Artin conductor

En teoría de números , el conductor de Artin es un número o ideal asociado a un carácter de un grupo de Galois de un campo local o global , introducido por Emil Artin ^{[ 1 ] [ 2 ]} como una expresión que aparece en la ecuación funcional de una función L de Artin .

Supongamos que${\displaystyle L}$es una extensión de Galois finita del campo local${\displaystyle K}$, con el grupo Galois${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle \chi }$es un personaje de${\displaystyle G}$, entonces el director de orquesta Artin de${\displaystyle \chi }$es el número

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i})),}$

dónde${\displaystyle G_{i}}$es el${\displaystyle i}$-ésimo grupo de ramificación (en numeración inferior ), de orden${\displaystyle g_{i}}$, y${\displaystyle \chi (G_{i})}$es el valor promedio de${\displaystyle \chi }$en${\displaystyle G_{i}}$. ^{[ 3 ]} El conductor local es un número entero. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Heurísticamente, el conductor de Artin mide cuán lejos está la acción de los grupos de ramificación superiores de ser trivial. En particular, si${\displaystyle \chi }$si no está ramificado, entonces su conductor de Artin es cero. Por lo tanto, si${\displaystyle L}$no está ramificado${\displaystyle K}$, entonces los directores de Artin de todos${\displaystyle \chi }$son cero.

El invariante salvaje ^{[ 5 ]} o conductor Swan ^{[ 6 ]} del carácter es

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),}$

en otras palabras, la suma de los términos de orden superior con${\displaystyle i>0}$.

El director global de Artin de una representación${\displaystyle \chi }$del grupo Galois${\displaystyle G}$de una extensión finita${\displaystyle L/K}$de campos globales es un ideal de${\displaystyle K}$, definido como

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}$

donde el producto está sobre los números primos${\displaystyle p}$de${\displaystyle K}$, y${\displaystyle f(\chi ,p)}$es el conductor local de Artin de la restricción de${\displaystyle \chi }$al grupo de descomposición de algún primo de${\displaystyle L}$acostado sobre${\displaystyle p}$. ^{[ 4 ]} Dado que el conductor de Artin local es cero en los primos no ramificados, el producto anterior solo necesita tomarse sobre los primos que se ramifican en${\displaystyle L/K}$.

Supongamos que${\displaystyle L}$es una extensión de Galois finita del campo local${\displaystyle K}$, con el grupo Galois${\displaystyle G}$El personaje de Artin${\displaystyle a_{G}}$de${\displaystyle G}$es el personaje

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

y la representación de Artin${\displaystyle A_{G}}$es la representación lineal compleja de G con este carácter. Weil (1946) solicitó una construcción directa de la representación de Artin. Serre ( 1960 ) demostró que la representación de Artin puede realizarse sobre el campo local. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$, para cualquier primo${\displaystyle \ell }$no es igual a la característica residual${\displaystyle p}$Fontaine (1971) demostró que puede realizarse sobre el anillo correspondiente de vectores de Witt. En general, no puede realizarse sobre los racionales ni sobre el campo local .${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, lo que sugiere que no hay una manera fácil de construir la representación de Artin explícitamente. ^{[ 7 ]}

El carácter Swan sw _G viene dado por

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

donde r _g es el carácter de la representación regular y 1 es el carácter de la representación trivial. ^{[ 8 ]} El carácter de Swan es el carácter de una representación de G . Swan ( 1963 ) demostró que existe una única representación proyectiva de G sobre los enteros l -ádicos con carácter el carácter de Swan. 

El conductor de Artin aparece en la fórmula conductor-discriminante para el discriminante de un campo global. ^{[ 7 ]}

El nivel óptimo en la conjetura de modularidad de Serre se expresa en términos del conductor de Artin.

El conductor de Artin aparece en la ecuación funcional de la función L de Artin .

Las representaciones de Artin y Swan se utilizan para definir el conductor de una curva elíptica o variedad abeliana.