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solitón disipativo

Los solitones disipativos ( SD ) son estructuras solitarias localizadas estables ( solitones ) que surgen en sistemas disipativos no lineales espacialmente extendidos debido a m...

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Los solitones disipativos ( SD ) son estructuras solitarias localizadas estables ( solitones ) que surgen en sistemas disipativos no lineales espacialmente extendidos debido a mecanismos de autoorganización . Pueden considerarse una extensión del concepto clásico de solitón en sistemas conservativos. Una terminología alternativa incluye autoolitones, puntos y pulsos.

Además de aspectos similares al comportamiento de las partículas clásicas, como la formación de estados ligados, los DS exhiben un comportamiento interesante —por ejemplo, dispersión, creación y aniquilación— , todo ello sin las restricciones de conservación de la energía o el momento. La excitación de los grados de libertad internos puede dar lugar a una velocidad intrínseca dinámicamente estabilizada u oscilaciones periódicas de la forma.

Desarrollo histórico

Origen del concepto de solitón

Los solitones se han observado experimentalmente durante mucho tiempo. Helmholtz [ 1 ] midió la velocidad de propagación de los impulsos nerviosos en 1850. En 1902, Lehmann [ 2 ] descubrió la formación de puntos anódicos localizados en tubos largos de descarga de gas. Sin embargo, el término "solitón" se desarrolló originalmente en un contexto diferente. El punto de partida fue la detección experimental de "ondas de agua solitarias" por Russell en 1834. [ 3 ] Estas observaciones dieron inicio al trabajo teórico de Rayleigh [ 4 ] y Boussinesq [ 5 ] alrededor de 1870, que finalmente condujo a la descripción aproximada de dichas ondas por Korteweg y de Vries en 1895; esa descripción se conoce hoy como la ecuación de KdV (conservativa) . [ 6 ]

Sobre este contexto, Zabusky y Kruskal [ 7 ] acuñaron el término " solitón " en 1965. Estos autores investigaron ciertas soluciones solitarias bien localizadas de la ecuación de KdV y las denominaron solitones. Entre otras cosas, demostraron que en el espacio unidimensional existen solitones, por ejemplo, en forma de dos pulsos que se propagan unidireccionalmente con diferente tamaño y velocidad, y que presentan la notable propiedad de que el número, la forma y el tamaño son los mismos antes y después de la colisión.

Gardner et al. [ 8 ] introdujeron la técnica de dispersión inversa para resolver la ecuación de KdV y demostraron que esta ecuación es completamente integrable . En 1972, Zakharov y Shabat [ 9 ] hallaron otra ecuación integrable y, finalmente, se demostró que la técnica de dispersión inversa puede aplicarse con éxito a toda una clase de ecuaciones (por ejemplo, las ecuaciones no lineales de Schrödinger y seno-Gordon ). Desde 1965 hasta aproximadamente 1975, se llegó a un acuerdo común: reservar el término solitón para soluciones solitarias tipo pulso de ecuaciones diferenciales parciales no lineales conservativas que pueden resolverse utilizando la técnica de dispersión inversa.

Sistemas débilmente y fuertemente disipativos

Con el creciente conocimiento de los solitones clásicos, se vislumbró su posible aplicación técnica, siendo la más prometedora actualmente la transmisión de solitones ópticos a través de fibras de vidrio para la transmisión de datos . A diferencia de los sistemas conservativos, los solitones en las fibras disipan energía, y esto no puede despreciarse en escalas de tiempo intermedias y largas. Sin embargo, el concepto de solitón clásico aún puede utilizarse en el sentido de que, en una escala de tiempo corta, la disipación de energía puede despreciarse. En una escala de tiempo intermedia, hay que tener en cuenta pequeñas pérdidas de energía como una perturbación, y en una escala larga, la amplitud del solitón decaerá y finalmente desaparecerá. [ 10 ]

Sin embargo, existen diversos tipos de sistemas capaces de producir estructuras solitarias en los que la disipación desempeña un papel esencial para su formación y estabilización. Si bien la investigación sobre ciertos tipos de estas estructuras solitarias se ha llevado a cabo durante mucho tiempo (por ejemplo, véase la investigación sobre impulsos nerviosos que culminó en el trabajo de Hodgkin y Huxley [ 11 ] en 1952), desde 1990 la cantidad de investigación ha aumentado significativamente (véase, por ejemplo, [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] ). Las posibles razones son la mejora de los dispositivos experimentales y las técnicas analíticas, así como la disponibilidad de ordenadores más potentes para los cálculos numéricos. Actualmente, es común utilizar el término solitones disipativos para las estructuras solitarias en sistemas fuertemente disipativos.

