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Articulo de referencia

Doblado de placas

Flexión de una placa circular sujeta por un borde bajo la acción de una presión transversal. La mitad izquierda de la placa muestra la forma deformada, mientras que la mitad der...

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Flexión de una placa circular sujeta por un borde bajo la acción de una presión transversal. La mitad izquierda de la placa muestra la forma deformada, mientras que la mitad derecha muestra la forma sin deformar. Este cálculo se realizó utilizando Ansys .

La flexión de placas , o doblado de placas , se refiere a la deflexión de una placa perpendicular a su plano bajo la acción de fuerzas y momentos externos . La magnitud de la deflexión se puede determinar resolviendo las ecuaciones diferenciales de una teoría de placas apropiada . A partir de estas deflexiones, se pueden calcular las tensiones en la placa. Una vez conocidas las tensiones, se pueden utilizar teorías de falla para determinar si una placa fallará bajo una carga determinada.

Doblado de placas de Kirchhoff-Love

Fuerzas y momentos sobre una placa plana.

Definiciones

Para una placa rectangular delgada de espesorH{\displaystyle H}, módulo de Youngmi{\displaystyle E}y la relación de Poissonν{\displaystyle \nu }, podemos definir parámetros en términos de la deflexión de la placa,w{\displaystyle w}.

La rigidez a la flexión viene dada por

D=miH312(1−ν2){\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}

Momentos

Los momentos flectores por unidad de longitud vienen dados por

METROincógnita=−D(∂2w∂incógnita2+ν∂2w∂y2){\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}
METROy=−D(ν∂2w∂incógnita2+∂2w∂y2){\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}

El momento torsor por unidad de longitud viene dado por

METROincógnitay=−D(1−ν)∂2w∂incógnita∂y{\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}

Efectivo

Las fuerzas cortantes por unidad de longitud vienen dadas por

Qincógnita=−D∂∂incógnita(∂2w∂incógnita2+∂2w∂y2){\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}
Qy=−D∂∂y(∂2w∂incógnita2+∂2w∂y2){\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}

Estrés

Las tensiones de flexión vienen dadas por

σincógnita=−12DzH3(∂2w∂incógnita2+ν∂2w∂y2){\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}
σy=−12DzH3(ν∂2w∂incógnita2+∂2w∂y2){\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}

El esfuerzo cortante viene dado por

τincógnitay=−12DzH3(1−ν)∂2w∂incógnita∂y{\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}

Presiones

Las deformaciones por flexión para la teoría de pequeñas deflexiones vienen dadas por

ϵincógnita=∂tú∂incógnita=−z∂2w∂incógnita2{\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}
ϵy=∂v∂y=−z∂2w∂y2{\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}

La deformación por cizallamiento para la teoría de pequeñas deflexiones viene dada por

γincógnitay=∂tú∂y+∂v∂incógnita=−2z∂2w∂incógnita∂y{\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}

Para la teoría de placas de gran deflexión, consideramos la inclusión de deformaciones de membrana.

ϵincógnita=∂tú∂incógnita+12(∂w∂incógnita)2{\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}
ϵy=∂v∂y+12(∂w∂y)2{\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}
γincógnitay=∂tú∂y+∂v∂incógnita+∂w∂incógnita∂w∂y{\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}

Desviaciones

Las deflexiones vienen dadas por

tú=−z∂w∂incógnita{\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}
v=−z∂w∂y{\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}

Derivación

En la teoría de placas de Kirchhoff-Love para placas, las ecuaciones que rigen son [ 1 ].

