Atractor

En el campo matemático de los sistemas dinámicos , un atractor es un conjunto de estados hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, ^{[ 2 ]} para una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema. Los valores del sistema que se aproximan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cercanos incluso si se ven ligeramente perturbados.

En sistemas de dimensión finita, la variable en evolución puede representarse algebraicamente como un vector n- dimensional . El atractor es una región en el espacio n- dimensional . En sistemas físicos , las n dimensiones pueden ser, por ejemplo, dos o tres coordenadas de posición para cada una de las entidades físicas; en sistemas económicos , pueden ser variables separadas como la tasa de inflación y la tasa de desempleo .

Si la variable en evolución es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico puede representarse geométricamente en dos o tres dimensiones (como por ejemplo en el caso tridimensional que se muestra a la derecha). Un atractor puede ser un punto , un conjunto finito de puntos, una curva , una variedad o incluso un conjunto complejo con una estructura fractal conocido como atractor extraño (véase atractor extraño más adelante). Si la variable es escalar , el atractor es un subconjunto de la recta numérica real. La descripción de los atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros de la teoría del caos .

La trayectoria de un sistema dinámico en un atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial, salvo la de permanecer en el atractor, avanzando en el tiempo. La trayectoria puede ser periódica o caótica . Si un conjunto de puntos es periódico o caótico, pero el flujo en su vecindad se aleja de dicho conjunto, este no es un atractor, sino un repulsor .

Un sistema dinámico se describe generalmente mediante una o más ecuaciones diferenciales o en diferencias finitas . Las ecuaciones de un sistema dinámico dado especifican su comportamiento durante un período de tiempo corto. Para determinar el comportamiento del sistema durante un período más prolongado, suele ser necesario integrar las ecuaciones, ya sea mediante métodos analíticos o iterativos , a menudo con la ayuda de ordenadores.

Los sistemas dinámicos en el mundo físico tienden a surgir de sistemas disipativos : si no existiera una fuerza impulsora, el movimiento cesaría. (La disipación puede deberse a la fricción interna , las pérdidas termodinámicas o la pérdida de material, entre otras causas). La disipación y la fuerza impulsora tienden a equilibrarse, eliminando los transitorios iniciales y estabilizando el sistema en su comportamiento típico. El subconjunto del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde a dicho comportamiento es el atractor, también conocido como sección atractora o atraído.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son similares al concepto de atractor. Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo bajo la dinámica. ^{[ 3 ]} Los atractores pueden contener conjuntos invariantes. Un conjunto límite es un conjunto de puntos tal que existe algún estado inicial que termina arbitrariamente cerca del conjunto límite (es decir, a cada punto del conjunto) cuando el tiempo tiende a infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que algunos puntos de un sistema converjan a un conjunto límite, pero otros puntos, al ser perturbados ligeramente fuera del conjunto límite, pueden ser expulsados ​​y nunca regresar a la vecindad del conjunto límite.

Por ejemplo, el péndulo amortiguado tiene dos puntos invariantes: el punto _x₀ de altura mínima y el punto _x₁ de altura máxima. El punto x₀ también es un conjunto límite, ya que _las trayectorias convergen hacia él; el punto x₁ no lo es. Debido a la disipación causada por la resistencia del aire, el punto _x₀ también es un atractor. Si no hubiera disipación, x₀ no sería un atractor. Aristóteles creía que _{los objetos se movían solo mientras se les empujaba, lo cual constituye una formulación} temprana de un atractor disipativo.

Se sabe que algunos atractores son caóticos (véase atractor extraño ), en cuyo caso la evolución de dos puntos distintos cualesquiera del atractor da como resultado trayectorias que divergen exponencialmente , lo que complica la predicción incluso cuando el ruido más pequeño está presente en el sistema. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle t}$representar el tiempo y dejar${\displaystyle f(t,\cdot )}$sea ​​una función que especifique la dinámica del sistema. Es decir, si${\displaystyle a}$es un punto en un${\displaystyle n}$espacio de fase de -dimensiones, que representa el estado inicial del sistema, entonces${\displaystyle f(0,a)=a}$y, para un valor positivo de${\displaystyle t}$,${\displaystyle f(t,a)}$es el resultado de la evolución de este estado después${\displaystyle t}$unidades de tiempo. Por ejemplo, si el sistema describe la evolución de una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fases es el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con coordenadas${\displaystyle (x,v)}$, dónde${\displaystyle x}$es la posición de la partícula,${\displaystyle v}$es su velocidad,${\displaystyle a=(x,v)}$y la evolución viene dada por

