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Articulo de referencia

Método de descomposición de dominio de equilibrio

En análisis numérico , el método de descomposición de dominio de equilibrio (BDD) es un método iterativo para encontrar la solución de un sistema simétrico definido positivo de ...

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En análisis numérico , el método de descomposición de dominio de equilibrio (BDD) es un método iterativo para encontrar la solución de un sistema simétrico definido positivo de ecuaciones algebraicas lineales que surge del método de elementos finitos . [ 1 ] En cada iteración, combina la solución de problemas locales en subdominios no superpuestos con un problema grueso creado a partir de los espacios nulos de los subdominios . BDD solo requiere la solución de problemas de subdominio en lugar del acceso a las matrices de esos problemas, por lo que es aplicable a situaciones donde solo están disponibles los operadores de solución, como en la simulación de yacimientos de petróleo por elementos finitos mixtos . [ 2 ] En su formulación original, BDD funciona bien solo para problemas de segundo orden, como elasticidad en 2D y 3D. Para problemas de cuarto orden, como flexión de placas , necesita ser modificado agregando al problema grueso funciones base especiales que imponen continuidad de la solución en las esquinas del subdominio, [ 3 ] lo que, sin embargo, lo hace más costoso. El método BDDC utiliza las mismas funciones base de esquina que [ 3 ] , pero de forma aditiva en lugar de multiplicativa. [ 4 ] La contraparte dual de BDD es FETI , que impone la igualdad de la solución entre el subdominio mediante multiplicadores de Lagrange. Las versiones base de BDD y FETI no son matemáticamente equivalentes, aunque una versión especial de FETI diseñada para ser robusta para problemas difíciles [ 5 ] tiene los mismos valores propios y, por lo tanto, esencialmente el mismo rendimiento que BDD. [ 6 ] [ 7 ]

El operador del sistema resuelto por BDD es el mismo que se obtiene al eliminar las incógnitas en el interior del subdominio, reduciendo así el problema al complemento de Schur en la interfaz del subdominio. Dado que el precondicionador BDD implica la solución de problemas de Neumann en todos los subdominios, pertenece a la clase de métodos Neumann-Neumann , llamados así porque resuelven un problema de Neumann en ambos lados de la interfaz entre subdominios.

En el caso más simple, el espacio grueso de BDD consiste en funciones constantes en cada subdominio y promediadas en las interfaces. De forma más general, en cada subdominio, el espacio grueso solo necesita contener el espacio nulo del problema como un subespacio.

Referencias

  1. ↑ J. Mandel, Descomposición de dominio de equilibrio , Comm. Numer. Methods Engrg., 9 (1993), pp. 233 – 241. doi : 10.1002/cnm.1640090307
  2. ↑ LC Cowsar, J. Mandel y MF Wheeler, Descomposición de dominio de equilibrio para elementos finitos mixtos , Math. Comp., 64 (1995), pp. 989 – 1015. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1297465-9
  3. 1 2 P. Le Tallec, J. Mandel y M. Vidrascu, Un algoritmo de descomposición de dominio de Neumann - Neumann para resolver problemas de placas y láminas , SIAM Journal on Numerical Analysis, 35 (1998), pp. 836-867 . doi : 10.1137/S0036142995291019
  4. ↑ J. Mandel y CR Dohrmann, Convergencia de una descomposición de dominio de equilibrio mediante restricciones y minimización de energía , Numer. Linear Algebra Appl., 10 (2003), pp. 639–659. doi : 10.1002/nla.341
  5. ↑ M. Bhardwaj, D. Day, C. Farhat, M. Lesoinne, K. Pierson y D. Rixen, Aplicación del método FETI a problemas ASCI: resultados de escalabilidad en 1000 procesadores y discusión de problemas altamente heterogéneos , International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47 (2000), pp. 513 – 535. doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30)47:1/3 < 513::AID-NME782 > 3.0.CO ; 2-V
  6. ↑ Y. Fragakis, Dualidad de fuerza y ​​desplazamiento en métodos de descomposición de dominio para mecánica de sólidos y estructuras . Próxima publicación en Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2007.
  7. ↑ B. Sousedík y J. Mandel, Sobre la equivalencia de los precondicionadores de subestructuración primal y dual . arXiv:math/0802.4328, 2008.
  • Implementación de referencia de BDD en mgnet.org
  • Descomposición de dominios: teoría, publicaciones, métodos, algoritmos. Archivado el 10 de julio de 2011 en Wayback Machine.