Observaciones experimentales

Hoy en día, los DS se pueden encontrar en muchas configuraciones experimentales diferentes. Algunos ejemplos incluyen:

  • Sistemas de descarga de gas : plasmas confinados en un espacio de descarga que a menudo tiene una extensión lateral grande en comparación con la longitud de la descarga principal. Los DS surgen como filamentos de corriente entre los electrodos y se han encontrado en sistemas de CC con una barrera óhmica alta, [ 16 ] sistemas de CA con una barrera dieléctrica, [ 17 ] y como puntos anódicos , [ 18 ] así como en una descarga obstruida con electrodos metálicos. [ 19 ]
  • Sistemas semiconductores : son similares a las descargas de gas; sin embargo, en lugar de un gas, el material semiconductor se intercala entre dos electrodos planos o esféricos. Las configuraciones incluyen diodos pin de Si y GaAs , [ 20 ] n-GaAs, [ 21 ] y estructuras de Si p + −n + −p−n− , [ 22 ] y ZnS:Mn. [ 23 ]
  • Sistemas ópticos no lineales : un haz de luz de alta intensidad interactúa con un medio no lineal. Típicamente, el medio reacciona en escalas de tiempo bastante lentas en comparación con el tiempo de propagación del haz. A menudo, la salida se realimenta al sistema de entrada mediante realimentación de un solo espejo o un bucle de realimentación. Los DS pueden aparecer como puntos brillantes en un plano bidimensional ortogonal a la dirección de propagación del haz; sin embargo, también se pueden aprovechar otros efectos como la polarización . Se han observado DS para absorbentes saturables , [ 24 ] osciladores paramétricos ópticos degenerados (DOPO), [ 25 ] válvulas de luz de cristal líquido (LCLV), [ 26 ] sistemas de vapor alcalino, [ 27 ] medios fotorrefractivos , [ 28 ] y microresonadores semiconductores. [ 29 ]
  • Si se consideran las propiedades vectoriales de los DS, también se podría observar un solitón disipativo vectorial en un láser de fibra bloqueado pasivamente a través de un absorbedor saturable, [ 30 ].
  • Además, se ha obtenido un solitón disipativo multilongitud de onda en un láser de fibra de dispersión totalmente normal, bloqueado pasivamente en modo con un SESAM. Se confirma que, dependiendo de la birrefringencia de la cavidad , se puede formar un solitón disipativo estable de una, dos y tres longitudes de onda en el láser. Su mecanismo de generación se remonta a la naturaleza del solitón disipativo. [ 31 ]
  • Sistemas químicos: realizados como reactores unidimensionales y bidimensionales o mediante superficies catalíticas, los DS aparecen como pulsos (a menudo como pulsos propagantes) de concentración o temperatura crecientes. Las reacciones típicas son la reacción de Belousov-Zhabotinsky , [ 32 ] la reacción de ferrocianuro-yodato-sulfito, así como la oxidación de hidrógeno, [ 33 ] CO, [ 34 ] o hierro. [ 35 ] Los pulsos nerviosos [ 11 ] o las ondas del aura migrañosa [ 36 ] también pertenecen a esta clase de sistemas.
  • Medios vibrados: los medios granulares agitados verticalmente, [ 37 ] las suspensiones coloidales , [ 38 ] y los fluidos newtonianos [ 39 ] producen montones de material que oscilan armónica o subarmónicamente, que generalmente se denominan oscilones .
  • Sistemas hidrodinámicos : la realización más destacada de los DS son los dominios de rollos de convección sobre un estado de fondo conductor en líquidos binarios. [ 40 ] Otro ejemplo es el arrastre de película en una tubería cilíndrica giratoria llena de aceite. [ 41 ]
  • Redes eléctricas: grandes conjuntos unidimensionales o bidimensionales de celdas acopladas con una característica corriente-voltaje no lineal . [ 42 ] Los DS se caracterizan por una corriente localmente aumentada a través de las celdas.