norteαβ,α=0{\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}

y

METROαβ,αβ−q=0{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}

En forma ampliada,

∂norte11∂incógnita1+∂norte21∂incógnita2=0 ;  ∂norte12∂incógnita1+∂norte22∂incógnita2=0{\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}

y

∂2METRO11∂incógnita12+2∂2METRO12∂incógnita1∂incógnita2+∂2METRO22∂incógnita22=q{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}

dóndeq(incógnita){\displaystyle q(x)}es una carga transversal aplicada por unidad de área, el espesor de la placa esH=2h{\displaystyle H=2h}, las tensiones sonσij{\displaystyle \sigma _{ij}}, y

norteαβ:=∫−hhσαβ dincógnita3 ;  METROαβ:=∫−hhincógnita3 σαβ dincógnita3 .{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}

La cantidadnorte{\displaystyle N}tiene unidades de fuerza por unidad de longitud. La cantidadMETRO{\displaystyle M}tiene unidades de momento por unidad de longitud.

Para placas isotrópicas y homogéneas con módulo de Youngmi{\displaystyle E}y la relación de Poissonν{\displaystyle \nu }Estas ecuaciones se reducen a [ 2 ]

∇2∇2w=−qD ;  D:=2h3mi3(1−ν2)=H3mi12(1−ν2){\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}

dóndew(incógnita1,incógnita2){\displaystyle w(x_{1},x_{2})}es la deflexión de la superficie media de la placa.

Pequeña deflexión de placas rectangulares delgadas

Esto se rige por la ecuación de placas de Germain - Lagrange.

∂4w∂incógnita4+2∂4w∂incógnita2∂y2+∂4w∂y4=qD{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}

Esta ecuación fue derivada por primera vez por Lagrange en diciembre de 1811 al corregir el trabajo de Germain, quien proporcionó la base de la teoría.

Gran deflexión de placas rectangulares delgadas

Esto se rige por las ecuaciones de placas de Föppl - von Kármán.

∂4F∂incógnita4+2∂4F∂incógnita2∂y2+∂4F∂y4=mi[(∂2w∂incógnita∂y)2−∂2w∂incógnita2∂2w∂y2]{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}
∂4w∂incógnita4+2∂4w∂incógnita2∂y2+∂4w∂y4=qD+HD(∂2F∂y2∂2w∂incógnita2+∂2F∂incógnita2∂2w∂y2−2∂2F∂incógnita∂y∂2w∂incógnita∂y){\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}

dóndeF{\displaystyle F}es la función de estrés.

Platos circulares Kirchhoff-Love

La flexión de placas circulares se puede examinar resolviendo la ecuación gobernante con las condiciones de contorno apropiadas. Estas soluciones fueron halladas por primera vez por Poisson en 1829. Las coordenadas cilíndricas son convenientes para este tipo de problemas. Aquíz{\displaystyle z}es la distancia de un punto al plano medio de la placa.

La ecuación gobernante en forma independiente de las coordenadas es

∇2∇2w=−qD.{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}

En coordenadas cilíndricas(r,θ,z){\displaystyle (r,\theta ,z)},

∇2w≡1r∂∂r(r∂w∂r)+1r2∂2w∂θ2+∂2w∂z2.{\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}

Para placas circulares cargadas simétricamente,w=w(r){\displaystyle w=w(r)}y tenemos

∇2w≡1rddr(rdwdr).{\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}

Por lo tanto, la ecuación que rige es

1rddr[rddr{1rddr(rdwdr)}]=−qD.{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}

Siq{\displaystyle q}yD{\displaystyle D}son constantes, la integración directa de la ecuación gobernante nos da

w(r)=−qr464D+do1ln⁡r+do2r22+do3r24(2ln⁡r−1)+do4{\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}

dóndedoi{\displaystyle C_{i}}son constantes. La pendiente de la superficie de deflexión es

ϕ(r)=dwdr=−qr316D+do1r+do2r+do3rln⁡r.{\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}

Para una placa circular, el requisito de que la deflexión y la pendiente de la deflexión sean finitas enr=0{\displaystyle r=0}implica quedo1=0{\displaystyle C_{1}=0}. Sin embargo,do3{\displaystyle C_{3}}no tiene por qué ser igual a 0, ya que el límite derln⁡r{\displaystyle r\ln r\,}existe a medida que te acercasr=0{\displaystyle r=0}desde la derecha. Sin embargo, sido3≠0{\displaystyle C_{3}\neq 0}, la segunda derivada dew{\displaystyle w}divergirán en el centro, lo que corresponde a un defecto puntual.

