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Articulo de referencia

Geometría aritmética

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La curva hiperelíptica definida por y 2 = x ( x + 1)( x − 3)( x + 2)( x − 2) tiene solo un número finito de puntos racionales (como los puntos (−2, 0) y (−1, 0) ) por el teorema de Faltings .

En matemáticas, la geometría aritmética es, a grandes rasgos, la aplicación de técnicas de la geometría algebraica a problemas de la teoría de números . [ 1 ] La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica , el estudio de los puntos racionales de las variedades algebraicas . [ 2 ] [ 3 ]

En términos más abstractos, la geometría aritmética puede definirse como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de enteros . [ 4 ]

Descripción general

Los objetos clásicos de interés en geometría aritmética son los puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre cuerpos numéricos , cuerpos finitos , cuerpos p -ádicos o cuerpos de funciones , es decir, cuerpos que no son algebraicamente cerrados, excluyendo los números reales . Los puntos racionales pueden caracterizarse directamente mediante funciones de altura que miden su complejidad aritmética. [ 5 ]

La estructura de las variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. Sobre cuerpos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a las variedades algebraicas. [ 6 ] La teoría de Hodge p -ádica proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre los números complejos se extienden a aquellas sobre cuerpos p -ádicos . [ 7 ]

Historia

Siglo XIX: geometría aritmética temprana

A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras no nulas para ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales no nulas. [ 8 ]

En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber , introdujo la teoría de divisores y estableció numerosas conexiones entre la teoría de números y el álgebra . Luego conjeturó su " liebster Jugendtraum " ("sueño más querido de la juventud"), una generalización que Hilbert presentó posteriormente de forma modificada como su duodécimo problema , el cual plantea el objetivo de que la teoría de números opere únicamente con anillos que sean cocientes de anillos de polinomios sobre los enteros. [ 9 ]

Principios y mediados del siglo XX: desarrollos algebraicos y las conjeturas de Weil

A finales de la década de 1920, André Weil demostró profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números con su trabajo doctoral, que condujo al teorema de Mordell-Weil, el cual demuestra que el conjunto de puntos racionales de una variedad abeliana es un grupo abeliano finitamente generado . [ 10 ]

Los fundamentos modernos de la geometría algebraica se desarrollaron a partir del álgebra conmutativa contemporánea , incluyendo la teoría de la valuación y la teoría de los ideales de Oscar Zariski y otros en las décadas de 1930 y 1940. [ 11 ]

En 1949, André Weil planteó las trascendentales conjeturas de Weil sobre las funciones zeta locales de variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. [ 12 ] Estas conjeturas ofrecieron un marco entre la geometría algebraica y la teoría de números que impulsó a Alexander Grothendieck a reformular los fundamentos utilizando la teoría de haces (junto con Jean-Pierre Serre ) y, posteriormente, la teoría de esquemas, en las décadas de 1950 y 1960. [ 13 ] Bernard Dwork demostró una de las cuatro conjeturas de Weil (racionalidad de la función zeta local) en 1960. [ 14 ] Grothendieck desarrolló la teoría de la cohomología étale para demostrar dos de las conjeturas de Weil (junto con Michael Artin y Jean-Louis Verdier ) en 1965. [ 6 ] [ 15 ] La última de las conjeturas de Weil (un análogo de la hipótesis de Riemann ) sería finalmente demostrada en 1974 por Pierre Deligne . [ 16 ]

Mediados y finales del siglo XX: desarrollos en modularidad, métodos p -ádicos y más allá.

Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura plantearon la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora conocida como el teorema de modularidad) que relaciona las curvas elípticas con las formas modulares . [ 17 ] [ 18 ] Esta conexión conduciría finalmente a la primera demostración del Último Teorema de Fermat en teoría de números mediante técnicas de geometría algebraica de elevación de modularidad desarrolladas por Andrew Wiles en 1995. [ 19 ]

En la década de 1960, Goro Shimura introdujo las variedades de Shimura como generalizaciones de curvas modulares . [ 20 ] Desde 1979, las variedades de Shimura han desempeñado un papel crucial en el programa de Langlands como un ámbito natural de ejemplos para probar conjeturas. [ 21 ]

En artículos de 1977 y 1978, Barry Mazur demostró la conjetura de torsión , proporcionando una lista completa de los posibles subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre los números racionales. La primera demostración de Mazur de este teorema dependía de un análisis completo de los puntos racionales en ciertas curvas modulares . [ 22 ] [ 23 ] En 1996, Loïc Merel extendió la demostración de la conjetura de torsión a todos los cuerpos numéricos . [ 24 ]

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell , demostrando que una curva de género mayor que 1 tiene solo un número finito de puntos racionales (mientras que el teorema de Mordell-Weil solo demuestra la generación finita del conjunto de puntos racionales en contraposición a la finitud). [ 25 ] [ 26 ]

