Compactificación (matemáticas)

En matemáticas , en topología general , la compactificación es el proceso o resultado de convertir un espacio topológico en un espacio compacto . ^{[ 1 ]} Un espacio compacto es un espacio en el que cada cubierta abierta del espacio contiene una subcubierta finita. Los métodos de compactificación son diversos, pero cada uno es una forma de evitar que los puntos se "alejen al infinito" añadiendo de alguna manera "puntos en el infinito" o impidiendo tal "escape".

Consideremos la recta real con su topología ordinaria. Este espacio no es compacto; en cierto sentido, los puntos pueden tender al infinito tanto a la izquierda como a la derecha. Es posible convertir la recta real en un espacio compacto añadiendo un único "punto en el infinito", que denotaremos por ∞. La compactificación resultante es homeomorfa a un círculo en el plano (que, como subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano, es compacto). Toda sucesión que se extendiera hasta el infinito en la recta real convergerá entonces a ∞ en esta compactificación. La dirección en la que un número tiende al infinito en la recta numérica (ya sea en la dirección negativa o positiva) se conserva en el círculo; pues si un número tiende al infinito desde la dirección negativa en la recta numérica, el punto correspondiente en el círculo puede tender a ∞ desde la izquierda, por ejemplo. Entonces, si un número tiende al infinito desde la dirección positiva en la recta numérica, el punto correspondiente en el círculo puede tender a ∞ desde la derecha.

Intuitivamente, el proceso se puede visualizar de la siguiente manera: primero, se reduce la recta real al intervalo abierto (−π , π ) en el eje x ; luego, se curvan los extremos de este intervalo hacia arriba (en la dirección positiva del eje y ) y se acercan entre sí, hasta obtener un círculo con un punto faltante (el superior). Este punto es nuestro nuevo punto ∞ "en el infinito"; al agregarlo, se completa el círculo compacto.

De forma un poco más formal: representamos un punto en el círculo unitario mediante su ángulo , en radianes , que va de − π a π para simplificar. Identificamos cada punto θ en el círculo con el punto correspondiente en la recta real tan ( θ /2). Esta función no está definida en el punto π , ya que tan( π /2) no está definida; identificaremos este punto con nuestro punto  ∞.

Dado que las tangentes y las tangentes inversas son continuas, nuestra función de identificación es un homeomorfismo entre la recta real y el círculo unitario sin ∞. Lo que hemos construido se denomina compactificación de un punto de Alexandroff de la recta real, que se analiza con mayor generalidad más adelante. También es posible compactificar la recta real añadiendo dos puntos, +∞ y −∞; esto da como resultado la recta real extendida .

La incrustación de un espacio topológico X como subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de X. A menudo resulta útil incrustar espacios topológicos en espacios compactos debido a las propiedades especiales que poseen estos últimos.

Las incrustaciones en espacios compactos de Hausdorff pueden ser de particular interés. Dado que todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio de Tychonoff , y todo subespacio de un espacio de Tychonoff es Tychonoff, concluimos que cualquier espacio que posea una compactificación de Hausdorff debe ser un espacio de Tychonoff. De hecho, lo contrario también es cierto; ser un espacio de Tychonoff es necesario y suficiente para poseer una compactificación de Hausdorff.

El hecho de que existan clases amplias e interesantes de espacios no compactos que, de hecho, tengan compactificaciones de tipos particulares, convierte a la compactificación en una técnica común en topología.

El espacio proyectivo real RP ⁿ es una compactificación del espacio euclidiano R ⁿ . Por cada posible "dirección" en la que los puntos de R ⁿ pueden "escapar", se añade un nuevo punto en el infinito (pero cada dirección se identifica con su opuesta). La compactificación de un punto de Alexandroff de R que construimos en el ejemplo anterior es, de hecho, homeomorfa a RP ¹ . Sin embargo, cabe señalar que el plano proyectivo RP ² no es la compactificación de un punto del plano R ^{2 ,} ya que se añade más de un punto.

El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es también una compactificación de C ⁿ ; la compactificación de un punto de Alexandroff del plano C es (homeomorfa a) la línea proyectiva compleja CP ¹ , que a su vez puede identificarse con una esfera, la esfera de Riemann .

El paso al espacio proyectivo es una herramienta común en geometría algebraica porque los puntos añadidos en el infinito conducen a formulaciones más simples de muchos teoremas. Por ejemplo, cualesquiera dos líneas diferentes en RP ² se intersecan en un solo punto, una afirmación que no es cierta en R ² . De manera más general, el teorema de Bézout , que es fundamental en la teoría de la intersección , se cumple en el espacio proyectivo pero no en el espacio afín. Este comportamiento distinto de las intersecciones en el espacio afín y el espacio proyectivo se refleja en la topología algebraica en los anillos de cohomología : la cohomología del espacio afín es trivial, mientras que la cohomología del espacio proyectivo no es trivial y refleja las características clave de la teoría de la intersección (dimensión y grado de una subvariedad, siendo la intersección dual de Poincaré al producto de copas ).

La compactificación de espacios de módulos generalmente requiere permitir ciertas degeneraciones, por ejemplo, ciertas singularidades o variedades reducibles. Esto se utiliza notablemente en la compactificación de Deligne-Mumford del espacio de módulos de curvas algebraicas .

En el estudio de subgrupos discretos de grupos de Lie , el espacio cociente de clases laterales suele ser un candidato para una compactificación más sutil que preserve la estructura a un nivel más rico que el meramente topológico.

Por ejemplo, las curvas modulares se compactifican mediante la adición de puntos individuales para cada cúspide , convirtiéndolas en superficies de Riemann (y, por lo tanto, al ser compactas, en curvas algebraicas ). Aquí, las cúspides tienen una buena razón de ser: las curvas parametrizan un espacio de retículos , y estos retículos pueden degenerar (extenderse hasta el infinito), a menudo de diversas maneras (teniendo en cuenta alguna estructura auxiliar de nivel ). Las cúspides representan esas diferentes "direcciones hacia el infinito".

Eso es todo para las redes en el plano. En el espacio euclidiano n- dimensional se pueden plantear las mismas preguntas, por ejemplo sobre${\displaystyle {\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}}).}$Esto es más difícil de compactar. Existen diversas compactificaciones que se pueden formar , como la compactificación de Borel-Serre , la compactificación reductiva de Borel-Serre y las compactificaciones de Satake .

• Las teorías de los extremos de un espacio y los extremos primos .
• Algunas teorías de "frontera", como el collar de una variedad abierta , la frontera de Martin , la frontera de Shilov y la frontera de Furstenberg .
• La compactificación de Bohr de un grupo topológico surge de la consideración de funciones casi periódicas .
• La línea proyectiva sobre un anillo para un anillo topológico puede compactificarlo.
• La compactificación de Baily-Borel de un cociente de un espacio simétrico hermitiano .
• La maravillosa compactificación de un cociente de grupos algebraicos.
• Las compactificaciones que son simultáneamente subconjuntos convexos en un espacio localmente convexo se denominan compactificaciones convexas ; su estructura lineal adicional permite, por ejemplo, desarrollar un cálculo diferencial y consideraciones más avanzadas, como la relajación en el cálculo variacional o la teoría de la optimización. ^{[ 6 ]}

• Extensión de Alexandroff : método para extender un espacio topológico no compacto.