Singularidad BKL

En su trabajo de 1970, ^{[ 2 ]} BKL afirmó que, al aproximarse a una singularidad, los términos que contienen derivadas temporales en las ecuaciones de Einstein predominan sobre aquellos que contienen derivadas espaciales . Esto se conoce desde entonces como la conjetura de BKL e implica que las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de Einstein se aproximan bien mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), por lo que la dinámica de la relatividad general se vuelve efectivamente local y oscilatoria. La evolución temporal de los campos en cada punto espacial se aproxima bien mediante las cosmologías homogéneas de la clasificación de Bianchi.

Al separar las derivadas temporales y espaciales en las ecuaciones de Einstein, por ejemplo, de la forma utilizada para la clasificación de espacios homogéneos , y luego igualar a cero los términos que contienen derivadas espaciales, se puede definir la llamada teoría truncada del sistema (ecuaciones truncadas). ^{[ 20 ]} Entonces, la conjetura BKL se puede hacer más específica:

Conjetura débil : A medida que nos aproximamos a la singularidad, los términos que contienen derivadas espaciales en las ecuaciones de Einstein son despreciables en comparación con los términos que contienen derivadas temporales. Por lo tanto, a medida que nos aproximamos a la singularidad, las ecuaciones de Einstein se aproximan a las que se obtienen al igualar a cero los términos de las derivadas. Así, la conjetura débil afirma que las ecuaciones de Einstein pueden aproximarse bien mediante las ecuaciones truncadas en las proximidades de la singularidad. Cabe señalar que esto no implica que las soluciones de las ecuaciones de movimiento completas se aproximen a las soluciones de las ecuaciones truncadas a medida que nos aproximamos a la singularidad. Esta condición adicional se recoge en la versión fuerte de la siguiente manera.

Conjetura sólida : A medida que nos aproximamos a la singularidad, las ecuaciones de Einstein se aproximan a las de la teoría truncada y, además, las soluciones a las ecuaciones completas se aproximan bien mediante las soluciones a las ecuaciones truncadas.

Al principio, la conjetura BKL parecía depender de las coordenadas y resultar bastante inverosímil. Barrow y Tipler, ^{[ 21 ] [ 22 ]} por ejemplo, entre las diez críticas a los estudios de BKL, incluyen la elección inapropiada (según ellos) del marco síncrono como medio para separar las derivadas temporales y espaciales. La conjetura BKL se reformuló a veces en la literatura como una afirmación de que cerca de la singularidad solo las derivadas temporales son importantes. Tal afirmación, tomada literalmente, es errónea o, en el mejor de los casos, engañosa, ya que, como se muestra en el propio análisis de BKL, los gradientes de tipo espacial del tensor métrico no pueden despreciarse para soluciones genéricas de la gravedad de Einstein pura en cuatro dimensiones espaciotemporales, y de hecho desempeñan un papel crucial en la aparición del régimen oscilatorio. Sin embargo, existen reformulaciones de la teoría de Einstein en términos de nuevas variables que involucran los gradientes relevantes, por ejemplo, en variables de tipo Ashtekar, para las cuales la afirmación sobre el papel dominante de las derivadas temporales es correcta. ^{[ 20 ]} Es cierto que en cada punto espacial se obtiene una descripción efectiva de la singularidad en términos de un sistema dinámico de dimensión finita descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto al tiempo, pero los gradientes espaciales entran en estas ecuaciones de manera no trivial.

Análisis posteriores realizados por numerosos autores han demostrado que la conjetura BKL puede precisarse y, actualmente, existe un impresionante conjunto de evidencia numérica y analítica que la respalda. ^{[ 23 ]} Cabe señalar que aún estamos lejos de una prueba de la conjetura fuerte. Sin embargo, se han logrado avances notables en modelos más simples. En particular, Berger, Garfinkle, Moncrief, Isenberg, Weaver y otros demostraron que, en una clase de modelos, a medida que se aproxima la singularidad, las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein completas se aproximan a las obtenidas al despreciar las derivadas espaciales, donde predomina el término de velocidad. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} Andersson y Rendall ^{[ 28 ]} demostraron que para la gravedad acoplada a un campo escalar sin masa o un fluido rígido, para cada solución de las ecuaciones truncadas existe una solución de las ecuaciones de campo completas que converge a la solución truncada a medida que se aproxima la singularidad, incluso en ausencia de simetrías. Estos resultados se generalizaron para incluir también campos de gauge de p-forma . ^{[ 29 ]} En estos modelos truncados la dinámica es más simple, lo que permite una declaración precisa de la conjetura que podría probarse. En el caso general, la evidencia más fuerte hasta la fecha proviene de evoluciones numéricas. Berger y Moncrief ^{[ 30 ]} iniciaron un programa para analizar singularidades cosmológicas genéricas. Si bien el trabajo inicial se centró en casos con simetría reducida, ^{[ 31 ]} más recientemente Garfinkle ^{[ 32 ]} realizó una evolución numérica de espaciotiempos sin simetrías en los que, nuevamente, el comportamiento de mixmaster es evidente. Finalmente, un estudio numérico del comportamiento de campos de prueba cerca de la singularidad de un agujero negro de Schwarzschild ha brindado apoyo adicional a la conjetura. ^{[ 33 ]}

El enfoque BKL para espacios homogéneos anisotrópicos (en contraposición a isotrópicos) comienza con una generalización de una solución particular exacta derivada por Kasner ^{[ 34 ]} para un campo en el vacío, en el que el espacio es homogéneo y tiene una métrica euclidiana que depende del tiempo según la métrica de Kasner.

( dl es el elemento de línea ; dx , dy , dz son desplazamientos infinitesimales en las tres dimensiones espaciales , y t es el período de tiempo transcurrido desde un instante inicial _t₀ = 0). Aquí, p₁ , p₂ , p₃ son tres números cualesquiera que satisfacen las siguientes _condiciones de _{Kasner .}

Debido a estas relaciones, solo uno de los tres números es independiente (dos ecuaciones con tres incógnitas ). Los tres números nunca son iguales; dos números son iguales solo en los conjuntos de valores.${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$y (0, 0, 1). ^{[ nota 4 ]} En todos los demás casos, los números son diferentes: uno es negativo y los otros dos son positivos. Esto se demuestra parcialmente elevando al cuadrado ambos lados de la primera condición (ecuación 3) y desarrollando el cuadrado:

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

El término${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$es igual a 1 en virtud de la segunda condición de la ecuación 3 y, por lo tanto, el término con los productos mixtos debe ser cero. Esto es posible si al menos uno de los p ₁ , p ₂ , p ₃ es negativo.