Sorprendentemente, desde un punto de vista fenomenológico, la dinámica de los estados de Dirac en muchos de los sistemas mencionados es similar a pesar de las diferencias microscópicas. Las observaciones típicas incluyen propagación (intrínseca), dispersión , formación de estados ligados y cúmulos, deriva en gradientes, interpenetración, generación y aniquilación, así como inestabilidades de orden superior.

Descripción teórica

La mayoría de los sistemas que muestran DS se describen mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales . También se utilizan ecuaciones de diferencias discretas y autómatas celulares . Hasta ahora, el modelado a partir de primeros principios seguido de una comparación cuantitativa entre el experimento y la teoría se ha realizado solo en raras ocasiones y, a veces, también plantea serios problemas debido a las grandes discrepancias entre las escalas de tiempo y espacio microscópicas y macroscópicas. A menudo se investigan modelos prototipo simplificados que reflejan los procesos físicos esenciales en una clase más amplia de sistemas experimentales. Entre estos se encuentran:

  • Sistemas de reacción-difusión , utilizados para sistemas químicos, descargas de gas y semiconductores. [ 43 ] La evolución del vector de estado q ( x , t ) que describe la concentración de los diferentes reactivos está determinada tanto por la difusión como por las reacciones locales: 
∂tq=D_Δq+R(q).{\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\,\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}).}
Un ejemplo frecuente es el sistema activador-inhibidor de dos componentes tipo Fitzhugh-Nagumo.
(τtú∂ttúτv∂tv)=(dtú200dv2)(ΔtúΔv)+(λtú−tú3−κ3v+κ1tú−v).{\displaystyle \left({\begin{array}{c}\tau _{u}\,\partial _{t}u\\\tau _{v}\,\partial _{t}v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}d_{u}^{2}&0\\0&d_{v}^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\Delta u\\\Delta v\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\lambda uu^{3}-\kappa _{3}v+\kappa _{1}\\uv\end{array}}\right).}
Los DS estacionarios se generan por la producción de material en el centro de los DS, el transporte difusivo hacia las colas y el agotamiento de material en las colas. Un pulso propagante surge de la producción en el extremo delantero y el agotamiento en el extremo trasero. [ 44 ] Entre otros efectos, se encuentran oscilaciones periódicas de los DS ("respiración"), [ 45 ] [ 46 ] estados ligados, [ 47 ] y colisiones, fusiones, generación y aniquilación. [ 48 ]
  • Sistemas de tipo Ginzburg-Landau para un escalar complejo q ( x , t ) utilizados para describir sistemas ópticos no lineales, plasmas, condensación de Bose-Einstein, cristales líquidos y medios granulares. [ 49 ] Un ejemplo frecuente es la ecuación subcrítica cúbica-quíntica de Ginzburg-Landau. 
∂tq=(dr+idi)Δq+ℓrq+(dor+idoi)|q|2q+(qr+iqi)|q|4q.{\displaystyle \partial _{t}q=(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}
Para comprender los mecanismos que conducen a la formación de DS, se puede considerar la energía ρ = | q | 2 para la cual se puede derivar la ecuación de continuidad.
∂tρ+∇⋅metro=S=dr(qΔq∗+q∗Δq)+2ℓrρ+2dorρ2+2qrρ3con metro=2diSoy⁡(q∗∇q).{\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho +\nabla \cdot {\boldsymbol {m}}=S=d_{r}(q\,\Delta q^{\ast }+q^{\ast }\,\Delta q)+2\ell _{r}\rho +2c_{r}\rho ^{2}+2q_{r}\rho ^{3}\\&{\text{con }}{\boldsymbol {m}}=2d_{i}\operatorname {Im} (q^{\ast }\nabla q).\end{aligned}}}
De este modo, se puede demostrar que la energía se produce generalmente en los flancos de los DS y se transporta al centro y, potencialmente, a las colas, donde se agota. Los fenómenos dinámicos incluyen DS propagantes en 1D, [ 50 ] cúmulos propagantes en 2D, [ 51 ] estados ligados y solitones de vórtice, [ 52 ] así como "DS explosivos". [ 53 ]
  • La ecuación de Swift-Hohenberg se utiliza en óptica no lineal y en la dinámica de medios granulares de llamas o electroconvección. Swift-Hohenberg puede considerarse una extensión de la ecuación de Ginzburg-Landau. Se puede escribir como
∂tq=(sr+isi)Δ2q+(dr+idi)Δq+ℓrq+(dor+idoi)|q|2q+(qr+iqi)|q|4q.{\displaystyle \partial _{t}q=(s_{r}+is_{i})\,\Delta ^{2}q+(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}
Para d r > 0, esencialmente se tienen los mismos mecanismos que en la ecuación de Ginzburg-Landau. [ 54 ] Para d r  <  0, en la ecuación real de Swift-Hohenberg se encuentra biestabilidad entre estados homogéneos y patrones de Turing. Los DS son dominios de Turing localizados y estacionarios sobre el fondo homogéneo. [ 55 ] Esto también se cumple para las ecuaciones complejas de Swift-Hohenberg; sin embargo, también son posibles los DS propagantes, así como los fenómenos de interacción, y las observaciones incluyen fusión e interpenetración. [ 56 ]

