Función aproximadamente continua

En matemáticas , particularmente en análisis matemático y teoría de la medida , una función aproximadamente continua es un concepto que generaliza la noción de funciones continuas al reemplazar el límite ordinario por un límite aproximado . ^{[ 1 ]} Esta generalización proporciona información sobre funciones medibles con aplicaciones en análisis real y teoría geométrica de la medida. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ser un conjunto medible de Lebesgue ,${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} ^{k}}$ser una función medible y${\displaystyle x_{0}\in E}$ser un punto donde la densidad de Lebesgue de${\displaystyle E}$es 1. La función${\displaystyle f}$Se dice que es aproximadamente continuo en${\displaystyle x_{0}}$si y solo si el límite aproximado de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x_{0}}$existe y es igual a${\displaystyle f(x_{0})}$. ^{[ 3 ]}

Un resultado fundamental en la teoría de las funciones aproximadamente continuas se deriva del teorema de Lusin , que establece que toda función medible es aproximadamente continua en casi todos los puntos de su dominio. ^{[ 4 ]} El concepto de continuidad aproximada puede extenderse más allá de las funciones medibles a funciones arbitrarias entre espacios métricos. El teorema de Stepanov-Denjoy proporciona una caracterización notable:

Teorema de Stepanov-Denjoy: Una función es medible si y solo si es aproximadamente continua casi en todas partes . ^{[ 5 ]}

Las funciones aproximadamente continuas están íntimamente conectadas con los puntos de Lebesgue . Para una función${\displaystyle f\in L^{1}(E)}$, un punto${\displaystyle x_{0}}$es un punto de Lebesgue si es un punto de densidad de Lebesgue 1 para${\displaystyle E}$y satisface

${\displaystyle \lim _{r\downarrow 0}{\frac {1}{\lambda (B_{r}(x_{0}))}}\int _{E\cap B_{r}(x_{0})}|f(x)-f(x_{0})|\,dx=0}$

dónde${\displaystyle \lambda }$denota la medida de Lebesgue y${\displaystyle B_{r}(x_{0})}$representa la bola de radio${\displaystyle r}$centrado en${\displaystyle x_{0}}$. Cada punto de Lebesgue de una función es necesariamente un punto de continuidad aproximada. ^{[ 6 ]} La relación inversa se cumple bajo restricciones adicionales: cuando${\displaystyle f}$es esencialmente acotada , sus puntos de continuidad aproximada coinciden con sus puntos de Lebesgue. ^{[ 7 ]}

• Límite aproximado
• Punto de densidad
• Topología de densidad (que sirve para describir funciones aproximadamente continuas de una manera diferente, como funciones continuas para una topología diferente).
• Punto Lebesgue
• Teorema de Lusin
• Función medible