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Un atractor es un subconjunto${\displaystyle A}$del espacio de fases caracterizado por las siguientes tres condiciones:

• ${\displaystyle A}$es invariante hacia adelante bajo${\displaystyle f}$: si${\displaystyle a}$es un elemento de${\displaystyle A}$entonces también lo es${\displaystyle f(t,a)}$, para todos${\displaystyle t>0}$.
• Existe un vecindario de${\displaystyle A}$, llamada la cuenca de atracción para${\displaystyle A}$y denotado${\displaystyle B(A)}$, que consta de todos los puntos${\displaystyle b}$que "entrar"${\displaystyle A}$en el límite${\displaystyle t\to \infty }$. Más formalmente,${\displaystyle B(A)}$es el conjunto de todos los puntos${\displaystyle b}$en el espacio de fases con la siguiente propiedad:

Para cualquier vecindario abierto${\displaystyle N}$de${\displaystyle A}$, hay una constante positiva${\displaystyle T}$de tal manera que${\displaystyle f(t,b)\in N}$para todos los reales${\displaystyle t>T}$.

• No existe un subconjunto propio (no vacío) de${\displaystyle A}$poseer las dos primeras propiedades.

Dado que la cuenca de atracción contiene un conjunto abierto que contiene${\displaystyle A}$, cada punto que esté suficientemente cerca de${\displaystyle A}$se siente atraído por${\displaystyle A}$. La definición de un atractor utiliza una métrica en el espacio de fases, pero la noción resultante generalmente depende solo de la topología del espacio de fases. En el caso de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Normalmente se utiliza la norma euclidiana.

En la literatura aparecen muchas otras definiciones de atractor. Por ejemplo, algunos autores requieren que un atractor tenga una medida positiva (lo que impide que un punto sea un atractor), otros relajan el requisito de que${\displaystyle B(A)}$ser un vecindario. ^{[ 5 ]}

Los atractores son porciones o subconjuntos del espacio de fases de un sistema dinámico . Hasta la década de 1960, se pensaba que los atractores eran subconjuntos geométricos simples del espacio de fases, como puntos , líneas , superficies y regiones simples del espacio tridimensional . En aquel entonces se conocían atractores más complejos que no podían clasificarse como subconjuntos geométricos simples, como los conjuntos topológicamente salvajes, pero se creía que eran anomalías frágiles. Stephen Smale logró demostrar que su mapa de herradura era robusto y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor .

Dos atractores simples son un punto fijo y el ciclo límite . Los atractores pueden adoptar muchas otras formas geométricas (subconjuntos del espacio de fases). Pero cuando estos conjuntos (o los movimientos dentro de ellos) no pueden describirse fácilmente como combinaciones simples (por ejemplo, intersección y unión ) de objetos geométricos fundamentales (por ejemplo, líneas , superficies , esferas , toroides , variedades ), entonces el atractor se denomina atractor extraño .

Punto fijo

Un punto fijo de una función o transformación es un punto que se mapea a sí mismo mediante dicha función o transformación. Si consideramos la evolución de un sistema dinámico como una serie de transformaciones, entonces puede haber o no un punto que permanezca fijo bajo cada transformación. El estado final hacia el que evoluciona un sistema dinámico corresponde a un punto fijo atractor de la función de evolución para ese sistema, como la posición central inferior de un péndulo amortiguado , la línea de agua nivelada y plana del agua que se agita en un vaso, o el centro inferior de un recipiente que contiene una canica rodando. Pero el o los puntos fijos de un sistema dinámico no son necesariamente un atractor del sistema. Por ejemplo, si el recipiente que contiene una canica rodando se invirtiera y la canica se equilibrara sobre el recipiente, el centro inferior (ahora superior) del recipiente es un estado fijo, pero no un atractor. Esto es equivalente a la diferencia entre equilibrios estables e inestables . En el caso de una canica sobre un cuenco invertido (una colina), ese punto en la parte superior del cuenco (colina) es un punto fijo (equilibrio), pero no un atractor (equilibrio inestable).

