Coherencia (equidad)

La coherencia , ^{[ 1 ]} también llamada uniformidad ^{[ 2 ]}^{: Teorema 8.3} o consistencia , es un criterio para evaluar reglas de división justa . La coherencia exige que el resultado de una regla de equidad sea justo no solo para el problema general, sino también para cada subproblema. Cada parte de una división justa debe ser justa. ^{[ 2 ]}

El requisito de coherencia se estudió inicialmente en el contexto de la distribución de escaños . En este contexto, el incumplimiento de la coherencia se conoce como la paradoja de los nuevos estados : cuando un nuevo estado de EE. UU. se incorpora a la unión y se amplía el número de escaños en la Cámara de Representantes para dar cabida a los asignados a este nuevo estado, otros estados no relacionados se ven afectados. La coherencia también es relevante para otros problemas de división equitativa, como los problemas de bancarrota .

Definición

Hay un recurso para asignar, denotado por $h$ Por ejemplo, puede ser un número entero que represente el número de escaños en una cámara de representantes. El recurso debe asignarse entre algunos $n$ agentes . Por ejemplo, estos pueden ser estados federales o partidos políticos . Los agentes tienen diferentes derechos , denotados por un vector. $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Por ejemplo, t _i puede ser la fracción de votos ganados por el partido i . Una asignación es un vector $a_{1},\ldots ,a_{n}$ con $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ . Una regla de asignación es una regla que, para cualquier $h$ y vector de derecho $t_{1},\ldots ,t_{n}$ , devuelve un vector de asignación $a_{1},\ldots ,a_{n}$ .

Una regla de asignación se denomina coherente (o uniforme ) si, para cada subconjunto S de agentes, si la regla se activa en el subconjunto del recurso $h_{S}:=\sum _{i\in S}a_{i}$ y en el vector de derecho $(t_{i})_{i\in S}$ , entonces el resultado es el vector de asignación $(a_{i})_{i\in S}$ Es decir: cuando la regla se activa en un subconjunto de los agentes, con el subconjunto de recursos que recibieron, el resultado para ellos es el mismo.

Manejo de corbatas

En general, una regla de asignación puede devolver más de una asignación (en caso de empate). En este caso, la definición debe actualizarse. Denotemos la regla de asignación por $M$ y denotemos por $M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$ el conjunto de vectores de asignación devueltos por $M$ en el recurso $h$ y vector de derecho $t_{1},\ldots ,t_{n}$ La regla $M$ Se denomina coherente si se cumple lo siguiente para cada vector de asignación. $(a_{i})_{i=1}^{n}\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$ y cualquier subconjunto S de agentes: ^{[ 3 ]}^{: Sec.4}

$(a_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}$ Es decir, cada parte de cada posible solución al gran problema es una posible solución al subproblema.
Por cada $(b_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}$ y $(c_{i})_{i\notin S}\in M{\Big (}\sum _{i\notin S}a_{i};(t_{i})_{i\notin S}{\Big )}$ , tenemos $[(b_{i})_{i\in S},(c_{i})_{i\notin S}]\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$ . Es decir, si hay otras soluciones (empatadas) a los subproblemas, entonces al sustituirlas por las soluciones originales de los subproblemas se obtienen otras soluciones (empatadas) al problema principal.

Coherencia en el reparto

En los problemas de asignación de recursos, el recurso a distribuir es discreto , por ejemplo, los escaños en un parlamento. Por lo tanto, cada agente debe recibir una asignación entera.

Métodos no coherentes: la nueva paradoja del estado

Una de las reglas más intuitivas para la asignación de escaños en un parlamento es el método del resto mayor (MRM). Este método dicta que el vector de derechos debe normalizarse de manera que la suma de los derechos sea igual a $h$ (el número total de asientos a asignar). Luego, cada agente debe obtener su derecho normalizado (a menudo llamado cuota ) redondeado hacia abajo. Si quedan asientos, se deben asignar a los agentes con el mayor resto, es decir, la mayor fracción del derecho. Sorprendentemente, esta regla no es coherente. Como ejemplo sencillo, supongamos que $h=5$ y los derechos normalizados de Alice, Bob y Chana son 0.4, 1.35, 3.25 respectivamente. Entonces, la asignación única devuelta por LRM es 1, 1, 3 (la asignación inicial es 0, 1, 3, y el asiento extra va a Alice, ya que su resto 0.4 es el mayor). Ahora, supongamos que activamos la misma regla en Alice y Bob solos, con su asignación combinada de 2. Los derechos normalizados son ahora 0.4/1.75 × 2 ≈ 0.45 y 1.35/1.75 × 2 ≈ 1.54. Por lo tanto, la asignación única devuelta por LRM es 0, 2 en lugar de 1, 1. Esto significa que en la gran solución 1, 1, 3, la división interna entre Alice y Bob no sigue el principio de los restos más grandes , no es coherente.

Otra forma de ver esta falta de coherencia es la siguiente. Supongamos que el tamaño de la cámara es 2, y hay dos estados A y B con cuotas de 0,4 y 1,35. Entonces, la asignación única dada por el LRM es 0, 2. Ahora, un nuevo estado C se une a la unión, con una cuota de 3,25. Se le asignan 3 escaños, y el tamaño de la cámara aumenta a 5 para acomodar estos nuevos escaños. Este cambio no debería afectar a los estados existentes A y B. De hecho, con el LRM, los estados existentes se ven afectados: el estado A gana un escaño, mientras que el estado B pierde uno. Esto se conoce como la paradoja del nuevo estado .