Bordes sujetos con abrazaderas

Para una placa circular con bordes sujetos, tenemosw(a)=0{\displaystyle w(a)=0}yϕ(a)=0{\displaystyle \phi (a)=0}en el borde de la placa (radio)a{\displaystyle a}). Utilizando estas condiciones de contorno y estableciendodo3=0{\displaystyle C_{3}=0}, obtenemos

w(r)=−q64D(a2−r2)2yϕ(r)=qr16D(a2−r2).{\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}

Los desplazamientos en el plano de la placa son

túr(r)=−zϕ(r)ytúθ(r)=0.{\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}

Las deformaciones en el plano de la placa son

εrr=dtúrdr=−qz16D(a2−3r2) ,  εθθ=túrr=−qz16D(a2−r2) ,  εrθ=0.{\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}

Las tensiones en el plano de la placa son

σrr=mi1−ν2[εrr+νεθθ] ;  σθθ=mi1−ν2[εθθ+νεrr] ;  σrθ=0.{\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}

Para una placa de espesor2h{\displaystyle 2h}, la rigidez a la flexión esD=2mih3/[3(1−ν2)]{\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}y tenemos

σrr=−3qz32h3[(1+ν)a2−(3+ν)r2]σθθ=−3qz32h3[(1+ν)a2−(1+3ν)r2]σrθ=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}

Los momentos resultantes (momentos flectores) son

METROrr=−q16[(1+ν)a2−(3+ν)r2] ;  METROθθ=−q16[(1+ν)a2−(1+3ν)r2] ;  METROrθ=0.{\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}

La tensión radial máxima se encuentra enz=h{\displaystyle z=h}yr=a{\displaystyle r=a}:

σrr|z=h,r=a=3qa216h2=3qa24H2{\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}

dóndeH:=2h{\displaystyle H:=2h}Los momentos flectores en el borde y en el centro de la placa son

METROrr|r=a=qa28 ,  METROθθ|r=a=νqa28 ,  METROrr|r=0=METROθθ|r=0=−(1+ν)qa216.{\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}

Platos rectangulares Kirchhoff-Love

Flexión de una placa rectangular bajo la acción de una fuerza distribuida.q{\displaystyle q}por unidad de área.

En 1820, Navier introdujo un método sencillo para calcular el desplazamiento y la tensión en placas rectangulares simplemente apoyadas. La idea consistía en expresar la carga aplicada en términos de componentes de Fourier, hallar la solución para una carga sinusoidal (una sola componente de Fourier) y, a continuación, superponer dichas componentes para obtener la solución para una carga arbitraria.

Carga sinusoidal

Supongamos que la carga es de la forma

q(incógnita,y)=q0pecado⁡πincógnitaapecado⁡πyb.{\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}

Aquíq0{\displaystyle q_{0}}es la amplitud,a{\displaystyle a}es el ancho de la placa en elincógnita{\displaystyle x}-dirección y b{\displaystyle b}es el ancho de la placa en ely{\displaystyle y}-dirección.

Dado que la placa está simplemente apoyada, el desplazamientow(incógnita,y){\displaystyle w(x,y)}a lo largo de los bordes de la placa es cero, el momento flectorMETROincógnitaincógnita{\displaystyle M_{xx}}es cero enincógnita=0{\displaystyle x=0}yincógnita=a{\displaystyle x=a}, y METROyy{\displaystyle M_{yy}}es cero eny=0{\displaystyle y=0}yy=b{\displaystyle y=b}.

