Espacio-tiempo asintóticamente plano

Un espaciotiempo asintóticamente plano es una variedad lorentziana en la que, en términos generales, la curvatura se desvanece a grandes distancias de alguna región, de modo que a grandes distancias, la geometría se vuelve indistinguible de la del espaciotiempo de Minkowski .

Si bien esta noción tiene sentido para cualquier variedad lorentziana, se aplica con mayor frecuencia a un espaciotiempo que constituye una solución a las ecuaciones de campo de alguna teoría métrica de la gravitación , en particular la relatividad general . En este caso, podemos decir que un espaciotiempo asintóticamente plano es aquel en el que el campo gravitatorio , así como cualquier materia u otros campos que puedan estar presentes, se vuelven despreciables en magnitud a grandes distancias de alguna región. En particular, en una solución de vacío asintóticamente plana , el campo gravitatorio (curvatura) se vuelve despreciable a grandes distancias de la fuente del campo (típicamente algún objeto masivo aislado como una estrella). ^{[ 1 ]}

La condición de planitud asintótica es análoga a condiciones similares en matemáticas y en otras teorías físicas. Dichas condiciones indican que algún campo físico o función matemática tiende a anularse asintóticamente en un sentido adecuado.

En la relatividad general, una solución de vacío asintóticamente plana modela el campo gravitatorio exterior de un objeto masivo aislado. Por lo tanto, dicho espaciotiempo puede considerarse un sistema aislado : un sistema en el que se pueden despreciar las influencias externas . De hecho, los físicos rara vez imaginan un universo que contenga una sola estrella y nada más cuando construyen un modelo asintóticamente plano de una estrella. Más bien, les interesa modelar el interior de la estrella junto con una región exterior en la que se pueden despreciar los efectos gravitatorios debidos a la presencia de otros objetos. Dado que las distancias típicas entre cuerpos astrofísicos tienden a ser mucho mayores que el diámetro de cada cuerpo, a menudo podemos permitirnos esta idealización, lo que generalmente ayuda a simplificar enormemente la construcción y el análisis de soluciones.

Un colector${\displaystyle M}$es asintóticamente simple si admite una compactificación conforme.${\displaystyle {\widetilde {M}}}$de tal manera que cada geodésica nula en${\displaystyle M}$tiene puntos finales futuros y pasados ​​en el límite de${\displaystyle {\widetilde {M}}}$.

Dado que este último excluye los agujeros negros, se define una variedad débilmente asintóticamente simple como una variedad${\displaystyle M}$con un conjunto abierto${\displaystyle U\subset M}$isométrico a un vecindario del límite de${\displaystyle {\widetilde {M}}}$, dónde${\displaystyle {\widetilde {M}}}$es la compactificación conforme de alguna variedad asintóticamente simple${\displaystyle M}$.

Una variedad es asintóticamente plana si es débilmente asintóticamente simple y asintóticamente vacía en el sentido de que su tensor de Ricci se anula en un entorno del borde de${\displaystyle {\widetilde {M}}}$. ^{[ 2 ]}

Solo los espaciotiempos que modelan un objeto aislado son asintóticamente planos. Muchas otras soluciones exactas conocidas, como los modelos FRW , no lo son.

Un ejemplo sencillo de espaciotiempo asintóticamente plano es la solución métrica de Schwarzschild . De forma más general, la métrica de Kerr también es asintóticamente plana. Sin embargo, otra generalización bien conocida del vacío de Schwarzschild, el espacio de Taub-NUT , no es asintóticamente plano. Una generalización aún más simple, la solución métrica de De Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo con simetría esférica inmerso en un universo de De Sitter , es un ejemplo de espaciotiempo asintóticamente simple que no es asintóticamente plano.

Por otro lado, existen familias importantes de soluciones que son asintóticamente planas, como las métricas AF Weyl y sus generalizaciones rotacionales, los vacíos AF Ernst (la familia de todas las soluciones de vacío estacionarias axisimétricas y asintóticamente planas). Estas familias vienen dadas por el espacio de soluciones de una familia mucho más simplificada de ecuaciones diferenciales parciales, y sus tensores métricos pueden escribirse en términos de una expansión multipolar explícita .

La forma más sencilla (e históricamente la primera) de definir un espaciotiempo asintóticamente plano supone que tenemos una carta de coordenadas, con coordenadas${\displaystyle t,x,y,z}$, que lejos del origen se comporta de manera muy parecida a una carta cartesiana en el espaciotiempo de Minkowski, en el siguiente sentido. Escribimos el tensor métrico como la suma de un fondo de Minkowski (físicamente inobservable) más un tensor de perturbación,${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$y establecer${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$Entonces necesitamos:

• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab}=O(1/r)}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,p}=O(1/r^{2})}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,pq}=O(1/r^{3})}$

Una razón por la que requerimos que las derivadas parciales de la perturbación decaigan tan rápidamente es que estas condiciones resultan implicar que la densidad de energía del campo gravitatorio (en la medida en que esta noción algo nebulosa tenga sentido en una teoría métrica de la gravitación) decae como${\displaystyle O(1/r^{4})}$, lo cual sería físicamente sensato. (En el electromagnetismo clásico , la energía del campo electromagnético de una carga puntual decae como${\displaystyle O(1/r^{4})}$.)