Además, los sistemas dinámicos físicos con al menos un punto fijo invariablemente tienen múltiples puntos fijos y atractores debido a la realidad de la dinámica en el mundo físico, incluyendo la dinámica no lineal de adherencia , fricción , rugosidad superficial , deformación (tanto elástica como plástica ), e incluso mecánica cuántica . ^{[ 6 ]} En el caso de una canica sobre un cuenco invertido, incluso si el cuenco parece perfectamente hemisférico , y la forma esférica de la canica , son superficies mucho más complejas cuando se examinan bajo un microscopio, y sus formas cambian o se deforman durante el contacto. Cualquier superficie física puede verse como un terreno rugoso con múltiples picos, valles, puntos de silla, crestas, barrancos y llanuras. ^{[ 7 ]} Hay muchos puntos en este terreno superficial (y en el sistema dinámico de una canica rugosa similar rodando sobre este terreno microscópico) que se consideran puntos estacionarios o fijos, algunos de los cuales se clasifican como atractores.

Ciclo límite

Un ciclo límite es una órbita periódica aislada de un sistema dinámico continuo . Se trata de un atractor cíclico . Ejemplos de ello son las oscilaciones de un péndulo y el latido del corazón en reposo. El ciclo límite de un péndulo ideal no es un atractor de ciclo límite porque sus órbitas no están aisladas: en el espacio de fases del péndulo ideal, cerca de cualquier punto de una órbita periódica hay otro punto que pertenece a una órbita periódica diferente, por lo que la primera no es atractora. Para un péndulo físico con fricción, el estado de reposo será un atractor de punto fijo. La diferencia con el péndulo del reloj es que, en este caso, el mecanismo de escape inyecta energía para mantener el ciclo.

Atractor extraño

Un atractor se denomina extraño si tiene una estructura fractal ; es decir, si tiene una dimensión de Hausdorff no entera . Esto suele ocurrir cuando la dinámica en él es caótica , pero también existen atractores extraños no caóticos . Si un atractor extraño es caótico, mostrando una dependencia sensible de las condiciones iniciales , entonces dos puntos iniciales alternativos arbitrariamente cercanos en el atractor, tras cualquier número de iteraciones, darán lugar a puntos arbitrariamente alejados (dentro de los límites del atractor), y tras cualquier otro número de iteraciones darán lugar a puntos arbitrariamente cercanos entre sí. Por lo tanto, un sistema dinámico con un atractor caótico es localmente inestable pero globalmente estable: una vez que algunas secuencias han entrado en el atractor, los puntos cercanos divergen entre sí, pero nunca se alejan del atractor. ^{[ 8 ]}

El término atractor extraño fue acuñado por David Ruelle y Floris Takens para describir el atractor resultante de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos. ^{[ 9 ]} Los atractores extraños suelen ser diferenciables en algunas direcciones, pero algunos son como un polvo de Cantor y, por lo tanto, no diferenciables. Los atractores extraños también pueden encontrarse en presencia de ruido, donde se puede demostrar que admiten medidas de probabilidad aleatoria invariantes del tipo Sinai-Ruelle-Bowen. ^{[ 10 ]}

Algunos ejemplos de atractores extraños son el atractor de doble espiral , el atractor de Hénon , el atractor de Rössler y el atractor de Lorenz .

El comportamiento de un sistema dinámico puede verse influenciado por sus parámetros o por la elección de las condiciones iniciales. El mapa logístico , definido como${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$, es un ejemplo bien estudiado de un sistema que depende de un parámetro${\displaystyle r}$. Sus atractores para varios valores de${\displaystyle r}$se muestran en la figura. Para pequeños${\displaystyle r}$El atractor es un único punto fijo , que se muestra en el diagrama de bifurcación como una línea. Para otras opciones de${\displaystyle r}$, más de un valor de${\displaystyle x}$puede volverse atractivo: en${\displaystyle r\approx 3}$El punto fijo se divide en dos creando un ciclo de período 2 durante una bifurcación de duplicación de período . Como${\displaystyle r}$aumenta, el caos emerge a través de una cascada de duplicación de período, lo que significa que el atractor consta de un número infinito de puntos.${\displaystyle r\approx 3.83}$Se puede encontrar una órbita de periodo 3. Del teorema de Sharkovskii se deduce que en el sistema existen órbitas de cualquier periodo natural. Por lo tanto, una misma ecuación dinámica puede tener atractores muy diferentes según la elección de los parámetros.

