subgrupo periférico

En topología algebraica , un subgrupo periférico para un par espacio-subespacio X  ⊃ Y es un subgrupo determinado del grupo fundamental del espacio complementario, π ₁ ( X − Y ). Su clase de conjugación es un invariante del par ( X , Y ). Es decir, cualquier homeomorfismo ( X , Y ) → ( X ′, Y ′) induce un isomorfismo π ₁ ( X − Y ) → π ₁ ( X ′ − Y ′) que transforma subgrupos periféricos en subgrupos periféricos.             

Un subgrupo periférico consta de bucles en X  − Y que son periféricos a Y , es decir, que permanecen "cerca" de Y (excepto al pasar hacia y desde el punto base ). Cuando se especifica un conjunto ordenado de generadores para un subgrupo periférico, el subgrupo y los generadores se denominan colectivamente sistema periférico para el par ( X , Y ).  

Los sistemas periféricos se utilizan en la teoría de nudos como un invariante algebraico completo de los nudos. Existe una forma sistemática de elegir generadores para un subgrupo periférico de un nudo en el espacio tridimensional , de modo que los distintos tipos de nudos siempre tengan sistemas periféricos algebraicamente distintos. Los generadores en esta situación se denominan longitud y meridiano del complemento del nudo .

Sea Y un subespacio del espacio topológico conexo por caminos X , cuyo complemento X  − Y es conexo por caminos. Fijemos un punto base x ∈ X − Y. Para cada componente de camino V _i de X − Y ∩ Y , elijamos un camino γ _i desde x hasta un punto en V _i . Un elemento [α] ∈ π ₁ ( X − Y , x ) se llama periférico con respecto a esta elección si está representado por un bucle en U ∪ ∪ _i γ _i para cada vecindario U de Y. El conjunto de todos los elementos periféricos con respecto a una elección dada forma un subgrupo de π ₁ ( X − Y , x ), llamado subgrupo periférico .                   

En el diagrama, un bucle periférico comenzaría en el punto base x y recorrería el camino γ hasta estar dentro del entorno U del subespacio Y. Luego, se movería libremente por U (evitando Y ). Finalmente, regresaría al punto base x a través de γ. Dado que U puede ser una envoltura muy ajustada alrededor de Y , el bucle debe permanecer cerca de Y.

Cualquier par de subgrupos periféricos de π ₁ ( X  − Y , x ), resultantes de distintas elecciones de caminos γ _i , son conjugados en π ₁ ( X − Y , x ). Además, todo conjugado de un subgrupo periférico es a su vez periférico con respecto a alguna elección de caminos γ _{i . Por lo tanto, la} clase de conjugación del subgrupo periférico es un invariante del par ( X , Y ).      

Un subgrupo periférico, junto con un conjunto ordenado de generadores , se denomina sistema periférico para el par ( X , Y ). Si se especifica un método sistemático para seleccionar estos generadores, el sistema periférico es, en general, un invariante más fuerte que el subgrupo periférico por sí solo. De hecho, es un invariante completo para nudos. 

Los subgrupos periféricos para un nudo manso K en R ³ son isomorfos a Z  ⊕ Z si el nudo no es trivial, Z si es el nudo no trivial . Se generan mediante dos elementos, llamados longitud [ l ] y meridiano [ m ]. (Si K es el nudo no trivial, entonces [ l ] es una potencia de [ m ], y un subgrupo periférico se genera solo por [ m ]). Una longitud es un bucle que va desde el punto base x a lo largo de un camino γ hasta un punto y en el límite de un entorno tubular de K , luego sigue a lo largo del tubo, haciendo una vuelta completa para volver a y , luego vuelve a x a través de γ. Un meridiano es un bucle que va desde x hasta y , luego rodea el tubo, vuelve a y , luego vuelve a x . (La propiedad de ser una longitud o un meridiano está bien definida porque los vecindarios tubulares de un nudo manso son todos isotópicos ambientales ). Nótese que cada grupo de nudos tiene una longitud y un meridiano; si [ ^{l] y [m] son ​​una longitud y un meridiano en un subgrupo periférico dado, entonces también lo son [l]·[m]n y [m]−1} , respectivamente ( n ∈ Z ) . ^De hecho , estas ^son las únicas longitudes y meridianos en el subgrupo, y cualquier par generará el subgrupo.   

Se puede seleccionar un sistema periférico para un nudo eligiendo los generadores [ l ] y [ m ] de tal manera que la longitud l tenga número de enlace 0 con K , y la tripleta ordenada ( m′ ^, l ′ , n ) sea una base orientada positivamente para R3 , donde m′ es el vector tangente de m con base en y , l′ es el vector tangente de l con base en y , y n es una normal que apunta hacia afuera del tubo en y . (Supongamos que los representantes l y m se eligen para que sean suaves en el tubo y se crucen solo en y ). Si se elige de esta manera, el sistema periférico es un invariante completo para nudos, como se demostró en [Waldhausen 1968].

Ejemplo: Nudo cuadrado versus nudo de abuela

El nudo cuadrado y el nudo de la abuela son nudos distintos y tienen complementos no homeomorfos . Sin embargo, sus grupos de nudos son isomorfos. No obstante, en [Fox 1961] se demostró que ningún isomorfismo de sus grupos de nudos implica un subgrupo periférico de uno a un subgrupo periférico del otro. Por lo tanto, el subgrupo periférico es suficiente para distinguir estos nudos.

• Fox, Ralph H. , Un breve recorrido por la teoría de nudos , en: MK Fort (Ed.), "Topología de 3-variedades y temas relacionados", Prentice-Hall, NJ, 1961, pp.  120–167. MR 0140099 
• Waldhausen, Friedhelm (1968), "Sobre variedades tridimensionales irreducibles suficientemente grandes" , Annals of Mathematics , Segunda Serie, 87 (1): 56–88 , doi : 10.2307/1970594 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970594 , MR 0224099   
• Dehn, Max , Die beiden Kleeblattschlingen , Mathematische Annalen 75 (1914), núm. 3, 402–413.