Si los números se ordenan en orden ascendente, p ₁ < p ₂ < p ₃ , cambian en los intervalos (Fig. 4)

La métrica de Kasner (ecuación 2) corresponde a un espacio plano, homogéneo pero anisotrópico, en el que todos los volúmenes aumentan con el tiempo de tal manera que las distancias lineales a lo largo de los ejes y y z aumentan, mientras que la distancia a lo largo del eje x disminuye. El instante t = 0 provoca una singularidad en la solución; esta singularidad en la métrica en t = 0 no puede evitarse mediante ninguna transformación del marco de referencia. En la singularidad, los invariantes del tensor de curvatura de cuatro dimensiones tienden a infinito. Una excepción es el caso p ₁ = p ₂ = 0, p ₃ = 1; estos valores corresponden a un espaciotiempo plano: la transformación t sh z = ζ, t ch z = τ convierte la métrica de Kasner ( ecuación 2 ) en galileana .

BKL parametriza los números p ₁ , p ₂ , p ₃ en términos de un único parámetro independiente (real) u (parámetro de Lifshitz-Khalatnikov ^{[ 35 ]} ) de la siguiente manera:

La parametrización del índice de Kasner parece misteriosa hasta que se consideran las dos restricciones sobre los índices (ecuación 3) . Ambas restricciones fijan la escala general de los índices, de modo que solo sus razones pueden variar. Es natural elegir una de esas razones como un nuevo parámetro, lo cual se puede hacer de seis maneras diferentes. Eligiendo u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂ , por ejemplo, es trivial expresar las seis razones posibles en términos de él. Eliminando primero p ₃ = up ₂ y luego usando la restricción lineal para eliminar p ₁ = 1 − p ₂ − up ₂ = 1 − (1 + u ) p ₂ , la restricción cuadrática se reduce a una ecuación cuadrática en p ₂

con raíces p ₂ = 0 (obvio) y p ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² ), de las cuales p ₁ y p ₃ se obtienen mediante sustitución hacia atrás . Se pueden definir seis parámetros de este tipo u _ab = p _a / p _b , para los cuales p _c ≤ p _b ≤ p _a cuando ( c , b , a ) es una permutación cíclica de (1, 2, 3). ^{[ 36 ]}

Todos los valores diferentes de p ₁ , p ₂ , p ₃ ordenados como se indicó anteriormente se obtienen con u corriendo en el rango u ≥ 1. Los valores u < 1 se llevan a este rango de acuerdo con

En la solución generalizada, la forma correspondiente a la ecuación 2 se aplica solo a la métrica asintótica (la métrica cercana a la singularidad t = 0), respectivamente, a los términos principales de su desarrollo en serie por potencias de t . En el sistema de referencia síncrono se escribe en la forma de la ecuación 1 con un elemento de distancia espacial .

dónde

Los vectores tridimensionales l , m , n definen las direcciones en las que la distancia espacial cambia con el tiempo mediante las leyes de potencia de la ecuación 8. Estos vectores, así como los números p _l , p _m , p _n que, como antes, están relacionados por la ecuación 3 , son funciones de las coordenadas espaciales. Las potencias p _l , p _m , p _n no están ordenadas de forma creciente, reservándose los símbolos p ₁ , p ₂ , p ₃ para los números de la ecuación 5 que permanecen ordenados de forma creciente. El determinante de la métrica de la ecuación 7 es

donde v = l [ mn ]. Es conveniente introducir las siguientes cantidades ^{[ nota 5 ]}

La métrica espacial en la ecuación 7 es anisotrópica porque las potencias de t en la ecuación 8 no pueden tener los mismos valores. Al aproximarse a la singularidad en t = 0, las distancias lineales en cada elemento espacial disminuyen en dos direcciones y aumentan en la tercera. El volumen del elemento disminuye en proporción a t .

La métrica de Kasner se introduce en las ecuaciones de Einstein sustituyendo el tensor métrico respectivo γ _αβ de la ecuación 7 sin definir a priori la dependencia de a , b , c de t : ^{[ nota 2 ]}

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

donde el punto sobre un símbolo designa la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación de Einstein, ecuación 11, toma la forma

Todos sus términos son de segundo orden para la gran cantidad (en t → 0) 1/ t . En las ecuaciones de Einstein , ecuación 12 , los términos de tal orden aparecen solo a partir de términos que están diferenciados en el tiempo. Si los componentes de P _αβ no incluyen términos de orden superior a dos, entonces

donde los índices l , m , n designan componentes tensoriales en las direcciones l , m , n . ^{[ 12 ]} Estas ecuaciones junto con la ecuación 14 dan las expresiones de la ecuación 8 con potencias que satisfacen la ecuación 3 .

Sin embargo, la presencia de una potencia negativa entre las 3 potencias p _l , p _m , p _n da como resultado la aparición de términos de P _αβ con un orden mayor que t ⁻² . Si la potencia negativa es p _l ( p _l = p ₁ < 0), entonces P _αβ contiene la función de coordenadas λ y la ecuación 12 se convierte en

Aquí, los segundos términos son de orden t ^{−2( p _m + p _n − p _l )} donde p _m + p _n − p _l = 1 + 2 | p _l | > 1. ^{[ nota 6 ]} Para eliminar estos términos y restaurar la ecuación métrica 7 , es necesario imponer a las funciones de coordenadas la condición λ = 0.

Las tres ecuaciones de Einstein restantes (ecuación 13) contienen únicamente derivadas temporales de primer orden del tensor métrico. Estas proporcionan tres relaciones independientes del tiempo que deben imponerse como condiciones necesarias sobre las funciones de coordenadas en la ecuación 7. Esto, junto con la condición λ = 0, da como resultado cuatro condiciones. Dichas condiciones vinculan diez funciones de coordenadas diferentes: tres componentes de cada uno de los vectores l , m , n , y una función en potencias de t (cualquiera de las funciones p _l , p _m , p _n , que están vinculadas por las condiciones de la ecuación 3 ). Al calcular el número de funciones físicamente arbitrarias, debe tenerse en cuenta que el sistema síncrono utilizado aquí permite transformaciones arbitrarias independientes del tiempo de las tres coordenadas espaciales. Por lo tanto, la solución final contiene en total 10 − 4 − 3 = 3 funciones físicamente arbitrarias, una menos de las necesarias para la solución general en el vacío.

El grado de generalidad alcanzado en este punto no disminuye al introducir la materia; esta se incorpora a la ecuación métrica 7 y aporta cuatro nuevas funciones de coordenadas necesarias para describir la distribución inicial de su densidad y las tres componentes de su velocidad. Esto permite determinar la evolución de la materia simplemente a partir de las leyes de su movimiento en un campo gravitatorio dado a priori, que son las ecuaciones hidrodinámicas.

donde u ⁱ es la velocidad 4-dimensional, ε y σ son las densidades de energía y entropía de la materia (cf. ^{[ 37 ]} y; ^{[ 38 ]} también; ^{[ 39 ]} para más detalles véase ^{[ 40 ]} ). Para la ecuación de estado ultrarrelativista p = ε/3 la entropía σ ~ ε ^1/4 . Los términos principales en las ecuaciones 17 y 18 son aquellos que contienen derivadas temporales . De la ecuación 17 y las componentes espaciales de la ecuación 18 se tiene

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

Resultando en

donde 'const' son cantidades independientes del tiempo. Además, de la identidad u _i u ⁱ = 1 se tiene (porque todos los componentes covariantes de u _α son del mismo orden)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

donde u _n es la componente de velocidad en la dirección de n que está conectada con la potencia más alta (positiva) de t (suponiendo que p _n = p ₃ ). De las relaciones anteriores, se deduce que

o

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para confirmar que los componentes del tensor de energía-momento-esfuerzo de la materia se encuentran en el lado derecho de las ecuaciones.