Si aplicamos estas condiciones de contorno y resolvemos la ecuación de la placa, obtenemos la solución.

w(incógnita,y)=q0π4D(1a2+1b2)−2pecado⁡πincógnitaapecado⁡πyb.{\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}

Donde D es la rigidez a la flexión

D=mit312(1−ν2){\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}

Análogo a la rigidez a la flexión EI. [ 3 ] Podemos calcular las tensiones y deformaciones en la placa una vez que conocemos el desplazamiento.

Para una carga más general del tipo

q(incógnita,y)=q0pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

dóndemetro{\displaystyle m}ynorte{\displaystyle n}son enteros, obtenemos la solución

(1)w(incógnita,y)=q0π4D(metro2a2+norte2b2)−2pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb.{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}

ecuación de serie trigonométrica doble

Definimos una carga generalq(incógnita,y){\displaystyle q(x,y)}de la siguiente forma

q(incógnita,y)=∑metro=1∞∑norte=1∞ametronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

dóndeametronorte{\displaystyle a_{mn}}es un coeficiente de Fourier dado por

ametronorte=4ab∫0b∫0aq(incógnita,y)pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπybdincógnitady{\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}.

La ecuación clásica de la placa rectangular para pequeñas deflexiones queda así:

∂4w∂incógnita4+2∂4w∂incógnita2∂y2+∂4w∂y4=1D∑metro=1∞∑norte=1∞ametronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Placa simplemente apoyada con carga general

Suponemos una soluciónw(incógnita,y){\displaystyle w(x,y)}de la siguiente forma

w(incógnita,y)=∑metro=1∞∑norte=1∞wmetronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Las diferenciales parciales de esta función vienen dadas por

∂4w∂incógnita4=∑metro=1∞∑norte=1∞(metroπa)4wmetronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}
∂4w∂incógnita2∂y2=∑metro=1∞∑norte=1∞(metroπa)2(norteπb)2wmetronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}
∂4w∂y4=∑metro=1∞∑norte=1∞(norteπb)4wmetronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la placa, tenemos

∑metro=1∞∑norte=1∞((metroπa)2+(norteπb)2)2wmetronortepecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb=∑metro=1∞∑norte=1∞ametronorteDpecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Igualando las dos expresiones, tenemos

((metroπa)2+(norteπb)2)2wmetronorte=ametronorteD{\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}

que se puede reorganizar para dar

wmetronorte=1π4Dametronorte(metro2a2+norte2b2)2{\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en la esquina) con carga general viene dada por

w(incógnita,y)=1π4D∑metro=1∞∑norte=1∞ametronorte(metro2a2+norte2b2)2pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Desplazamiento (w{\displaystyle w})
Estrés (σincógnitaincógnita{\displaystyle \sigma _{xx}})
Estrés (σyy{\displaystyle \sigma _{yy}})
Desplazamiento y tensiones a lo largo deincógnita=a/2{\displaystyle x=a/2}para un plato rectangular cona=20{\displaystyle a=20}mm,b=40{\displaystyle b=40}mm,H=2h=0,4{\displaystyle H=2h=0.4}mm,mi=70{\displaystyle E=70}GPa yν=0,35{\displaystyle \nu =0.35}bajo cargaq0=−10{\displaystyle q_{0}=-10}kPa. La línea roja representa la parte inferior del plato, la línea verde la parte media y la línea azul la parte superior del plato.

Para una carga uniformemente distribuida, tenemos

q(incógnita,y)=q0{\displaystyle q(x,y)=q_{0}}

El coeficiente de Fourier correspondiente viene dado por

ametronorte=4ab∫0a∫0bq0pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπybdincógnitady{\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}.

