paradoja de la distribución

Una paradoja de reparto es una situación en la que un reparto —una regla para dividir objetos discretos según alguna relación proporcional— produce resultados que violan las nociones de sentido común o equidad .

Ciertas cantidades, como la leche, pueden dividirse en cualquier proporción; otras, como los caballos, no: solo sirven los números enteros. En este último caso, existe una tensión inherente entre el deseo de respetar la regla de la proporción lo más fielmente posible y la restricción que limita el tamaño de cada porción a valores discretos.

Se han identificado varias paradojas relacionadas con la distribución y la división equitativa . En algunos casos, simples ajustes a la metodología de distribución pueden resolver las paradojas observadas. Sin embargo, como demuestra el teorema de Balinski-Young, no siempre es posible proporcionar una resolución perfectamente justa que satisfaga todos los criterios de equidad en competencia. ^{[ 1 ]}^{: 227–235}

Historia

Un ejemplo de la paradoja de la distribución conocida como "la paradoja de Alabama " se descubrió en el contexto de la distribución de escaños en el Congreso de los Estados Unidos en 1880, ^{[ 1 ]}^{: 228–231} cuando los cálculos del censo encontraron que si el número total de escaños en la Cámara de Representantes aumentara hipotéticamente, esto disminuiría los escaños de Alabama de 8 a 7. Un impacto real se observó en 1900, cuando Virginia perdió un escaño a favor de Maine, a pesar de que la población de Virginia estaba creciendo más rápidamente: este es un ejemplo de la paradoja de la población. ^{[ 1 ]}^{: 231–232} En 1907, cuando Oklahoma se convirtió en estado, Nueva York perdió un escaño a favor de Maine, de ahí el nombre "la nueva paradoja del estado". ^{[ 1 ]}^{: 232–233}^{[ 2 ]}

El método de reparto utilizado durante este período, propuesto originalmente por Alexander Hamilton , pero vetado por George Washington y no adoptado hasta 1852, ^{[ 1 ]}^{: 228} fue el siguiente:

En primer lugar, se calcula la parte justa que le corresponde a cada estado, es decir, la proporción de escaños que obtendría cada estado si se permitieran valores fraccionarios.
En segundo lugar, cada estado recibe tantos escaños como la parte entera que le corresponde por derecho.
En tercer lugar, cualquier estado cuya cuota justa sea inferior a una recibe un escaño, independientemente de su población, tal como lo exige la Constitución de los Estados Unidos .
En cuarto lugar, los escaños restantes se distribuyen, uno a cada uno, entre los estados cuyas cuotas justas tengan las fracciones más altas.

El método de Hamilton reemplazó un método de redondeo propuesto por Thomas Jefferson , ^{[ 1 ]}^{: 228} y fue a su vez reemplazado por el método de Huntington-Hill en 1941. ^{[ 1 ]}

Ejemplos de paradojas

paradoja de Alabama

La paradoja de Alabama fue la primera de las paradojas de reparto de escaños que se descubrió. La Cámara de Representantes de los Estados Unidos está obligada constitucionalmente a asignar escaños en función del censo de población, que se realiza cada 10 años. El tamaño de la Cámara está fijado por ley.

Después del censo de 1880 , CW Seaton, jefe de la Oficina del Censo de los Estados Unidos , calculó las asignaciones para todos los tamaños de la Cámara de Representantes entre 275 y 350, y descubrió que Alabama obtendría ocho escaños con un tamaño de Cámara de 299 pero solo siete con un tamaño de Cámara de 300. ^{[ 1 ]}^{: 228–231} En general, el término paradoja de Alabama se refiere a cualquier escenario de asignación donde aumentar el número total de elementos disminuiría una de las partes. Un ejercicio similar realizado por la Oficina del Censo después del censo de 1900 calculó las asignaciones para todos los tamaños de Cámara de Representantes entre 350 y 400: Colorado habría recibido tres escaños en todos los casos, excepto con un tamaño de Cámara de 357, en cuyo caso habría recibido dos. ^{[ 3 ]}

El siguiente es un ejemplo simplificado (siguiendo el método del resto mayor ) con tres estados y 10 escaños y 11 escaños.

Obsérvese que la participación del estado C disminuye de 2 a 1 con el asiento añadido.

En este ejemplo de un aumento del 10 % en el número de escaños, la participación de cada estado aumenta en un 10 %. Sin embargo, un aumento fijo en el número de escaños incrementa la participación justa de forma más significativa para los estados más grandes (es decir, para los estados grandes más que para los pequeños). En particular, los estados grandes A y B vieron aumentar su participación justa más rápidamente que el estado pequeño C. Por lo tanto, las fracciones de A y B aumentaron más rápido que las de C. De hecho, superaron la fracción de C, lo que provocó que C perdiera su escaño, ya que el método de Hamilton asigna los escaños según qué estados tienen el mayor resto fraccional.

La paradoja de Alabama dio origen al axioma conocido como monotonicidad de la casa , que establece que, cuando aumenta el tamaño de la casa, las asignaciones de todos los estados deberían aumentar levemente.

paradoja de la población

La paradoja demográfica es un resultado contraintuitivo de algunos procedimientos de reparto de escaños. Cuando dos estados tienen poblaciones que crecen a ritmos diferentes, un estado pequeño con un crecimiento rápido puede perder un escaño legislativo frente a un estado grande con un crecimiento más lento.

Algunos de los métodos de reparto de escaños del Congreso más antiguos, como el de Hamilton, podían presentar la paradoja demográfica. En 1900, Virginia perdió un escaño frente a Maine, a pesar de que la población de Virginia crecía más rápidamente. ^{[ 1 ]}^{: 231–232} Sin embargo, los métodos de divisores, como el método actual, no la presentan.

