más rápido se mueve un cuerpo, más difícil es acelerarlo, y por lo tanto, no importa cuánta fuerza se aplique, un cuerpo no puede ser acelerado a la velocidad de la luz. Dependiendo del problema en cuestión, el momento en la relatividad especial puede representarse como un vector tridimensional,${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$, dónde${\displaystyle m}$es la masa en reposo del cuerpo y${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz , que depende de la velocidad del cuerpo. Alternativamente, el momento y la fuerza pueden representarse como cuadrivectores . ^{[ 88 ] : 107}

La tercera ley de Newton debe modificarse en la relatividad especial. Esta ley se refiere a las fuerzas entre dos cuerpos en un mismo instante, y una característica clave de la relatividad especial es que la simultaneidad es relativa. Eventos que ocurren simultáneamente para un observador pueden ocurrir en momentos diferentes para otro. Por lo tanto, en el sistema de referencia de un observador dado, la acción y la reacción pueden no ser exactamente opuestas, y el momento total de los cuerpos que interactúan puede no conservarse. La conservación del momento se restablece al incluir el momento almacenado en el campo que describe la interacción de los cuerpos. ^{[ 89 ] [ 90 ]}

La mecánica newtoniana es una buena aproximación a la relatividad especial cuando las velocidades involucradas son pequeñas en comparación con la de la luz. ^{[ 91 ] : 131}

La relatividad general es una teoría de la gravedad que va más allá de la de Newton. En la relatividad general, la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana se reinterpreta como la curvatura del espacio-tiempo . Una trayectoria curva, como una órbita, atribuida a la fuerza gravitatoria en la mecánica newtoniana, no es el resultado de una fuerza que desvía un cuerpo de una trayectoria ideal en línea recta, sino más bien del intento del cuerpo de caer libremente a través de un fondo que, a su vez, está curvado por la presencia de otras masas. Una observación de John Archibald Wheeler, que se ha vuelto proverbial entre los físicos, resume la teoría: «El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse». ^{[ 92 ] [ 93 ]} El propio Wheeler consideró esta relación recíproca como una forma moderna y generalizada de la tercera ley de Newton. ^{[ 92 ]} La relación entre la distribución de la materia y la curvatura del espacio-tiempo viene dada por las ecuaciones de campo de Einstein , que requieren cálculo tensorial para su expresión. ^{[ 87 ] : 43 [ 94 ]}

La teoría newtoniana de la gravedad es una buena aproximación a las predicciones de la relatividad general cuando los efectos gravitatorios son débiles y los objetos se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. ^{[ 85 ] : 327 [ 95 ]}

La mecánica cuántica es una teoría de la física desarrollada originalmente para comprender los fenómenos microscópicos: el comportamiento a escala de moléculas, átomos o partículas subatómicas. En términos generales, cuanto más pequeño es un sistema, más se requiere un modelo matemático adecuado para comprender los efectos cuánticos. El fundamento conceptual de la física cuántica es muy diferente al de la física clásica . En lugar de pensar en cantidades como la posición, el momento y la energía como propiedades de un objeto , se considera qué resultado podría aparecer al realizar una medición de un tipo determinado. La mecánica cuántica permite al físico calcular la probabilidad de que una medición elegida produzca un resultado particular. ^{[ 96 ] [ 97 ]} El valor esperado de una medición es el promedio de los posibles resultados que podría producir, ponderado por sus probabilidades de ocurrencia. ^{[ 98 ]}

El teorema de Ehrenfest establece una conexión entre los valores esperados cuánticos y la segunda ley de Newton, una conexión necesariamente inexacta, ya que la física cuántica es fundamentalmente diferente de la clásica. En física cuántica, la posición y el momento se representan mediante entidades matemáticas conocidas como operadores hermíticos , y la regla de Born se utiliza para calcular los valores esperados de una medición de posición o de momento. Estos valores esperados generalmente cambian con el tiempo; es decir, dependiendo del momento en que se realiza (por ejemplo) una medición de posición, las probabilidades de sus diferentes resultados posibles varían. El teorema de Ehrenfest afirma, en términos generales, que las ecuaciones que describen cómo cambian estos valores esperados con el tiempo tienen una forma que recuerda a la segunda ley de Newton. Sin embargo, cuanto más pronunciados sean los efectos cuánticos en una situación dada, más difícil será obtener conclusiones significativas de esta semejanza. ^{[ nota 13 ]}

El filósofo francés René Descartes introdujo el concepto de inercia mediante sus «leyes de la naturaleza» en El mundo ( Traité du monde et de la lumière ), escrito entre 1629 y 1633. Sin embargo, El mundo defendía una cosmovisión heliocéntrica , y en 1633 esta visión había dado lugar a un gran conflicto entre Galileo Galilei y la Inquisición católica romana . Descartes conocía esta controversia y no deseaba involucrarse. El mundo no se publicó hasta 1664, diez años después de su muerte. ^{[ 107 ]}