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

son, de hecho, de un orden inferior en 1/ t que los términos principales en sus lados izquierdos. En las ecuaciones${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$La presencia de materia solo produce un cambio en las relaciones impuestas a sus funciones de coordenadas constituyentes. ^{[ 12 ]}

El hecho de que ε se vuelva infinito según la ley de la ecuación 21 confirma que en la solución de la ecuación 7 se trata de una singularidad física para cualquier valor de las potencias p ₁ , p ₂ , p ₃ , excepto (0, 0, 1). Para estos últimos valores, la singularidad no es física y puede eliminarse mediante un cambio de sistema de referencia.

La singularidad ficticia correspondiente a las potencias (0, 0, 1) surge como resultado del cruce de coordenadas de la línea de tiempo sobre una " superficie focal " bidimensional. Como se señala en ^{[ 12 ]} , siempre se puede elegir un sistema de referencia síncrono de tal manera que este inevitable cruce de la línea de tiempo ocurra exactamente sobre dicha superficie (en lugar de una superficie cáustica tridimensional). Por lo tanto, debe existir una solución con dicha singularidad ficticia simultánea para todo el espacio, con un conjunto completo de funciones arbitrarias necesarias para la solución general. Cerca del punto t = 0, permite una expansión regular por potencias enteras de t . Para un análisis de este caso, véase ^{[ 41 ] .}

Consideremos una era larga, durante la cual dos de las funciones a , b , c (llamémoslas a y b ) experimentan pequeñas oscilaciones mientras que la tercera función ( c ) disminuye monótonamente. Esta última función se vuelve rápidamente pequeña; consideremos la solución precisamente en la región donde se puede ignorar c en comparación con a y b . Los cálculos se realizan primero para el modelo de espacio de tipo IX sustituyendo en consecuencia λ = μ = ν = 1. ^{[ 43 ]}

Después de ignorar la función c , las dos primeras ecuaciones (ecuación 26) dan como resultado:

y la ecuación 28 se puede utilizar como una tercera ecuación, que toma la forma

La solución de la ecuación 44 se escribe en la forma

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

donde α ₀ , ξ ₀ son constantes positivas, y τ ₀ es el límite superior de la era para la variable τ. Es conveniente introducir además una nueva variable (en lugar de τ).

Entonces

Las ecuaciones 45 y 46 se transforman introduciendo la variable χ = α − β:

La disminución de τ de τ ₀ a −∞ corresponde a una disminución de ξ de ξ ₀ a 0. La era larga con a y b cercanos (es decir, con χ pequeño), considerada aquí, se obtiene si ξ ₀ es una cantidad muy grande. De hecho, para ξ grande la solución de la ecuación 49 en la primera aproximación por 1/ξ es

donde A es una constante; el multiplicador${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$hace que χ sea una cantidad pequeña, por lo que puede sustituirse en la ecuación 49 por sh 2χ ≈ 2χ. ^{[ nota 11 ]}

De la ecuación 50 se obtiene

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

Después de determinar α y β a partir de las ecuaciones 48 y 51 y expandir e ^α y e ^β en serie según la aproximación anterior, se obtiene finalmente: ^{[ nota 12 ]}

La relación entre la variable ξ y el tiempo t se obtiene mediante la integración de la definición dt = abc d τ que da como resultado

La constante c ₀ (el valor de c en ξ = ξ ₀ ) debería ser ahora c ₀${\displaystyle \ll }$α ₀ ·

Consideremos ahora el dominio ξ${\displaystyle \ll }$1. Aquí, los términos principales en la solución de la ecuación 49 son:

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

donde k es una constante en el rango − 1 < k < 1; esta condición asegura que el último término en la ecuación 49 sea pequeño (sh 2χ contiene ξ ^{2 k} y ξ ^{−2 k} ). Luego, después de determinar α, β y t , se obtiene

Este es nuevamente un modo de Kasner con la potencia negativa de t presente en la función c ( t ). ^{[ nota 13 ]}

Estos resultados muestran una evolución cualitativamente similar a la descrita anteriormente. Durante un largo período de tiempo que corresponde a una gran disminución del valor de ξ, las dos funciones a y b oscilan, manteniéndose cercanas en magnitud.${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$; al mismo tiempo, ambas funciones a y b lentamente (${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$) disminución. El período de oscilaciones es constante por la variable ξ  : Δξ = 2π (o, que es lo mismo, con un período constante por tiempo logarítmico: Δ ln t = 2π Α ² ). La tercera función, c , disminuye monótonamente por una ley cercana a c = c ₀ t / t ₀ .

Esta evolución continúa hasta que ξ ≈1 y las fórmulas ec. 52 y ec. 53 ya no son aplicables. Su duración temporal corresponde al cambio de t desde t ₀ al valor t ₁ , relacionado con ξ ₀ según

La relación entre ξ y t durante este tiempo se puede presentar de la siguiente forma:

Después de eso, como se observa en la ecuación 55 , la función decreciente c comienza a aumentar mientras que las funciones a y b comienzan a disminuir. Esta época de Kasner continúa hasta que los términos ^c² / ^a²b² en la ecuación 22 ^{se vuelven} ~ t² y comienza una nueva serie de oscilaciones.

La ley para el cambio de densidad durante la larga era en discusión se obtiene sustituyendo la ecuación 52 en la ecuación 20 :

Cuando ξ cambia de ξ ₀ a ξ ≈1, la densidad aumenta.${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$veces.

Cabe destacar que, si bien la función c ( t ) cambia según una ley cercana a c ~ t , la métrica de la ecuación 52 no corresponde a una métrica de Kasner con potencias (0, 0, 1). Esta última corresponde a una solución exacta hallada por Taub ^{[ 47 ]} , la cual está permitida por las ecuaciones 26-27 y en la que

donde p , δ ₁ , δ ₂ son constantes. En la región asintótica τ → −∞, se puede obtener a partir de aquí a = b = const, c = const. t después de la sustitución e ^рτ = t . En esta métrica, la singularidad en t = 0 no es física.

