Topología de densidad

En matemáticas , la topología de densidad en los números reales es una topología en la recta real que es diferente (estrictamente más fina ), pero en cierto modo análoga, a la topología usual . A veces se utiliza en análisis real para expresar o relacionar propiedades de la medida de Lebesgue en términos topológicos.

Dejar${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$sea ​​un conjunto medible de Lebesgue. Por el teorema de densidad de Lebesgue , casi cada punto${\displaystyle x}$de${\displaystyle U}$es un punto de densidad de${\displaystyle U}$, es decir, satisface

${\displaystyle {\frac {\lambda (U\,\cap \,(xh,x+h))}{2h}}\ {\underset {h\to 0^{+}}{\longrightarrow }}\ 1}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es la medida de Lebesgue y${\displaystyle (xh,x+h)}$es el intervalo abierto de longitud${\displaystyle 2h}$centrado en${\displaystyle x}$.

Cuando todos los puntos de${\displaystyle U}$son puntos de densidad de${\displaystyle U}$, se dice que es de densidad abierta . ^{[ 1 ]}

Se puede demostrar que la densidad de conjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} }$forman una topología (en otras palabras, son estables bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas): ^{[ 2 ]} esto constituye la topología de densidad.

Todo conjunto abierto en la topología usual de${\displaystyle \mathbb {R} }$(es decir, una unión de intervalos abiertos) es abierta en densidad, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el subconjunto${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1/n:n>0\}}$no es abierto en el sentido habitual (ya que todo entorno abierto de 0 contiene algún${\displaystyle 1/n}$y por lo tanto no está contenido en el conjunto), pero es abierto en densidad (el único punto problemático es 0 y el conjunto tiene densidad 1 en 0). De manera más general, cualquier subconjunto de medida completa es abierto en densidad. Esto incluye, por ejemplo, los complementos de${\displaystyle \mathbb {Q} }$y el conjunto Cantor .

De forma menos trivial, y quizás más instructiva, mostremos que el conjunto${\displaystyle U:=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{+\infty }\left[{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2^{n}}}\right]}$(que, de nuevo, no es abierto en la topología usual) es abierto en densidad. De nuevo, en cada punto${\displaystyle x\in U}$Aparte de 0, esto es claro porque es un entorno par de x para la topología usual, por lo que el único punto a considerar es 0. Pero si${\displaystyle h>0}$y dejamos${\displaystyle k:=\left\lfloor {\frac {1}{h}}\right\rfloor }$, luego cada intervalo${\displaystyle \left[{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2^{n}}}\right]}$que se cruza${\displaystyle (-h,h)}$tiene${\displaystyle n>k}$por lo que su medida total es${\displaystyle \leq 2^{-k}}$, y${\displaystyle {\frac {\lambda ((-h,+h)\setminus U)}{2h}}\leq {\frac {2^{-k}}{2h}}\leq {\frac {2^{-1/h}}{h}}{\underset {h\to 0^{+}}{\longrightarrow }}0}$demostrando que 0 es efectivamente un punto de densidad de U.

Dejar${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$denotamos la línea real dotada de la topología de densidad.

• Como${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología habitual,${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$es un espacio topológico de Hausdorff ( T ₂ ) y Tychonoff ( T _{3 + 1 ⁄ 2} ) pero a diferencia de la topología usual, no es normal ( T ₄ ). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Un subconjunto${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} _{\mathrm {d} }}$no es denso en ninguna parte (para la topología de densidad ) si y solo si es escaso (ídem) si y solo si es cerrado y discreto (ídem) si y solo si es un conjunto nulo (en el sentido de la medida de Lebesgue). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Los subconjuntos de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$(para la topología de densidad ) son precisamente los conjuntos medibles de Lebesgue; ^{[ 7 ]} y el álgebra booleana completa de conjuntos abiertos regulares de${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$puede identificarse con el "álgebra de medida reducida", es decir, el álgebra booleana de conjuntos medibles de Lebesgue módulo conjuntos nulos.

• Como${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología habitual,${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$está conectado. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Como${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología habitual,${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$es un espacio de Baire ; de ​​hecho, a diferencia de la topología usual, es incluso hereditariamente de Baire en el sentido de que cada subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$es un espacio Baire. ^{[ 10 ]}

• Los subespacios compactos de${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {d} }}$son precisamente sus subconjuntos finitos. ^{[ 11 ]}

• Las funciones aproximadamente continuas${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$son precisamente las funciones continuas${\displaystyle f:\mathbb {R} _{\mathrm {d} }\to \mathbb {R} }$(es decir, colocar la topología de densidad en la fuente pero la topología habitual en el destino). ^{[ 12 ]}

• Enciclopedia Springer de Matemáticas: artículo "Topología de densidad"
• Tall, Franklin D. (1976). "La topología de la densidad". Pacific Journal of Mathematics . 62 : 275–284 . doi : 10.2140/pjm.1976.62.275 .
• Ciesielski, Krzysztof; Larson, Lee; Ostaszewski, Krzysztof (1994).${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-densidad Funciones continuas . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-6238-4.