El concepto moderno de inercia se atribuye a Galileo. Basándose en sus experimentos, Galileo concluyó que el comportamiento "natural" de un cuerpo en movimiento era seguir moviéndose hasta que algo interfiriera con él. En Dos nuevas ciencias (1638), Galileo escribió: ^{[ 108 ] [ 109 ]}

Imaginemos cualquier partícula proyectada a lo largo de un plano horizontal sin fricción; entonces sabemos, por lo que se ha explicado con más detalle en las páginas anteriores, que esta partícula se moverá a lo largo de ese mismo plano con un movimiento uniforme y perpetuo, siempre que el plano no tenga límites.

Galileo reconoció que en el movimiento de proyectiles, la gravedad terrestre afecta el movimiento vertical pero no el horizontal. ^{[ 110 ]} Sin embargo, la idea de inercia de Galileo no era exactamente la que se codificaría en la primera ley de Newton. Galileo pensaba que un cuerpo que se mueve inercialmente a larga distancia seguiría la curvatura de la Tierra. Esta idea fue corregida por Isaac Beeckman , Descartes y Pierre Gassendi , quienes reconocieron que el movimiento inercial debería ser un movimiento en línea recta. ^{[ 111 ]} Descartes publicó sus leyes de la naturaleza (leyes del movimiento) con esta corrección en los Principios de la Filosofía ( Principia Philosophiae ) en 1644, atenuando la parte heliocéntrica. ^{[ 112 ] [ 107 ]}

Primera Ley de la Naturaleza: Cada cosa, cuando se la deja a su suerte, permanece en el mismo estado; por lo tanto, cualquier cuerpo en movimiento seguirá moviéndose hasta que algo lo detenga.

Segunda Ley de la Naturaleza: Todo objeto en movimiento, si se le deja a su suerte, se mueve en línea recta; por lo tanto, cualquier cuerpo que se mueva en círculo siempre tiende a alejarse del centro del círculo.

Según el filósofo estadounidense Richard J. Blackwell , el científico holandés Christiaan Huygens había elaborado su propia versión concisa de la ley en 1656. ^{[ 113 ]} No se publicó hasta 1703, ocho años después de su muerte, en el párrafo inicial de De Motu Corporum ex Percussione .

Hipótesis I: Cualquier cuerpo que ya esté en movimiento continuará moviéndose perpetuamente con la misma velocidad y en línea recta a menos que se le impida.

Según Huygens, esta ley ya era conocida por Galileo y Descartes, entre otros. ^{[ 113 ]}

Christiaan Huygens, en su Horologium Oscillatorium (1673), planteó la hipótesis de que «Por la acción de la gravedad, cualesquiera que sean sus fuentes, sucede que los cuerpos se mueven mediante un movimiento compuesto tanto por un movimiento uniforme en una dirección u otra como por un movimiento hacia abajo debido a la gravedad». La segunda ley de Newton generalizó esta hipótesis de la gravedad a todas las fuerzas. ^{[ 114 ]}

Una característica importante de la física newtoniana es que las fuerzas pueden actuar a distancia sin requerir contacto físico. ^{[ nota 16 ]} Por ejemplo, el Sol y la Tierra se atraen gravitacionalmente, a pesar de estar separados por millones de kilómetros. Esto contrasta con la idea, defendida por Descartes entre otros, de que la gravedad del Sol mantenía a los planetas en órbita haciéndolos girar en un vórtice de materia transparente, el éter . ^{[ 121 ]} Newton consideró explicaciones etéreas de la fuerza, pero finalmente las rechazó. ^{[ 119 ]} El estudio del magnetismo por William Gilbert y otros creó un precedente para pensar en fuerzas inmateriales , ^{[ 119 ]} y, al no poder encontrar una explicación cuantitativamente satisfactoria de su ley de gravedad en términos de un modelo etéreo, Newton finalmente declaró: " No finjo ninguna hipótesis ": si se pudiera encontrar o no un modelo como los vórtices de Descartes para sustentar las teorías del movimiento y la gravedad de los Principia , el primer criterio para juzgarlas deben ser las predicciones exitosas que hicieron. ^{[ 122 ]} Y, en efecto, desde la época de Newton, todo intento de crear un modelo de este tipo ha fracasado .

Johannes Kepler sugirió que las atracciones gravitatorias eran recíprocas —que, por ejemplo, la Luna atrae a la Tierra mientras la Tierra atrae a la Luna— pero no afirmó que tales pares fueran iguales y opuestos. ^{[ 123 ]} En sus Principios de Filosofía (1644), Descartes introdujo la idea de que durante una colisión entre cuerpos, una «cantidad de movimiento» permanece inalterada. Descartes definió esta cantidad de forma algo imprecisa sumando los productos de la velocidad y el «tamaño» de cada cuerpo, donde el «tamaño» para él incorporaba tanto el volumen como el área de la superficie. ^{[ 124 ]} Además, Descartes pensaba en el universo como un plenum , es decir, lleno de materia, por lo que todo movimiento requería que un cuerpo desplazara un medio al moverse.