Describamos ahora el estudio análogo del modelo de tipo VIII, sustituyendo en las ecuaciones 26-28 λ = −1, μ = ν = 1. ^{[ 44 ]}

Si durante la larga era, la función monótonamente decreciente es a , nada cambia en el análisis anterior: ignorando a ² en el lado derecho de las ecuaciones 26 y 28 , se vuelve a las mismas ecuaciones 49 y 50 (con notación alterada). Sin embargo, ocurren algunos cambios si la función monótonamente decreciente es b o c ; sea c .

Como antes, se tiene la ecuación 49 con los mismos símbolos y, por lo tanto, las expresiones anteriores de la ecuación 52 para las funciones a (ξ) y b (ξ), pero la ecuación 50 se reemplaza por

El término principal en general ξ ahora se convierte en

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

de modo que

El valor de c en función del tiempo t es nuevamente c = c ₀ t / t ₀ pero la dependencia temporal de ξ cambia. La duración de una era larga depende de ξ ₀ según

Por otro lado, el valor ξ ₀ determina el número de oscilaciones de las funciones a y b durante una era (igual a ξ ₀ /2π). Dada la duración de una era en tiempo logarítmico (es decir, con una razón dada t ₀ / t ₁ ), el número de oscilaciones para el Tipo VIII será, en general, menor que para el Tipo IX. Para el período de oscilaciones se obtiene ahora Δ ln t = πξ/2; a diferencia del Tipo IX, el período no es constante a lo largo de la era larga, y disminuye lentamente junto con ξ.

Las eras largas violan el curso "regular" de la evolución, lo que dificulta el estudio de la evolución de intervalos de tiempo que abarcan varias eras. Sin embargo, se puede demostrar que tales casos "anormales" aparecen en la evolución espontánea del modelo hacia un punto singular en tiempos asintóticamente pequeños t a distancias suficientemente grandes de un punto de partida con condiciones iniciales arbitrarias. Incluso en eras largas, ambas funciones oscilatorias durante las transiciones entre épocas de Kasner permanecen tan diferentes que la transición ocurre bajo la influencia de una sola perturbación. Todos los resultados de esta sección se relacionan igualmente con los modelos de los tipos VIII y IX. ^{[ 48 ]}

Durante cada época de Kasner abc = Λ t , es decir α + β + γ = ln Λ + ln t . Al pasar de una época (con un valor dado del parámetro u ) a la siguiente época, la constante Λ se multiplica por 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + u + u ² ) < 1. Por lo tanto, se produce una disminución sistemática de Λ. Pero es esencial que el valor medio (con respecto a las longitudes k de las eras) de toda la variación de ln Λ durante una era sea finito. En realidad, la divergencia del valor medio podría deberse solo a un aumento demasiado rápido de esta variación con el aumento de k . Para un valor grande del parámetro u , ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ u . Para un k grande, el valor máximo u ^(máx) = k + x ≈ k. Por lo tanto, la variación total de ln Λ durante una era viene dada por una suma de la forma

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

con solo los términos que corresponden a valores grandes de u escritos. Cuando k aumenta, esta suma aumenta como ln k . Pero la probabilidad de que aparezca una era de gran duración k disminuye como 1/ k ₂ según la ecuación 76 ; por lo tanto, el valor medio de la suma anterior es finito. En consecuencia, la variación sistemática de la cantidad ln Λ sobre un gran número de eras será proporcional a este número. Pero se ve en la ecuación 85 que con t → 0 el número s aumenta simplemente como ln |ln t |. Por lo tanto, en el límite asintótico de t arbitrariamente pequeño, el término ln Λ puede despreciarse en comparación con ln t . En esta aproximación ^{[ nota 14 ]}

donde Ω denota el "tiempo logarítmico"

y el proceso de transiciones de época puede considerarse como una serie de breves destellos de tiempo. Las magnitudes de los máximos de las funciones de escala oscilantes también están sujetas a una variación sistemática. De la ecuación 39 para u ≫ 1 se deduce que${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$. De la misma manera que se hizo anteriormente para la cantidad ln Λ, se puede deducir que la disminución media en la altura de los máximos durante una era es finita y la disminución total en un gran número de eras aumenta con t → 0 simplemente como ln Ω. Al mismo tiempo, la disminución de los mínimos, y por la misma razón el aumento de la amplitud de las oscilaciones, proceden ( ecuación 77 ) proporcionalmente a Ω. En correspondencia con la aproximación adoptada, la disminución de los máximos se desprecia en comparación con el aumento de las amplitudes, de modo que α _max = 0, β _max = 0, γ _max = 0 para los valores máximos de todas las funciones oscilantes y las cantidades α, β, γ solo toman valores negativos que están conectados entre sí en cada instante de tiempo por la relación de la ecuación 63 .

Considerando tal cambio instantáneo de épocas, los períodos de transición se ignoran por ser pequeños en comparación con la duración de la época; esta condición se cumple en realidad. ^{[ nota 15 ]} El reemplazo de los máximos de α, β y γ por ceros requiere que las cantidades ln (| p ₁ |Λ) sean pequeñas en comparación con las amplitudes de las oscilaciones de las funciones respectivas. Como se mencionó anteriormente , durante las transiciones entre eras, los valores de | p ₁ | pueden volverse muy pequeños, mientras que su magnitud y probabilidad de ocurrencia no están relacionadas con las amplitudes de oscilación en el momento correspondiente. Por lo tanto, en principio, es posible alcanzar valores de | p ₁ | tan pequeños que se viole la condición anterior (máximos cero). Esta caída drástica de α _max puede conducir a varias situaciones especiales en las que la transición entre épocas de Kasner por la regla de la ecuación 37 se vuelve incorrecta (incluidas las situaciones descritas anteriormente ). Estas situaciones "peligrosas" podrían romper las leyes utilizadas para el análisis estadístico que se presenta a continuación. Como ya se ha mencionado, la probabilidad de tales desviaciones converge asintóticamente a cero; este tema se tratará más adelante.

Consideremos una era que contiene k épocas de Kasner con un parámetro u que recorre los valores

y sean α y β las funciones oscilantes durante esta era (Fig. 4). ^{[ nota 16 ]}

Los momentos iniciales de las épocas de Kasner con parámetros u _n son Ω _n . En cada momento inicial, uno de los valores α o β es cero, mientras que el otro tiene un mínimo. Los valores α o β en mínimos consecutivos, es decir, en momentos Ω _n son

(sin distinguir los mínimos α y β). Los valores δ _n que miden esos mínimos en las respectivas unidades Ω _n pueden ir entre 0 y 1. La función γ disminuye monótonamente durante esta era; según la ecuación 63, su valor en el momento Ω _n es

Durante la época que comienza en el instante Ω _n y termina en el instante Ω _{n +1,} una de las funciones α o β aumenta de −δ _n Ω _n a cero, mientras que la otra disminuye de 0 a −δ _{n +1} Ω _{n +1} según leyes lineales, respectivamente:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$y${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

lo que resulta en la relación de recurrencia

y para la duración de la época logarítmica

donde, para abreviar, f ( u ) = 1 + u + u ² . La suma de n longitudes de época se obtiene mediante la fórmula

Como se puede observar en la ecuación 68 , |α _n+1 | > |α _n |, es decir, las amplitudes de oscilación de las funciones α y β aumentan durante toda la era, aunque los factores δ _n sean pequeños. Si el mínimo al comienzo de una era es profundo, los siguientes mínimos no serán menos profundos; en otras palabras, el residuo |α  — β| en el momento de la transición entre épocas de Kasner permanece grande. Esta afirmación no depende de la duración de la era k, ya que las transiciones entre épocas se rigen por la regla común de la ecuación 37 también para eras largas.

