Colector de semanas

En matemáticas , la variedad de Weeks , a veces llamada variedad de Fomenko-Matveev-Weeks , es una 3-variedad hiperbólica cerrada obtenida mediante cirugías de Dehn (5,  2) y (5,  1) en el enlace de Whitehead . Tiene un volumen aproximadamente igual a 0,942707… ( OEIS : A126774 ) y David Gabai , Robert Meyerhoff y Peter Milley ( 2009 ) demostraron que tiene el volumen más pequeño de cualquier 3-variedad hiperbólica orientable cerrada. La variedad fue descubierta independientemente por Jeffrey Weeks ( 1985 ) así como por Sergei V. Matveev y Anatoly T. Fomenko ( 1988 ) .    

Dado que la variedad de Weeks es una 3-variedad hiperbólica aritmética , su volumen se puede calcular utilizando sus datos aritméticos y una fórmula debida a Armand Borel :

${\displaystyle V_{w}={\frac {3\cdot 23^{3/2}\zeta _ {k}(2)}{4\pi ^{4}}}=0,942707\dots }$

dónde${\displaystyle k}$es el campo numérico generado por${\displaystyle \theta }$satisfactorio${\displaystyle \theta ^{3}-\theta +1=0}$y${\displaystyle \zeta _{k}}$es la función zeta de Dedekind de${\displaystyle k}$. ^{[ 1 ]} Alternativamente,

${\displaystyle V_{w}=\Im ({\rm {{Li}_{2}(\theta )+\ln |\theta |\ln(1-\theta ))=0.942707\dots }}}$

dónde${\displaystyle {\rm {{Li}_{n}}}}$es el polilogaritmo y${\displaystyle |x|}$es el valor absoluto de la raíz compleja${\displaystyle \theta }$(con parte imaginaria positiva) de la cúbica.

La variedad de Weeks tiene grupo de simetría${\displaystyle D_{6}}$, el grupo diedral de orden 12. Los cocientes por este grupo y sus subgrupos pueden usarse para caracterizar la variedad como un recubrimiento ramificado basado en un orbifold . En particular, el cociente por el subgrupo de orden 3 del grupo ^de simetría tiene como conjunto subyacente una 3-esfera y como conjunto de ramificación un nudo 5 _2. ^{[ 2} ]

La 3-variedad hiperbólica con cúspides obtenida mediante  la cirugía de Dehn (5, 1) en el enlace de Whitehead es la denominada variedad hermana del complemento del nudo de figura ocho . El complemento del nudo de figura ocho y su variedad hermana poseen el menor volumen de cualquier 3-variedad hiperbólica con cúspides orientable. Por lo tanto, la 3-variedad de Weeks puede obtenerse mediante la cirugía de Dehn hiperbólica en una de las dos 3-variedades hiperbólicas con cúspides orientables más pequeñas.

• Colector Meyerhoff : otro colector con un volumen muy pequeño.

• Agol, Ian ; Storm, Peter A.; Thurston, William P. (2007), "Límites inferiores para volúmenes de variedades hiperbólicas de Haken de dimensión 3 (con un apéndice de Nathan Dunfield)", Journal of the American Mathematical Society , 20 (4): 1053–1077 , arXiv : math.DG/0506338 , Bibcode : 2007JAMS...20.1053A , doi : 10.1090/S0894-0347-07-00564-4 , MR 2328715 .
• Chinburg, Ted; Friedman, Eduardo; Jones, Kerry N.; Reid, Alan W. (2001), "La variedad 3 hiperbólica aritmética de volumen más pequeño" , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Clase de ciencia. Serie IV , 30 (1): 1– 40, SEÑOR 1882023 
• Gabai, David ; Meyerhoff, Robert; Milley, Peter (2009), "Variedades hiperbólicas tridimensionales con cúspides de volumen mínimo", Journal of the American Mathematical Society , 22 (4): 1157–1215 , arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS...22.1157G , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00639-0 , MR 2525782 
• Matveev, Sergei V.; Fomenko, Aanatoly T. (1988), "Superficies isoenergéticas de sistemas hamiltonianos, enumeración de variedades tridimensionales en orden de crecimiento de su complejidad y cálculo de los volúmenes de variedades hiperbólicas cerradas", Russian Mathematical Surveys , 43 (1): 3–24 , Bibcode : 1988RuMaS..43....3M , doi : 10.1070/RM1988v043n01ABEH001554 , MR 0937017 
• Weeks, Jeffrey (1985), Estructuras hiperbólicas en 3-variedades , tesis doctoral, Universidad de Princeton