Durante la década de 1650, Huygens estudió las colisiones entre esferas rígidas y dedujo un principio que ahora se conoce como la conservación del momento lineal. ^{[ 125 ] [ 126 ]} Posteriormente, Christopher Wren dedujo las mismas reglas para colisiones elásticas que Huygens, y John Wallis aplicó la conservación del momento lineal para estudiar las colisiones inelásticas . Newton citó el trabajo de Huygens, Wren y Wallis para respaldar la validez de su tercera ley. ^{[ 127 ]}

Newton llegó a su conjunto de tres leyes de forma gradual. En un manuscrito de 1684 dirigido a Huygens , enumeró cuatro leyes: el principio de inercia, el cambio de movimiento por la acción de una fuerza, una afirmación sobre el movimiento relativo que hoy se denominaría invariancia galileana , y la regla de que las interacciones entre cuerpos no alteran el movimiento de su centro de masa. En un manuscrito posterior, Newton añadió una ley de acción y reacción, indicando que esta ley y la relativa al centro de masa se implicaban mutuamente. Probablemente, Newton se decidió por la presentación en los Principia, con las tres leyes principales y luego otras afirmaciones reducidas a corolarios, durante 1685. ^{[ 128 ]}

Newton expresó su segunda ley diciendo que la fuerza sobre un cuerpo es proporcional a su cambio de movimiento, o momento. Para cuando escribió los Principia, ya había desarrollado el cálculo (que llamó " la ciencia de las fluxiones "), pero en los Principia no hizo un uso explícito del mismo, quizás porque creía que los argumentos geométricos en la tradición de Euclides eran más rigurosos. ^{[ 130 ] : 15 [ 131 ]} En consecuencia, los Principia no expresan la aceleración como la segunda derivada de la posición, y por lo tanto no dan la segunda ley como${\displaystyle F=ma}$Esta forma de la segunda ley fue escrita (para el caso especial de fuerza constante) al menos ya en 1716 por Jakob Hermann ; Leonhard Euler la emplearía como premisa básica en la década de 1740. ^{[ 132 ]} Euler fue pionero en el estudio de los cuerpos rígidos ^{[ 133 ]} y estableció la teoría básica de la dinámica de fluidos. ^{[ 134 ]} El Traité de mécanique céleste de Pierre-Simon Laplace , en cinco volúmenes (1798-1825), abandonó la geometría y desarrolló la mecánica puramente a través de expresiones algebraicas, al tiempo que resolvía cuestiones que los Principia habían dejado abiertas, como una teoría completa de las mareas . ^{[ 135 ]}

El concepto de energía se convirtió en una parte fundamental de la mecánica newtoniana en el período posterior a Newton. La solución de Huygens para la colisión de esferas rígidas demostró que, en ese caso, no solo se conserva el momento lineal, sino también la energía cinética (o, mejor dicho, una magnitud que, en retrospectiva, podemos identificar como la mitad de la energía cinética total). La cuestión de qué se conserva durante todos los demás procesos, como las colisiones inelásticas y el movimiento ralentizado por la fricción, no se resolvió hasta el siglo XIX. Los debates sobre este tema se superpusieron con las disputas filosóficas entre las visiones metafísicas de Newton y Leibniz, y a veces se utilizaban variantes del término «fuerza» para denotar lo que hoy llamaríamos tipos de energía. Por ejemplo, en 1742, Émilie du Châtelet escribió: «La fuerza muerta consiste en una simple tendencia al movimiento: tal es la de un resorte a punto de relajarse; la fuerza viva es la que posee un cuerpo cuando está en movimiento real». En la terminología moderna, la "fuerza muerta" y la "fuerza viva" corresponden a la energía potencial y la energía cinética, respectivamente. ^{[ 136 ]} La conservación de la energía no se estableció como un principio universal hasta que se comprendió que la energía del trabajo mecánico puede disiparse en forma de calor. ^{[ 137 ] [ 138 ]} Con el concepto de energía bien fundamentado, las leyes de Newton pudieron derivarse dentro de formulaciones de la mecánica clásica que priorizaban la energía, como en las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana descritas anteriormente.

Las presentaciones modernas de las leyes de Newton utilizan las matemáticas de los vectores, un tema que no se desarrolló hasta finales del siglo XIX y principios del XX. El álgebra vectorial, impulsada por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside , surgió del sistema anterior de cuaterniones inventado por William Rowan Hamilton y lo sustituyó en gran medida . ^{[ 139 ] [ 140 ]}