La cuenca de atracción de un atractor es la región del espacio de fases sobre la cual se definen iteraciones, de modo que cualquier punto (cualquier condición inicial ) en esa región se iterará asintóticamente hacia el atractor. Para un sistema lineal estable , cada punto en el espacio de fases se encuentra en la cuenca de atracción. Sin embargo, en sistemas no lineales , algunos puntos pueden mapearse directa o asintóticamente al infinito, mientras que otros puntos pueden estar en una cuenca de atracción diferente y mapearse asintóticamente a un atractor diferente; otras condiciones iniciales pueden estar en o mapearse directamente a un punto o ciclo no atractor. ^{[ 11 ]}

Ecuación o sistema no lineal

Las ecuaciones o sistemas no lineales pueden dar lugar a una mayor variedad de comportamientos que los sistemas lineales. Un ejemplo es el método de Newton para iterar hasta una raíz de una expresión no lineal. Si la expresión tiene más de una raíz real , algunos puntos de partida del algoritmo iterativo conducirán asintóticamente a una de las raíces, y otros puntos de partida conducirán a otra. Las cuencas de atracción para las raíces de la expresión generalmente no son simples; no se trata simplemente de que los puntos más cercanos a una raíz se mapeen allí, dando una cuenca de atracción que consiste en puntos cercanos. Las cuencas de atracción pueden ser infinitas en número y arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo, ^{[ 12 ]} para la función${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$Las siguientes condiciones iniciales se encuentran en cuencas de atracción sucesivas:

2,35287527 converge a 4;

2,35284172 converge a −3;

2,35283735 converge a 4;

2,352836327 converge a −3;

2,352836323 converge a 1.

El método de Newton también puede aplicarse a funciones complejas para hallar sus raíces. Cada raíz posee una cuenca de atracción en el plano complejo ; estas cuencas pueden representarse como en la imagen mostrada. Como se puede observar, la cuenca de atracción combinada para una raíz particular puede tener muchas regiones desconectadas. Para muchas funciones complejas, los límites de las cuencas de atracción son fractales .

Las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas pueden tener atractores de dimensión finita. La parte difusiva de la ecuación amortigua las frecuencias más altas y, en algunos casos, da lugar a un atractor global. Se sabe que las ecuaciones de Ginzburg-Landau , Kuramoto-Sivashinsky y las ecuaciones de Navier-Stokes bidimensionales forzadas tienen atractores globales de dimensión finita.

Para la ecuación de Navier-Stokes tridimensional e incompresible con condiciones de contorno periódicas , si tiene un atractor global, entonces este atractor será de dimensiones finitas. ^{[ 13 ]}

• Detección de ciclo
• conjunto hiperbólico
• colector estable
• Estado estable
• Cuenca de Wada
• oscilación oculta
• atractor de Rössler
• Distribución estable
• Evolución convergente

• John Milnor (ed.). "Atractor" . Scholarpedia .
• David Ruelle ; Floris Takens (1971). "Sobre la naturaleza de la turbulencia". Communications in Mathematical Physics . 20 (3): 167– 192. Bibcode : 1971CMaPh..20..167R . doi : 10.1007/BF01646553 . S2CID 17074317 . 
• D. Ruelle (1981). "Pequeñas perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos y la definición de atractores" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 82 (1): 137– 151. Bibcode : 1981CMaPh..82..137R . doi : 10.1007/BF01206949 . S2CID 55827557 . 
• David Ruelle (1989). Elementos de dinámica diferenciable y teoría de bifurcación . Academic Press. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Ruelle, David (agosto de 2006). "¿Qué es... un atractor extraño?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (7): 764– 765. Recuperado el 16 de enero de 2008 .
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• Chekroun, MD; E. Simonnet; M. Ghil (2011). "Dinámica climática estocástica: atractores aleatorios y medidas invariantes dependientes del tiempo". Physica D . 240 (21): 1685– 1700. Bibcode : 2011PhyD..240.1685C . CiteSeerX 10.1.1.156.5891 . doi : 10.1016/j.physd.2011.06.005 . 
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• James Gleick (1988) Caos: Creando una nueva ciencia ISBN 0-14-009250-1

• Cuenca de atracción en Scholarpedia
• Una galería de atractores extraños trigonométricos
• Simulación del circuito de Chua con atractor de doble espiral
• Una galería de atractores extraños polinomiales
• Chaoscope, un software gratuito para renderizar atractores extraños en 3D.
• Resumen de investigación y laboratorio de software. Archivado el 28 de junio de 2022 en Wayback Machine.
• Generador de atractores extraños en línea
• Generador interactivo de atractores trigonométricos
• Atractor económico