La amplitud de la última oscilación de las funciones α o β en una era dada está relacionada con la amplitud de la primera oscilación mediante la relación |α _{k −1} | = |α ₀ | ( k + x ) / (1 + x ). Incluso para valores de k tan pequeños como varias unidades, x puede ignorarse en comparación con k, de modo que el aumento de las amplitudes de oscilación de α y β se vuelve proporcional a la duración de la era. Para las funciones a = e ^α y b = e ^β, esto significa que si la amplitud de sus oscilaciones al comienzo de una era era A ₀ , al final de esta era la amplitud se convertirá en${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$.

La duración de las épocas de Kasner (en tiempo logarítmico) también aumenta dentro de una era dada; es fácil calcular a partir de la ecuación 69 que Δ _{n +1} > Δ _n . ^{[ nota 17 ]} La duración total de la era es

(el término con 1/ x surge de la última época, la k -ésima, cuya duración es grande para valores pequeños de x ; véase la figura 2). El instante Ω _n en que termina la k -ésima época de una era dada es, al mismo tiempo, el instante Ω' ₀ del comienzo de la siguiente era.

En la primera época de Kasner de la nueva era, la función γ es la primera en aumentar desde el valor mínimo γ _k = − Ω _k (1 − δ _k ) que alcanzó en la era anterior; este valor actúa como una amplitud inicial δ' ₀ Ω' ₀ para la nueva serie de oscilaciones. Se obtiene fácilmente que:

Es obvio que δ' ₀ Ω' ₀ > δ ₀ Ω ₀ . Incluso para k no muy grande, el aumento de amplitud es muy significativo: la función c = e ^γ comienza a oscilar desde la amplitud${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$El tema de los casos "peligrosos" mencionados anteriormente, de reducción drástica del límite superior de oscilación, se deja de lado por ahora.

Según la ecuación 40, el aumento de la densidad de materia durante las primeras ( k − 1) épocas viene dado por la fórmula

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

Para la última época k de una era dada, en u = x < 1 la mayor potencia es p ₂ ( x ) (no p ₃ ( x ) ). Por lo tanto, para el aumento de densidad en toda la era se obtiene

Por lo tanto, incluso con valores de k no muy grandes ,${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$Durante la siguiente era (con una duración k '), la densidad aumentará más rápidamente debido al aumento de la amplitud inicial A0 _' :${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$, etc. Estas fórmulas ilustran el fuerte aumento de la densidad de la materia.

La secuencia de duraciones de era k ^{( s )} , medidas por el número de épocas de Kasner que contienen, adquiere asintóticamente el carácter de un proceso aleatorio. Lo mismo ocurre con la secuencia de intercambios de pares de funciones oscilantes al pasar de una era a la siguiente (depende de si los números k ^{( s )} son pares o impares). Una fuente de esta estocasticidad es la regla de las ecuaciones 41-42 según la cual la transición de una era a la siguiente se determina en una secuencia numérica infinita de valores u . Esta regla establece, en otras palabras, que si toda la secuencia infinita comienza con un cierto valor inicial${\displaystyle u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}}$Entonces, las longitudes de las eras k ⁽⁰⁾ , k ⁽¹⁾ , ..., son los números en la expansión de fracción continua simple.

Esta expansión corresponde a la transformación del intervalo [0, 1] sobre sí mismo mediante la fórmula Tx = {1/ x }, es decir, x _{s +1} = {1/ x _s }. Esta transformación pertenece a las llamadas transformaciones de expansión del intervalo [0, 1], es decir, transformaciones x → f ( x ) con | f′ ( x )| > 1. Dichas transformaciones poseen la propiedad de inestabilidad exponencial: si tomamos inicialmente dos puntos cercanos, su distancia mutua aumenta exponencialmente bajo las iteraciones de las transformaciones. Es bien sabido que la inestabilidad exponencial conduce a la aparición de fuertes propiedades estocásticas.

Es posible pasar a una descripción probabilística de dicha secuencia considerando no un valor inicial definido x ⁽⁰⁾ , sino los valores x ⁽⁰⁾ = x distribuidos en el intervalo de 0 a 1 de acuerdo con una cierta ley de distribución probabilística w₀ ₍ x ). Entonces, los valores de x ( ^s) que finalizan cada era también tendrán distribuciones que siguen ciertas leyes wₛ ₍ x) . Sea _wₛ ( x)dx la probabilidad de que la s -ésima era termine con el valor${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x}$ubicado en un intervalo especificado dx .

El valor x ^(s) = x , que finaliza la era s , puede resultar de valores iniciales (para esta era)${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x+k}$, donde k = 1, 2, ...; estos valores de${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$corresponden a los valores x ^{( s –1)} = 1/( k + x ) para la era precedente. Teniendo esto en cuenta, se puede escribir la siguiente relación de recurrencia, que expresa la distribución de las probabilidades w _s (x) en términos de la distribución w _{s –1} ( x ):

${\displaystyle w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert }$

o

Si la distribución w _s ( x ) tiende, al aumentar s, a una distribución límite estacionaria (independiente de s ) w ( x ), entonces esta última debe satisfacer una ecuación obtenida a partir de la ecuación 73c al eliminar los índices de las funciones w _{s −1} ( x ) y w _s ( x ). Esta ecuación tiene una solución

(normalizado a la unidad y llevado al primer orden de x ). ^{[ nota 18 ]}

Para que la s -ésima era tenga una duración k , la era precedente debe terminar con un número x en el intervalo entre 1/( k + 1) y 1/ k . Por lo tanto, la probabilidad de que la era tenga una duración k es igual a (en el límite estacionario)

Para valores grandes de k

Al relacionar las propiedades estadísticas del modelo cosmológico con las propiedades ergódicas de la transformación x _{s +1} = {1/ x _s }, es importante mencionar un punto. En una secuencia infinita de números x construida de acuerdo con esta regla, se observarán valores arbitrariamente pequeños (pero nunca nulos) de x que corresponden a longitudes arbitrariamente grandes k. Tales casos pueden (¡de ninguna manera necesariamente!) dar lugar a ciertas situaciones específicas en las que la noción de eras, como secuencias de épocas de Kasner que se intercambian entre sí según la regla de la ecuación 37 , pierde su significado (aunque el modo oscilatorio de evolución del modelo aún persiste). Esta situación "anómala" puede manifestarse, por ejemplo, en la necesidad de retener en el lado derecho de la ecuación. 26 términos no solo con una de las funciones a , b , c (por ejemplo, a ⁴ ), como es el caso en el intercambio "regular" de las épocas de Kasner, sino simultáneamente con dos de ellas (por ejemplo, a ⁴ , b ⁴ , a ² b ² ).