Evaluando la integral doble , tenemos

ametronorte=4q0π2metronorte(1−porque⁡metroπ)(1−porque⁡norteπ){\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )},

o alternativamente en un formato por partes , tenemos

ametronorte={16q0π2metronortemetro y norte extraño0metro o norte incluso{\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en la esquina) con carga uniformemente distribuida viene dada por

w(incógnita,y)=16q0π6D∑metro=1,3,5,...∞∑norte=1,3,5,...∞1metronorte(metro2a2+norte2b2)2pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa vienen dados por

METROincógnita=16q0π4∑metro=1,3,5,...∞∑norte=1,3,5,...∞metro2a2+νnorte2b2metronorte(metro2a2+norte2b2)2pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}
METROy=16q0π4∑metro=1,3,5,...∞∑norte=1,3,5,...∞norte2b2+νmetro2a2metronorte(metro2a2+norte2b2)2pecado⁡metroπincógnitaapecado⁡norteπyb{\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}

Solución de Lévy

Lévy [ 4 ] propuso otro enfoque en 1899. En este caso, partimos de una forma supuesta del desplazamiento e intentamos ajustar los parámetros de manera que se satisfagan la ecuación gobernante y las condiciones de contorno. El objetivo es encontrarYmetro(y){\displaystyle Y_{m}(y)}de tal manera que satisfaga las condiciones de contorno eny=0{\displaystyle y=0}yy=b{\displaystyle y=b}y, por supuesto, la ecuación que lo rige todo.∇2∇2w=q/D{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}.

Supongamos que

w(incógnita,y)=∑metro=1∞Ymetro(y)pecado⁡metroπincógnitaa.{\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}

Para una placa que está simplemente apoyada a lo largo deincógnita=0{\displaystyle x=0}yincógnita=a{\displaystyle x=a}, las condiciones de contorno sonw=0{\displaystyle w=0}yMETROincógnitaincógnita=0{\displaystyle M_{xx}=0}. Nótese que no hay variación en el desplazamiento a lo largo de estos bordes, lo que significa que∂w/∂y=0{\displaystyle \partial w/\partial y=0}y∂2w/∂y2=0{\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}, reduciendo así la condición de contorno de momento a una expresión equivalente.∂2w/∂incógnita2=0{\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}.

Momentos a lo largo de los bordes

Consideremos el caso de carga de momento puro. En ese casoq=0{\displaystyle q=0}y w(incógnita,y){\displaystyle w(x,y)}tiene que satisfacer∇2∇2w=0{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}Dado que estamos trabajando en coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación gobernante se puede expandir como

∂4w∂incógnita4+2∂4w∂incógnita2∂y2+∂4w∂y4=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}

Conectando la expresión paraw(incógnita,y){\displaystyle w(x,y)}en la ecuación gobernante nos da

∑metro=1∞[(metroπa)4Ymetropecado⁡metroπincógnitaa−2(metroπa)2d2Ymetrody2pecado⁡metroπincógnitaa+d4Ymetrody4pecado⁡metroπincógnitaa]=0{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}

o

d4Ymetrody4−2metro2π2a2d2Ymetrody2+metro4π4a4Ymetro=0.{\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}

Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución general

Ymetro=Ametroaporrear⁡metroπya+Bmetrometroπyaaporrear⁡metroπya+dometrosinh⁡metroπya+Dmetrometroπyasinh⁡metroπya{\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}

dóndeAmetro,Bmetro,dometro,Dmetro{\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}son constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones de contorno. Por lo tanto, la solución de desplazamiento tiene la forma

w(incógnita,y)=∑metro=1∞[(Ametro+Bmetrometroπya)aporrear⁡metroπya+(dometro+Dmetrometroπya)sinh⁡metroπya]pecado⁡metroπincógnitaa.{\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}

Elegimos el sistema de coordenadas de tal manera que los límites de la placa estén enincógnita=0{\displaystyle x=0}yincógnita=a{\displaystyle x=a}(igual que antes) y eny=±b/2{\displaystyle y=\pm b/2}(y noy=0{\displaystyle y=0}y y=b{\displaystyle y=b}). Entonces, las condiciones de contorno de momento en ely=±b/2{\displaystyle y=\pm b/2}los límites son

w=0,−D∂2w∂y2|y=b/2=F1(incógnita),−D∂2w∂y2|y=−b/2=F2(incógnita){\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}

dóndeF1(incógnita),F2(incógnita){\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}son funciones conocidas. La solución se puede encontrar aplicando estas condiciones de contorno. Podemos demostrar que para el caso simétrico donde