Principios del siglo XXI

En 2001, la demostración de las conjeturas locales de Langlands para GL n se basó en la geometría de ciertas variedades de Shimura. [ 27 ]

En la década de 2010, Peter Scholze desarrolló espacios perfectoides y nuevas teorías de cohomología en geometría aritmética sobre cuerpos p -ádicos con aplicación a representaciones de Galois y ciertos casos de la conjetura de monodromía de peso . [ 28 ] [ 29 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  2. ↑ Klarreich, Erica (28 de junio de 2016). "Peter Scholze y el futuro de la geometría aritmética" . Recuperado el 22 de marzo de 2019 .
  3. ↑ Poonen, Bjorn (2009). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  4. ↑ Geometría aritmética en el Laboratorio n
  5. ^ Lang, Serge (1997). Estudio de Geometría Diofántica . Springer-Verlag . págs. 43 a 67. ISBN  3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 . 
  6. 1 2 Grothendieck, Alexander (1960). "La teoría de la cohomología de las variedades algebraicas abstractas" . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Edimburgo, 1958) . Cambridge University Press . págs. 103–118 . MR 0130879 .  
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Currículum vitae del curso, 1965-1966". Anuario del Collège de France . París: 49– 58.
  8. ↑ Mordell, Louis J. (1969). Ecuaciones diofánticas . Academic Press. pág. 1. ISBN  978-0125062503.
  9. ↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. págs. 773–774 . ISBN  978-0-691-11880-2.
  10. ^ Weil, A. (1929). "La aritmética de las corrientes algébriques". Acta Matemática . 52 : 281-315 .Reimpreso en el volumen 1 de sus obras recopiladas, ISBN 0-387-90330-5.
  11. ↑ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S .; Lipman, Joseph ; Mumford, David (eds.). Superficies algebraicas . Clásicos en matemáticas (2.ª ed. suplementaria). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-58658-6MR 0469915 .​ 
  12. ↑ Weil, André (1949). "Número de soluciones de ecuaciones en cuerpos finitos" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (5): 497– 508. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . MR 0029393 .  Reimpreso en Oeuvres Scientifiques/Collected Papers de André Weil ISBN 0-387-90330-5
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algébriques Cohérents". Los Anales de las Matemáticas . 61 (2): 197– 278. doi : 10.2307/1969915 . JSTOR 1969915 . 
  14. ↑ Dwork, Bernard (1960) . "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica". American Journal of Mathematics . 82 (3): 631– 648. doi : 10.2307/2372974 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372974. MR 0140494 .   
  15. ^ Grothendieck, Alejandro (1995) [1965]. "Fórmula de Lefschetz y racionalidad de las funciones L" . Seminario Bourbaki . vol. 9. París: Société Mathématique de France . págs. 41 a 55. SEÑOR 1608788 .   
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  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). "Problema 12". Sugaku (en japonés). 7 : 269.
  18. ↑ Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama y su época. Recuerdos muy personales" . The Bulletin of the London Mathematical Society . 21 (2): 186– 196. doi : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN 0024-6093 . MR 0976064 .  
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  20. ↑ Shimura, Goro (2003). Obras completas de Goro Shimura . Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
  21. ↑ Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Un cuento" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L : Simposio de matemáticas puras . Vol. 33 Parte 1. Chelsea Publishing Company. págs. 205–246 .  
  22. ^ Mazur, Barry (1977). "Curvas modulares y el ideal de Eisenstein" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33– 186. doi : 10.1007/BF02684339 . SEÑOR 0488287 . 
  23. ↑ Mazur, Barry (1978). "Isogenias racionales de grado primo". Inventiones Mathematicae . 44 (2). con apéndice de Dorian Goldfeld : 129–162 . Bibcode : 1978InMat..44..129M . doi : 10.1007/BF01390348 . MR 0482230 . 
  24. ^ Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [ Límites para la torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos ] . Inventiones Mathematicae (en francés). 124 (1): 437– 449. Bibcode : 1996InMat.124..437M . doi : 10.1007/s002220050059 . SEÑOR 1369424 . 
  25. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [ Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos ] . Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349– 366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . SEÑOR 0718935 . 
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  27. ↑ Harris, Michael ; Taylor, Richard (2001). La geometría y cohomología de algunas variedades de Shimura simples . Annals of Mathematics Studies. Vol. 151. Princeton University Press . ISBN  978-0-691-09090-0. MR 1876802 . 
  28. ↑ "Medallas Fields 2018" . Unión Matemática Internacional . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
  29. ↑ Scholze, Peter. "Espacios perfectoides: una revisión" (PDF) . Universidad de Bonn . Consultado el 4 de noviembre de 2018 .