Nueva paradoja de los estados

Dado un número fijo de representantes totales (determinado por la Cámara de Representantes de los Estados Unidos), agregar un nuevo estado reduciría , en teoría , el número de representantes de los estados existentes, ya que, según la Constitución de los Estados Unidos, cada estado tiene derecho a al menos un representante, independientemente de su población. Además, incluso si el número de miembros de la Cámara de Representantes aumenta en la cantidad de representantes del nuevo estado, un estado preexistente podría perder un escaño debido a cómo las reglas de asignación particulares manejan los métodos de redondeo. En 1907, cuando Oklahoma se convirtió en estado, se le asignó una parte justa de escaños y el número total de escaños aumentó en esa cantidad. La Cámara pasó de 386 a 391 miembros. Un recálculo de la asignación afectó el número de escaños debido a otros estados: Nueva York perdió un escaño, mientras que Maine ganó uno. ^{[ 1 ]}^{: 232–233}^{[ 2 ]}

La paradoja de los Nuevos Estados dio origen al axioma conocido como coherencia , que establece que, siempre que se active una regla de reparto en un subconjunto de los estados, con el subconjunto de escaños asignados a ellos, el resultado debería ser el mismo que en la solución general.

Teorema de Balinski-Young

En 1983, dos matemáticos, Michel Balinski y Peyton Young , demostraron que cualquier método de reparto que no viole la regla de cuotas dará lugar a paradojas siempre que haya cuatro o más partidos (o estados, regiones, etc.). ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Más precisamente, su teorema establece que no existe ningún sistema de reparto que tenga las siguientes propiedades para más de tres partidos ^{[ 1 ]}^{: 233–234} (como ejemplo tomamos la división de escaños entre partidos en un sistema de representación proporcional ):

Esto evita infracciones de la regla de cuotas: cada partido recibe uno de los dos números más cercanos a su proporción justa de escaños. Por ejemplo, si la proporción justa de un partido es de 7,34 escaños, debe obtener 7 u 8 para evitar una infracción; cualquier otro número infringiría la regla.
No presenta la paradoja demográfica: si el partido A obtiene más votos y el partido B obtiene menos votos, ningún escaño se transferirá de A a B.

Cabe destacar que cualquier método de reparto libre de la paradoja de la población siempre estará libre de la paradoja de Alabama. Sin embargo, lo contrario no es cierto. El método de Webster puede estar libre de incoherencias y mantener la cuota cuando hay tres partidos. Todos los métodos sensatos satisfacen ambos criterios en el caso trivial de dos partidos. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Demuestran la imposibilidad : los métodos de reparto pueden tener un subconjunto de estas propiedades, pero no pueden tenerlas todas:

Un método puede estar exento tanto de la paradoja de Alabama como de la paradoja de la población. Estos métodos son los métodos de divisores , y el método Huntington-Hill , que se utiliza actualmente para asignar los escaños de la Cámara de Representantes, es uno de ellos. Sin embargo, estos métodos necesariamente no siempre cumplirán con el sistema de cuotas en otras circunstancias.
Ningún método puede seguir siempre el sistema de cuotas y estar libre de la paradoja de la población. ^{[ 6 ]}

La división de escaños en una elección es una preocupación cultural prominente. En 1876, la elección presidencial de los Estados Unidos dependió del método por el cual se calculó la fracción restante. Rutherford Hayes recibió 185 votos del colegio electoral, y Samuel Tilden recibió 184. Tilden ganó el voto popular. Con un método de redondeo diferente, el recuento final del colegio electoral se habría invertido. ^{[ 1 ]}^{: 228} Sin embargo, surgen muchas situaciones matemáticamente análogas en las que las cantidades deben dividirse en partes discretas iguales. ^{[ 1 ]}^{: 233} El teorema de Balinski-Young se aplica en estas situaciones: indica que, aunque se pueden hacer aproximaciones muy razonables, no hay una manera matemáticamente rigurosa de conciliar la pequeña fracción restante cumpliendo con todos los elementos de equidad en competencia. ^{[ 1 ]}^{: 233} En general, la respuesta de los matemáticos ha sido abandonar la regla de cuotas como la propiedad menos importante, aceptando que los errores de asignación a veces pueden exceder ligeramente un escaño.

Un método puede seguir el sistema de cuotas y estar libre de la paradoja de Alabama. Balinski y Young construyeron un método que lo hace, aunque no es de uso político común. ^{[ 7 ]}

Referencias

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↑ Bogomolny, Alex (enero de 2002). "La Constitución y las paradojas" . ¡ Corta el nudo!
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Enlaces externos

La Constitución y las paradojas
Reparto: Contribución de Balinski y Young

[Stein2008-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Stein, James D. (2008). Cómo las matemáticas explican el mundo: Una guía al poder de los números, desde la reparación de automóviles hasta la física moderna . Nueva York: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.

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[3] Bogomolny, Alex (enero de 2002). "La Constitución y las paradojas" . ¡ Corta el nudo!

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[6] Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (septiembre de 1980). "La teoría de la asignación" (PDF) . Documentos de trabajo . Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados. WP-80-131.

[7] Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (noviembre de 1974). "Un nuevo método para la asignación de escaños en el Congreso" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 71 (11): 4602– 4606. Bibcode : 1974PNAS...71.4602B . doi : 10.1073/pnas.71.11.4602 . PMC 433936. PMID 16592200 .

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