METROyy|y=−b/2=METROyy|y=b/2{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}

y

F1(incógnita)=F2(incógnita)=∑metro=1∞mimetropecado⁡metroπincógnitaa{\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}

tenemos

w(incógnita,y)=a22π2D∑metro=1∞mimetrometro2aporrear⁡αmetropecado⁡metroπincógnitaa(αmetrotanh⁡αmetroaporrear⁡metroπya−metroπyasinh⁡metroπya){\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}

dónde

αmetro=metroπb2a.{\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}

De manera similar, para el caso antisimétrico donde

METROyy|y=−b/2=−METROyy|y=b/2{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}

tenemos

w(incógnita,y)=a22π2D∑metro=1∞mimetrometro2sinh⁡αmetropecado⁡metroπincógnitaa(αmetrocoth⁡αmetrosinh⁡metroπya−metroπyaaporrear⁡metroπya).{\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}

Podemos superponer las soluciones simétricas y antisimétricas para obtener soluciones más generales.

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Para una carga uniformemente distribuida, tenemos

q(incógnita,y)=q0{\displaystyle q(x,y)=q_{0}}

La deflexión de una placa simplemente apoyada con centro(a2,0){\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}con carga uniformemente distribuida viene dada por

w(incógnita,y)=q0a4D∑metro=1,3,5,...∞(Ametroaporrear⁡metroπya+Bmetrometroπyasinh⁡metroπya+GRAMOmetro)pecado⁡metroπincógnitaadóndeAmetro=−2(αmetrotanh⁡αmetro+2)π5metro5aporrear⁡αmetroBmetro=2π5metro5aporrear⁡αmetroGRAMOmetro=4π5metro5yαmetro=metroπb2a{\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}

Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa vienen dados por

METROincógnita=−q0π2a2∑metro=1,3,5,...∞metro2(((ν−1)Ametro+2νBmetro)aporrear⁡metroπya+(ν−1)Bmetrometroπyasinh⁡metroπya−GRAMOmetro)pecado⁡metroπincógnitaa{\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}
METROy=−q0π2a2∑metro=1,3,5,...∞metro2(((1−ν)Ametro+2Bmetro)aporrear⁡metroπya+(1−ν)Bmetrometroπyasinh⁡metroπya−νGRAMOmetro)pecado⁡metroπincógnitaa{\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}

carga de momento uniforme y simétrica

Para el caso especial en que la carga es simétrica y el momento es uniforme, tenemos eny=±b/2{\displaystyle y=\pm b/2},

METROyy=F1(incógnita)=4METRO0π∑metro=1∞12metro−1pecado⁡(2metro−1)πincógnitaa.{\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}
Desplazamiento (w{\displaystyle w})
Esfuerzo de flexión (σyy{\displaystyle \sigma _{yy}})
Esfuerzo cortante transversal (σyz{\displaystyle \sigma _{yz}})
Desplazamiento y tensiones en una placa rectangular sometida a un momento flector uniforme a lo largo de los bordes.y=−b/2{\displaystyle y=-b/2}yy=b/2{\displaystyle y=b/2}. La tensión de flexiónσyy{\displaystyle \sigma _{yy}}está a lo largo de la superficie inferior de la placa. La tensión cortante transversalσyz{\displaystyle \sigma _{yz}}está a lo largo de la superficie media de la placa.