Tras emerger de una serie de oscilaciones "anómalas", se restablece una sucesión de eras regulares. El análisis estadístico del comportamiento del modelo, basado enteramente en iteraciones regulares de las transformaciones de la ecuación 42, se corrobora mediante un teorema importante: la probabilidad de aparición de casos anómalos tiende asintóticamente a cero cuando el número de iteraciones s → ∞ (es decir, cuando el tiempo t → 0), lo cual se demuestra al final de esta sección. La validez de esta afirmación se debe en gran medida a la rápida tasa de aumento de las amplitudes de oscilación durante cada era, y especialmente en la transición de una era a la siguiente.

Sin embargo, el proceso de relajación del modelo cosmológico al régimen estadístico "estacionario" (con t → 0 a partir de un "instante inicial" dado) es menos interesante que las propiedades de este régimen en sí, teniendo debidamente en cuenta las leyes concretas de la variación de las características físicas del modelo durante las sucesivas eras.

Una idea de la velocidad a la que se establece la distribución estacionaria se obtiene del siguiente ejemplo. Sean los valores iniciales x ⁽⁰⁾ distribuidos en un intervalo estrecho de ancho δ x ⁽⁰⁾ alrededor de algún número definido. A partir de la relación de recurrencia ec. 73c (o directamente de la expansión ec. 73a ) es fácil concluir que los anchos de las distribuciones w _s ( x ) (alrededor de otros números definidos) serán entonces iguales a

(esta expresión es válida solo mientras defina cantidades δ x ^(s) ≪ 1).

El valor medio${\displaystyle {\bar {k}}}$, calculada a partir de esta distribución, diverge logarítmicamente. Para una secuencia, truncada en un número N muy grande, pero aún finito , se tiene${\displaystyle {\bar {k}}\sim \ln N}$La utilidad de la media en este caso es muy limitada debido a su inestabilidad: debido a la lenta disminución de W ( k ), las fluctuaciones en k divergen más rápido que su media. Una característica más adecuada de esta secuencia es la probabilidad de que un número elegido al azar de ella pertenezca a una era de longitud K donde K es grande. Esta probabilidad es ln K / ln N. Es pequeña si${\displaystyle 1\ll K\ll N}$En este sentido, se puede decir que un número elegido al azar de la secuencia dada pertenece a la era larga con alta probabilidad.

Es conveniente promediar expresiones que dependen simultáneamente de k ^{( s )} y x ^{( s )} . Dado que ambas cantidades se derivan de la misma cantidad x ^{( s –1)} (que finaliza la era precedente), de acuerdo con la fórmula k ^{( s )} + x ^{( s )} = 1/ x ^{( s –1)} , sus distribuciones estadísticas no pueden considerarse independientes. La distribución conjunta W _s ( k , x ) dx de ambas cantidades se puede obtener a partir de la distribución w _{s –1} ( x ) dx haciendo en esta última la sustitución x → 1/( x + k ). En otras palabras, la función W _s ( k , x ) viene dada por la misma expresión bajo el signo de sumatoria en el lado derecho de la ecuación 73c . En el límite estacionario, tomando w de la ecuación 74 , se obtiene

La suma de esta distribución sobre k nos lleva de vuelta a la ecuación 74 , y la integración con respecto a dx a la ecuación 75 .

Las fórmulas recurrentes que definen las transiciones entre eras se reescriben con el índice s que numera las eras sucesivas (¡no las épocas de Kasner en una era dada!), comenzando desde alguna era ( s = 0) definida como inicial. Ω ^{( s )} y ε ^{( s )} son, respectivamente, el momento inicial y la densidad de materia inicial en la era s ; δ ^{( s )} Ω ^{( s )} es la amplitud de oscilación inicial de ese par de funciones α, β, γ, que oscila en la era dada: k ^{( s )} es la duración de la era s , y x ^{( s )} determina la duración (número de épocas de Kasner) de la siguiente era según k ^{( s +1) = [} 1 / x ^{( s )} ]. Según las ecuaciones 71-73

(ξ ^{( s )} se introduce en la ecuación 77 para ser utilizada posteriormente).

Las cantidades δ ^{( s )} tienen una distribución estadística estacionaria estable P (δ) y un valor medio estable (pequeñas fluctuaciones relativas). Para su determinación, KL ^{[ 48 ]} en coautoría con Ilya Lifshitz , hermano de Evgeny Lifshitz, utilizó (con las debidas reservas) un método aproximado basado en el supuesto de independencia estadística de la cantidad aleatoria δ ^{( s )} y de las cantidades aleatorias k ^{( s )} , x ^{( s )} . Para la función P (δ) se estableció una ecuación integral que expresaba el hecho de que las cantidades δ ^{( s +1)} y δ ^{( s )} interconectadas por la relación eq. 78 tienen la misma distribución; esta ecuación se resolvió numéricamente. En un trabajo posterior, Khalatnikov et al. ^{[ 49 ]} demostraron que la distribución P (δ) puede encontrarse exactamente mediante un método analítico (véase la Fig. 5 ).

Para las propiedades estadísticas en el límite estacionario, es razonable introducir la denominada extensión natural de la transformación Tx = {1/ x } extendiéndola sin límite a índices negativos. Dicho de otro modo, se trata de una transición de una secuencia infinita unilateral de los números ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), conectada por las igualdades Tx = {1/ x }, a una secuencia "doblemente infinita" X = (..., x ₋₁ , x 0 , x ₁ , x ₂ , ... ₎ de los números que están conectados por las mismas igualdades para todo –∞ < s < ∞. Por supuesto, dicha expansión no es única en el sentido literal de la palabra (ya que x _{s –1} no está determinado unívocamente por x _s ), pero todas las propiedades estadísticas de la secuencia extendida son uniformes en toda su longitud, es decir, son invariantes con respecto a cualquier desplazamiento (y x ₀ pierde su significado de condición "inicial"). La secuencia X es equivalente a una secuencia de enteros K = (..., k ₋₁ , k ₀ , k ₁ , k ₂ , ...), construida mediante la regla k _s = [1/ x _{s –1} ]. Inversamente, cada número de X está determinado por los enteros de K como una fracción continua infinita.