Hacia 1962, Hermann Bondi , Rainer K. Sachs y otros comenzaron a estudiar el fenómeno general de la radiación de una fuente compacta en la relatividad general, lo que requiere definiciones más flexibles de planitud asintótica. En 1963, Roger Penrose importó de la geometría algebraica la innovación esencial, ahora llamada compactificación conforme , y en 1972, Robert Geroch la utilizó para sortear el complejo problema de definir y evaluar adecuadamente los límites apropiados al formular una definición verdaderamente independiente de coordenadas de la planitud asintótica. En el nuevo enfoque, una vez que todo está correctamente establecido, solo es necesario evaluar funciones en un lugar geométrico para verificar la planitud asintótica.

La noción de planitud asintótica es extremadamente útil como condición técnica en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y teorías afines. Existen varias razones para ello:

• Los modelos de fenómenos físicos en la relatividad general (y teorías físicas afines) generalmente surgen como la solución de sistemas apropiados de ecuaciones diferenciales , y asumir una planitud asintótica proporciona condiciones de contorno que ayudan a establecer e incluso a resolver el problema de valor de contorno resultante .
• En las teorías métricas de la gravitación, como la relatividad general, normalmente no es posible dar definiciones generales de conceptos físicos importantes como la masa y el momento angular; sin embargo, asumir la planitud asintótica permite emplear definiciones convenientes que sí tienen sentido para soluciones asintóticamente planas.
• Aunque esto es menos obvio, resulta que invocar la planitud asintótica permite a los físicos importar conceptos matemáticos sofisticados de la geometría algebraica y la topología diferencial para definir y estudiar características importantes como los horizontes de sucesos , que pueden estar presentes o no.

• solución fluida
• ecuaciones de campo de Einstein

• Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6. Consulte la Sección 6.9 para un análisis de los espaciotiempos asintóticamente simples.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5. Véase el capítulo 11 .
• Frauendiener, Jörg. "Infinito conforme" . Living Reviews in Relativity . Archivado del original el 31 de diciembre de 2005. Recuperado el 23 de enero de 2004 .
• Mars, M. y Senovilla, JMM (1998). "Sobre la construcción de modelos globales que describen cuerpos en rotación; unicidad del campo gravitatorio exterior". Modern Physics Letters A. 13 ( 19): 1509– 1519. arXiv : gr-qc/9806094 . Bibcode : 1998MPLA...13.1509M . doi : 10.1142/S0217732398001583 . S2CID 5289048 .  Los autores argumentan que los problemas de contorno en la relatividad general, como el de relacionar un interior fluido perfecto con un exterior de vacío asintóticamente plano, están sobredeterminados . Esto no implica que no existan modelos de una estrella en rotación, pero ayuda a explicar por qué parecen difíciles de construir.
• Mark D. Roberts, Espacio-tiempo exterior a una estrella: contra la planitud asintótica . Versión del 16 de mayo de 2002. Roberts intenta argumentar que la solución exterior en un modelo de una estrella en rotación debería ser un fluido perfecto o polvo en lugar de un vacío, y luego argumenta que no existen soluciones de fluido perfecto en rotación asintóticamente planas en la relatividad general. ( Nota: Mark Roberts es un colaborador ocasional de Wikipedia, incluyendo este artículo).
• Mars, Marc (1998). "La solución de Wahlquist-Newman". Phys. Rev. D . 63 (6) 064022. arXiv : gr-qc/0101021 . Bibcode : 2001PhRvD..63f4022M . CiteSeerX 10.1.1.339.8609 . doi : 10.1103/PhysRevD.63.064022 . S2CID 1644106 .  El artículo " Marte" introduce un espaciotiempo giratorio de tipo Petrov D que incluye como caso especial el conocido fluido de Wahlquist y las soluciones de electrovacío de Kerr-Newman.
• MacCallum, MAH; Mars, M.; y Vera, R. Perturbaciones de segundo orden de cuerpos giratorios en equilibrio: el problema del vacío exterior Esta es una breve revisión realizada por tres expertos líderes sobre el estado actual de la técnica en la construcción de soluciones exactas que modelan cuerpos giratorios aislados (con un exterior de vacío asintóticamente plano ).

• Las ecuaciones de campo de Einstein y sus implicaciones físicas