El desplazamiento resultante es

w(incógnita,y)=2METRO0a2π3D∑metro=1∞1(2metro−1)3aporrear⁡αmetropecado⁡(2metro−1)πincógnitaa×  [αmetrotanh⁡αmetroaporrear⁡(2metro−1)πya−(2metro−1)πyasinh⁡(2metro−1)πya]{\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}

dónde

αmetro=π(2metro−1)b2a.{\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}

Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamientow{\displaystyle w}son

METROincógnitaincógnita=−D(∂2w∂incógnita2+ν∂2w∂y2)=2METRO0(1−ν)π∑metro=1∞1(2metro−1)aporrear⁡αmetro× pecado⁡(2metro−1)πincógnitaa× [−(2metro−1)πyasinh⁡(2metro−1)πya+{2ν1−ν+αmetrotanh⁡αmetro}aporrear⁡(2metro−1)πya]METROincógnitay=(1−ν)D∂2w∂incógnita∂y=−2METRO0(1−ν)π∑metro=1∞1(2metro−1)aporrear⁡αmetro× porque⁡(2metro−1)πincógnitaa× [(2metro−1)πyaaporrear⁡(2metro−1)πya+(1−αmetrotanh⁡αmetro)sinh⁡(2metro−1)πya]Qzincógnita=∂METROincógnitaincógnita∂incógnita−∂METROincógnitay∂y=4METRO0a∑metro=1∞1aporrear⁡αmetro× porque⁡(2metro−1)πincógnitaaaporrear⁡(2metro−1)πya.{\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}

Las tensiones son

σincógnitaincógnita=12zh3METROincógnitaincógnitayσzincógnita=1κhQzincógnita(1−4z2h2).{\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}

Doblado de placas cilíndricas

La flexión cilíndrica ocurre cuando una placa rectangular que tiene dimensionesa×b×h{\displaystyle a\times b\times h}, dóndea≪b{\displaystyle a\ll b}y el grosorh{\displaystyle h}Es pequeña y está sometida a una carga uniformemente distribuida perpendicular al plano de la placa. Dicha placa adopta la forma de la superficie de un cilindro.

Placa simplemente apoyada con extremos fijos axialmente

Para una placa simplemente apoyada sometida a flexión cilíndrica con bordes que pueden girar libremente pero tienen un punto fijo.incógnita1{\displaystyle x_{1}}Las soluciones para la flexión cilíndrica se pueden encontrar utilizando las técnicas de Navier y Levy.

Doblado de placas gruesas de Mindlin

Para placas gruesas, debemos considerar el efecto de los esfuerzos cortantes transversales sobre la orientación de la normal a la superficie media después de la deformación. La teoría de Raymond D. Mindlin proporciona un método para determinar la deformación y las tensiones en dichas placas. Las soluciones a la teoría de Mindlin pueden derivarse de las soluciones equivalentes de Kirchhoff-Love utilizando relaciones canónicas. [ 5 ]

Ecuaciones rectoras

La ecuación gobernante canónica para placas gruesas isotrópicas se puede expresar como [ 5 ].

∇2(METRO−B1+νq)=−qκGRAMOh(∇2w+METROD)=−(1−Bdo21+ν)q∇2(∂φ1∂incógnita2−∂φ2∂incógnita1)=do2(∂φ1∂incógnita2−∂φ2∂incógnita1){\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}

dóndeq{\displaystyle q}es la carga transversal aplicada,GRAMO{\displaystyle G}es el módulo de corte ,D=mih3/[12(1−ν2)]{\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]} es la rigidez a la flexión,h{\displaystyle h}es el espesor de la placa,do2=2κGRAMOh/[D(1−ν)]{\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}, κ{\displaystyle \kappa }es el factor de corrección de corte,mi{\displaystyle E}es el módulo de Young,ν{\displaystyle \nu }es el coeficiente de Poisson y

METRO=D[A(∂φ1∂incógnita1+∂φ2∂incógnita2)−(1−A)∇2w]+2q1−ν2B.{\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}

En la teoría de Mindlin,w{\displaystyle w}es el desplazamiento transversal de la superficie media de la placa y las cantidadesφ1{\displaystyle \varphi _{1}}yφ2{\displaystyle \varphi _{2}}son las rotaciones de la normal de la superficie media alrededor de laincógnita2{\displaystyle x_{2}}yincógnita1{\displaystyle x_{1}}ejes, respectivamente. Los parámetros canónicos para esta teoría sonA=1{\displaystyle {\mathcal {A}}=1}yB=0{\displaystyle {\mathcal {B}}=0}. El factor de corrección de corteκ{\displaystyle \kappa }suele tener el valor5/6{\displaystyle 5/6}.