La nueva paradoja estatal se observó en 1907, cuando Oklahoma se convirtió en estado. Se le asignó una parte justa de 5 escaños, y el número total de escaños aumentó en esa cantidad, de 386 a 391 miembros. Después de que el recálculo de la distribución afectara el número de escaños debido a otros estados: Nueva York perdió un escaño, mientras que Maine ganó uno. ^{[ 4 ]}^{: 232–233}^{[ 5 ]}

Métodos coherentes

Cada método divisor es coherente. Esto se deduce directamente de su descripción como secuencias de selección: en cada iteración, el siguiente agente en seleccionar un elemento es aquel con la mayor proporción (derecho/divisor). Por lo tanto, el orden de prioridad relativa entre los agentes es el mismo incluso si consideramos un subconjunto de ellos.

Propiedades de los métodos coherentes

Cuando la coherencia se combina con otros requisitos naturales, caracteriza una clase estructurada de métodos de reparto. Dichas caracterizaciones fueron demostradas por varios autores. ^{[ 3 ]}^{: Sec.1} Todos los resultados suponen que las reglas son homogéneas (es decir, dependen solo del porcentaje de votos para cada partido, no del número total de votos).

Si una regla de reparto coherente es equilibrada y concordante , entonces es un método divisor. ^{[ 6 ]}^{: Teorema 3, 10}
Si una regla de reparto coherente es anónima y equilibrada , entonces es un método de índice de rango (una superclase de métodos divisores). ^{[ 2 ]}^{: Thm.8.3} Lo contrario también es cierto: entre los métodos anónimos y equilibrados, un método es coherente si y solo si es un método de índice de rango.
Si una regla de reparto coherente es anónima , concordante y débilmente exacta , entonces es un método divisor. ^{[ 2 ]}^{: Teorema 8.4, pág. 147}
Balinsky y Rachev demostraron que si una regla de reparto coherente es anónima , preserva el orden , débilmente exacta y completa , entonces es un método divisor. ^[⁷^]^[⁸^]^:^{Teorema 2.2,}^{pág. 8}
Si una regla de reparto coherente es anónima y equilibrada , entonces es monótona para la casa . ^{[ 3 ]}
- Si, además, también es concordante , es monótono en cuanto a la proporción de votos .
- Si, además, es también fuertemente exacto , entonces es un método divisor.
Young demostró que el método de reparto único que es una extensión coherente de la regla de reparto natural de dos partes de redondeo al entero más cercano es el método Webster . ^{[ 9 ]}^{: 49–50, 190}^{[ 10 ]}^{: Sub.9.10}

Coherencia en los problemas de bancarrota

En los casos de bancarrota , el recurso a asignar es continuo ; por ejemplo, la cantidad de dinero que deja un deudor. Cada agente puede recibir cualquier fracción de dicho recurso. Sin embargo, la suma de los derechos suele ser mayor que el total del recurso restante.

La regla más intuitiva para resolver tales problemas es la regla proporcional , en la que cada agente recibe una parte del recurso proporcional a su derecho. Esta regla es sin duda coherente. Sin embargo, no es la única regla coherente: la regla talmúdica de la prenda disputada puede extenderse a una regla de división coherente. ^{[ 1 ]}^{: Sec.4}

Coherencia en la asignación de órganos

En la mayoría de los países, el número de pacientes en espera de un trasplante de órganos es mucho mayor que el número de órganos disponibles. Por lo tanto, la mayoría de los países eligen a quién asignar un órgano mediante algún orden de prioridad. Sorprendentemente, algunos de los órdenes de prioridad utilizados en la práctica no son coherentes. Por ejemplo, una regla utilizada por UNOS en el pasado era la siguiente: ^{[ 1 ]}^{: Sec.6}

A cada paciente se le asigna una puntuación personal , basada en ciertos datos médicos.
A cada paciente se le asigna una bonificación , que es 10 veces la proporción de pacientes que esperaron menos que él.
Los agentes se priorizan según la suma de su puntuación más la bonificación.

Supongamos que las puntuaciones personales de cuatro pacientes A, B, C y D son 16, 21, 20 y 23. Supongamos que sus tiempos de espera son A > B > C > D. En consecuencia, sus bonificaciones son 10, 7,5, 5 y 2,5. Por lo tanto, sus sumas son 26, 28,5, 25 y 25,5, y el orden de prioridad es B > A > D > C. Ahora, después de que B recibe un órgano, las puntuaciones personales de A, C y D permanecen iguales, pero las bonificaciones cambian a 10, 6,67 y 3,33, por lo que las sumas son 26, 26,67 y 26,33, y el orden de prioridad es C > D > A. Esto invierte el orden entre los tres agentes.

Para lograr un orden de prioridad coherente, la prioridad debe determinarse únicamente por rasgos personales. Por ejemplo, la bonificación puede calcularse según el número de meses en la lista de espera, en lugar de por la fracción de pacientes. ^{[ 11 ]}

Véase también

paradoja de la distribución

Referencias

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