(la conveniencia de introducir la notación${\displaystyle x_{s+1}^{+}}$con un índice desplazado en 1 quedará claro en lo siguiente). Para una notación concisa, la fracción continua se denota simplemente mediante la enumeración (entre corchetes) de sus denominadores; entonces la definición de${\displaystyle x_{s}^{+}}$se puede escribir como

Las cantidades inversas se definen mediante una fracción continua con una secuencia retrógrada (en la dirección de índices decrecientes) de denominadores.

La relación de recurrencia de la ecuación 78 se transforma introduciendo temporalmente la notación η _s = (1 − δ _s )/δ _s . Entonces la ecuación 78 se puede reescribir como

${\displaystyle \eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}}$

Mediante iteración se obtiene una fracción continua infinita

${\displaystyle \eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}}$

Por eso${\displaystyle \eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}}$y finalmente

Esta expresión para δ _s contiene solo dos (en lugar de las tres en ^{[ 48 ]} ) cantidades aleatorias${\displaystyle x_{s}^{+}}$y${\displaystyle x_{s}^{-}}$, cada uno de los cuales toma valores en el intervalo [0, 1].

De la definición de la ecuación 79c se deduce que${\displaystyle 1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right]}$Por lo tanto, el desplazamiento de toda la secuencia X un paso a la derecha implica una transformación conjunta de las cantidades.${\displaystyle x_{s}^{+}}$y${\displaystyle x_{s}^{-}}$de acuerdo a

Esta es una correspondencia uno a uno en el cuadrado unitario . Por lo tanto, ahora tenemos una transformación uno a uno de dos cantidades en lugar de una transformación no uno a uno Tx = {1/ x } de una cantidad.

Las cantidades${\displaystyle x_{s}^{+}}$y${\displaystyle x_{s}^{-}}$tienen una distribución estacionaria conjunta P ( x ⁺ , x ⁻ ). Dado que la ecuación 79e es una transformación biyectiva, la condición para que la distribución sea estacionaria se expresa simplemente mediante una ecuación de función.

donde J es el jacobiano de la transformación.

Un desplazamiento de la secuencia X en un paso da lugar a la siguiente transformación T del cuadrado unitario:

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}}$

(con${\displaystyle x\equiv x_{0}^{+}}$,${\displaystyle y\equiv x_{0}^{-}}$, cf. ec. 79e ). La densidad P ( x , y ) define la medida invariante para esta transformación. Es natural suponer que P ( x , y ) es una función simétrica de x e y . Esto significa que la medida es invariante con respecto a la transformación S ( x , y ) = ( y , x ) y por lo tanto con respecto al producto ST con ST ( x , y ) = ( x ″ , y ″ ) y

${\displaystyle x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}}$

Evidentemente, ST tiene una primera integral H = 1/ x + y . En la línea H = const ≡ c la transformación tiene la forma

${\displaystyle {\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}}$

Por lo tanto, la densidad de medida invariante de ST debe ser de la forma

${\displaystyle f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy}$

Teniendo en cuenta la simetría P ( x , y )= P ( y , x ), esto se convierte en f ( c )= c ⁻² y por lo tanto (después de la normalización)

(su integración sobre x ⁺ o x ^– produce la función w ( x ) ec. 74 ). La reducción de la transformación a una correspondencia biyectiva ya fue utilizada por Chernoff y Barrow ^{[ 50 ]} y obtuvieron una fórmula de la forma de la ec. 79g pero para otras variables; su artículo no contiene aplicaciones a los problemas que se consideran en Khalatnikov et al. ^{[ 49 ]}

La corrección de la ecuación 79g también se puede verificar mediante un cálculo directo; el jacobiano de la transformación de la ecuación 79e es

${\displaystyle J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}}$

(en su cálculo hay que tener en cuenta que${\displaystyle \left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+}}$).

Dado que, según la ecuación 79d, δ _s se expresa en términos de las cantidades aleatorias x ⁺ y x ⁻ , el conocimiento de su distribución conjunta permite calcular la distribución estadística P (δ) integrando P ( x ⁺ , x ⁻ ) sobre una de las variables en un valor constante de δ. Debido a la simetría de la función de la ecuación 79g con respecto a las variables x ⁺ y x ⁻ , P (δ) = P (1 − δ), es decir, la función P (δ) es simétrica con respecto al punto δ = 1/2. Entonces

${\displaystyle P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}}$

Al evaluar esta integral (para 0 ≤ δ ≤ 1/2 y luego haciendo uso de la simetría antes mencionada), finalmente

El valor medio${\displaystyle {\bar {\delta }}}$= 1/2 ya como resultado de la simetría de la función P (δ). Por lo tanto, el valor medio de la amplitud inicial (en cada era) de las oscilaciones de las funciones α, β, γ aumenta como Ω/2.

La relación estadística entre los grandes intervalos de tiempo Ω y el número de eras s que contienen se encuentra mediante la aplicación repetida de la ecuación 77 :

Sin embargo, promediar directamente esta ecuación no tiene sentido: debido a la lenta disminución de la función W ( k ) (ecuación 76) , los valores promedio de la cantidad exp ξ ^{( s )} son inestables en el sentido mencionado anteriormente; las fluctuaciones aumentan incluso más rápidamente que el valor medio mismo con el aumento de la región de promediado. Esta inestabilidad se elimina tomando el logaritmo: el intervalo de tiempo "doblemente logarítmico"

se expresa mediante la suma de cantidades ξ ^{( p )} que tienen una distribución estadística estable. El valor medio de τ es${\displaystyle {\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }}}$Para calcular${\displaystyle {\bar {\xi }}}$Nótese que la ecuación 77 se puede reescribir como

Para la distribución estacionaria${\displaystyle {\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}}}$y en virtud de la simetría de la función P (δ) también${\displaystyle {\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}}}$. Por eso

${\displaystyle {\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37}$

( w ( x ) de la ecuación 74 ). Por lo tanto

que determina el intervalo de tiempo doblemente logarítmico medio que contiene s eras sucesivas.

Para valores grandes de s, el número de términos en la suma de la ecuación 81 es grande y, según los teoremas generales de la teoría ergódica, los valores de τ _s se distribuyen alrededor de${\displaystyle {\overline {\tau _{s}}}}$Según la ley de Gauss con la densidad

El cálculo de la varianza D _τ es más complicado ya que no solo el conocimiento de${\displaystyle {\bar {\xi }}}$y${\displaystyle {\overline {\xi ^{2}}}}$son necesarias pero también de las correlaciones${\displaystyle {\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}}}$El cálculo se puede simplificar reordenando los términos de la suma (ecuación 81 ). Usando la ecuación 81a, la suma se puede reescribir como:

${\displaystyle \sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}}$

Los dos últimos términos no aumentan con el aumento de s ; estos términos pueden omitirse ya que las leyes límite para valores grandes de s son dominantes. Entonces

(se tiene en cuenta la expresión de la ecuación 79d para δ _p ). Con la misma precisión (es decir, hasta los términos que no aumentan con s ) la igualdad

es válido. En efecto, en virtud de la ecuación 79e

${\displaystyle x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}}$

Sumando esta identidad sobre p , se obtiene la ecuación 82c . Finalmente, nuevamente con la misma precisión.${\displaystyle x_{p}^{+}}$se cambia para x _p bajo el signo de sumatoria y por lo tanto representa τ _s como

La varianza de esta suma en el límite de s grande es

Se tiene en cuenta que en virtud de la homogeneidad estadística de la secuencia X las correlaciones${\displaystyle {\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}}}$dependen únicamente de las diferencias | p − p ′ |. El valor medio${\displaystyle {\bar {\eta }}={\bar {\xi }}}$; el cuadrado medio

${\displaystyle {\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40}$

Teniendo en cuenta también los valores de las correlaciones${\displaystyle {\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}}$con p = 1, 2, 3 (calculado numéricamente) se obtiene el resultado final D _{τ s} = (3,5 ± 0,1) s .