Propiedades de las partículas y universalidad

Los solitones disipativos en diversos sistemas muestran propiedades universales similares a las de las partículas. Para comprender y describir estas propiedades, se pueden intentar derivar "ecuaciones de partículas" para parámetros de orden que varían lentamente, como la posición, la velocidad o la amplitud de los solitones disipativos, eliminando adiabáticamente todas las variables rápidas en la descripción del campo. Esta técnica es conocida en sistemas lineales; sin embargo, surgen problemas matemáticos en los modelos no lineales debido al acoplamiento de modos rápidos y lentos. [ 57 ]

De forma similar a los sistemas dinámicos de baja dimensión, para las bifurcaciones supercríticas de solitones disipativos estacionarios se encuentran formas normales características que dependen esencialmente de las simetrías del sistema. Por ejemplo, para una transición de un solitón disipativo estacionario simétrico a uno intrínsecamente propagante se encuentra la forma normal de horquilla.

v˙=(σ−σ0)v−|v|2v{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {v}}}=(\sigma -\sigma _{0}){\boldsymbol {v}}-|{\boldsymbol {v}}|^{2}{\boldsymbol {v}}}

Para la velocidad v del solitón disipativo, [ 58 ] aquí σ representa el parámetro de bifurcación y σ 0 el punto de bifurcación. Para una bifurcación a un solitón disipativo "respiratorio", se encuentra la forma normal de Hopf.

A˙=(σ−σ0)A−|A|2A{\displaystyle {\dot {A}}=(\sigma -\sigma _{0})A-|A|^{2}A}

para la amplitud A de la oscilación. [ 46 ] También es posible tratar la " interacción débil " siempre que la superposición de los DS no sea demasiado grande. [ 59 ] De esta manera, se facilita una comparación entre el experimento y la teoría. [ 60 ] [ 61 ] Nótese que los problemas anteriores no surgen para los solitones clásicos ya que la teoría de dispersión inversa produce soluciones analíticas completas.

Véase también

Referencias

En línea

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Libros y artículos de opinión

  • N. Akhmediev y A. Ankiewicz, Solitones disipativos , Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2005)
  • N. Akhmediev y A. Ankiewicz, Solitones disipativos: de la óptica a la biología y la medicina , Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2008)
  • H.-G. Purwins et al., Advances in Physics 59 (2010): 485 doi : 10.1080/00018732.2010.498228
  • AW Liehr: Solitones disipativos en sistemas de reacción-difusión. Mecanismo, dinámica, interacción. Volumen 70 de la serie Springer en sinergética, Springer, Berlín Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2