Métodos de Neumann-Neumann

En matemáticas, los métodos de Neumann-Neumann son precondicionadores de descomposición de dominio llamados así porque resuelven un problema de Neumann en cada subdominio a ambos lados de la interfaz entre los subdominios. ^{[ 1 ]} Al igual que todos los métodos de descomposición de dominio, para que el número de iteraciones no crezca con el número de subdominios, los métodos de Neumann-Neumann requieren la solución de un problema grueso para proporcionar comunicación global. La descomposición de dominio de balanceo es un método de Neumann-Neumann con un tipo especial de problema grueso.

Más específicamente, consideremos un dominio Ω , en el cual deseamos resolver la ecuación de Poisson.

$${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$$

Para alguna función f , divida el dominio en dos subdominios no superpuestos Ω₁ y _Ω₂ con frontera común _Γ y sean u₁ y u₂ los valores de u en cada subdominio. En _la interfaz entre los dos subdominios, las dos soluciones deben satisfacer las condiciones de coincidencia _.

$${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}}$$

dónde${\textstyle n_{i}}$es el vector normal unitario a Γ en cada subdominio.

Un método iterativo con iteraciones k = 0, 1, ... para la aproximación de cada u _i ( i = 1, 2 ) que satisface las condiciones de coincidencia consiste en resolver primero los problemas de Dirichlet.

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}~~{\text{en}}~~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.u_{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.u_{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}\end{aligned}}}$$

para alguna función λ ^{( k )} en Γ , donde λ ⁽⁰⁾ es cualquier estimación inicial económica. Luego resolvemos los dos problemas de Neumann.

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta \psi _{i}^{(k)}=0~~{\text{en}}~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.\psi _{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.\partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\omega \left(\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}\right).\end{aligned}}}$$

Luego obtenemos la siguiente iteración estableciendo

$${\displaystyle \lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{(k)}-\omega \left(\theta _{1}\psi _{1}^{(k)}+\theta _{2}\psi _{2}^{(k)}\right)~~{\text{en}}~\Gamma }$$

para algunos parámetros ω , θ ₁ y θ ₂ .

Este procedimiento puede considerarse como una iteración de Richardson para la solución iterativa de las ecuaciones que surgen del método del complemento de Schur . ^{[ 2 ]}

Esta iteración continua puede discretizarse mediante el método de elementos finitos y luego resolverse —en paralelo— en un ordenador. La extensión a más subdominios es sencilla, pero el uso de este método, tal como se plantea como precondicionador para el sistema de complemento de Schur, no es escalable con el número de subdominios; de ahí la necesidad de una solución global aproximada.

• método de Neumann-Dirichlet