Al aumentar s la fluctuación relativa${\displaystyle D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}}}$tiende a cero cuando s ^−1/2 . En otras palabras, la relación estadística de la ecuación 82 se vuelve casi segura para valores grandes de s . Esto permite invertir la relación, es decir, representarla como la dependencia del número promedio de eras s _τ que se intercambian en un intervalo τ dado del tiempo doble logarítmico:

La distribución estadística de los valores exactos de s _τ alrededor de su media también es gaussiana con la varianza

${\displaystyle D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau }$

La distribución estadística correspondiente viene dada por la misma distribución gaussiana en la que la variable aleatoria es ahora s _τ en un τ dado:

Desde este punto de vista, la fuente del comportamiento estadístico es la arbitrariedad en la elección del punto de partida del intervalo τ superpuesto a la secuencia infinita de las eras intercambiables.

Con respecto a la densidad de la materia, la ecuación 79 puede reescribirse teniendo en cuenta la ecuación 80 en la forma

${\displaystyle \ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]}$

y luego, para el cambio total de energía durante s eras,

El término con la suma por p aporta la contribución principal a esta expresión porque contiene un exponente con una potencia grande. Dejando solo este término y promediando la ecuación 87 , se obtiene en su lado derecho la expresión${\displaystyle s{\bar {\xi }}}$lo cual coincide con la ecuación 82 ; todos los demás términos de la suma (también los términos con η _s en sus potencias) conducen únicamente a correcciones de un orden relativo 1/ s . Por lo tanto,

En virtud del carácter casi seguro de la relación entre τ _s y s , la ecuación 88 puede escribirse como

${\displaystyle {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,}$

que determina el valor del doble logaritmo del aumento de densidad promediado por intervalos de tiempo doblemente logarítmicos dados τ o por un número dado de eras s .

Estas relaciones estadísticas estables existen específicamente para intervalos de tiempo doblemente logarítmicos y para el aumento de la densidad. Para otras características, por ejemplo, ln (ε ^{( s )} /ε ⁽⁰⁾ ) o Ω ^(s) / Ω ⁽⁰⁾ = exp τ _s la fluctuación relativa aumenta exponencialmente con el aumento del rango de promediado, lo que anula el significado estable del término valor medio.

El origen de la relación estadística de la ecuación 88 se puede rastrear ya desde la ley inicial que rige la variación de la densidad durante las épocas individuales de Kasner. Según la ecuación 21 , durante toda la evolución tenemos

${\displaystyle \ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),}$

con 1 − p ₃ ( t ) cambiando de época en época, pasando por valores en el intervalo de 0 a 1. El término ln Ω = ln ln (1/ t ) aumenta monótonamente; por otro lado, el término ln2(1 − p ₃ ) puede asumir valores grandes (comparables con ln Ω) solo cuando aparecen valores de p ₃ muy cercanos a la unidad (es decir, muy pequeños | p ₁ |). Estos son precisamente los casos "peligrosos" que perturban el curso regular de la evolución expresado por las relaciones recurrentes de las ecuaciones 77 a 79 .

Resta demostrar que tales casos no se presentan en el régimen límite asintótico. La evolución espontánea del modelo comienza en un instante determinado en el que se especifican condiciones iniciales definidas de manera arbitraria. Por consiguiente, por "asintótico" se entiende un régimen suficientemente alejado del instante inicial elegido.

Los casos peligrosos son aquellos en los que aparecen valores excesivamente pequeños del parámetro u = x (y por lo tanto también | p ₁ | ≈ x ) al final de una era. Un criterio para la selección de tales casos es la desigualdad

donde | α ^{( s )} | es la profundidad inicial de los mínimos de las funciones que oscilan en la era s (sería más apropiado elegir la amplitud final, pero eso solo reforzaría el criterio de selección).

El valor de x ⁽⁰⁾ en la primera era está determinado por las condiciones iniciales. Son peligrosos los valores en el intervalo δ x ⁽⁰⁾ ~ exp ( − |α ⁽⁰⁾ | ), y también en intervalos que podrían resultar en casos peligrosos en las siguientes eras. Para que x ^{( s )} caiga en el intervalo peligroso δ x ^{( s )} ~ exp ( − | α ^{( s )} | ), el valor inicial x ⁽⁰⁾ debe estar dentro de un intervalo de un ancho δ x ⁽⁰⁾ ~ δ x ^{( s )} / k ^{(1)^2} ... k ^{( s )^2} . ^{[ 51 ]} Por lo tanto, de un intervalo unitario de todos los valores posibles de x ⁽⁰⁾ , aparecerán casos peligrosos en partes λ de este intervalo:

(la suma interna se toma sobre todos los valores k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... , k ^{( s )} desde 1 hasta ∞). Es fácil demostrar que esta era converge al valor λ${\displaystyle \ll }$1 cuyo orden de magnitud está determinado por el primer término de la ecuación 90. Esto se puede demostrar mediante una fuerte mayoración de la era para la cual se sustituye | α ^{( s )} | = (s + 1) | α ⁽⁰⁾ |, independientemente de las longitudes de las eras k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... (De hecho, | α ^{( s )} | aumenta mucho más rápido; incluso en el caso más desfavorable k ⁽¹⁾ = k ⁽²⁾ = ... = 1 los valores de | α ^{( s )} | aumentan como q ^s | α ⁽⁰⁾ | con q > 1.) Observando que

${\displaystyle \sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}}$

uno obtiene

${\displaystyle \lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).}$

Si el valor inicial de x ⁽⁰⁾ se encuentra fuera de la región peligrosa λ, no habrá casos peligrosos. Si se encuentra dentro de esta región, se producen casos peligrosos, pero una vez que finalizan, el modelo retoma una evolución "regular" con un nuevo valor inicial que solo ocasionalmente (con una probabilidad λ) puede entrar en el intervalo peligroso. Los casos peligrosos repetidos ocurren con probabilidades λ₂ ^, λ₃ ^, ..., que convergen asintóticamente a cero.