Las soluciones a las ecuaciones gobernantes se pueden encontrar si se conocen las soluciones de Kirchhoff-Love correspondientes utilizando las relaciones

w=wK+METROKκGRAMOh(1−Bdo22)−Φ+Ψφ1=−∂wK∂incógnita1−1κGRAMOh(1−1A−Bdo22)Q1K+∂∂incógnita1(DκGRAMOhA∇2Φ+Φ−Ψ)+1do2∂Ω∂incógnita2φ2=−∂wK∂incógnita2−1κGRAMOh(1−1A−Bdo22)Q2K+∂∂incógnita2(DκGRAMOhA∇2Φ+Φ−Ψ)+1do2∂Ω∂incógnita1{\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}

dóndewK{\displaystyle w^{K}}es el desplazamiento previsto para una placa de Kirchhoff-Love,Φ{\displaystyle \Phi }es una función biarmónica tal que∇2∇2Φ=0{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0},Ψ{\displaystyle \Psi }es una función que satisface la ecuación de Laplace,∇2Ψ=0{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}, y

METRO=METROK+B1+νq+D∇2Φ ;  METROK:=−D∇2wKQ1K=−D∂∂incógnita1(∇2wK) ,  Q2K=−D∂∂incógnita2(∇2wK)Ω=∂φ1∂incógnita2−∂φ2∂incógnita1 ,  ∇2Ω=do2Ω.{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}

Placas rectangulares simplemente apoyadas

Para placas simplemente apoyadas, la suma de momentos de Marcus se anula, es decir,

METRO=11+ν(METRO11+METRO22)=D(∂φ1∂incógnita1+∂φ2∂incógnita2)=0.{\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}

Lo cual es casi la ecuación de Laplace para w[ref 6]. En ese caso, las funcionesΦ{\displaystyle \Phi },Ψ{\displaystyle \Psi },Ω{\displaystyle \Omega }desaparecen, y la solución de Mindlin está relacionada con la solución de Kirchhoff correspondiente mediante

w=wK+METROKκGRAMOh.{\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}

Flexión de placas en voladizo de Reissner-Stein

La teoría de Reissner-Stein para placas en voladizo [ 6 ] conduce a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas para una placa en voladizo con carga concentrada en el extremo.qincógnita(y){\displaystyle q_{x}(y)}enincógnita=a{\displaystyle x=a}.

bDd4wincógnitadincógnita4=0b3D12d4θincógnitadincógnita4−2bD(1−ν)d2θincógnitadincógnita2=0{\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}

y las condiciones de contorno enincógnita=a{\displaystyle x=a}son

bDd3wincógnitadincógnita3+qincógnita1=0,b3D12d3θincógnitadincógnita3−2bD(1−ν)dθincógnitadincógnita+qincógnita2=0bDd2wincógnitadincógnita2=0,b3D12d2θincógnitadincógnita2=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}

La solución de este sistema de dos EDO da como resultado:

wincógnita(incógnita)=qincógnita16bD(3aincógnita2−incógnita3)θincógnita(incógnita)=qincógnita22bD(1−ν)[incógnita−1νb(sinh⁡(νba)aporrear⁡[νb(incógnita−a)]+tanh⁡[νb(incógnita−a)])]{\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}

dóndeνb=24(1−ν)/b{\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}. Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento w=wincógnita+yθincógnita{\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}son

METROincógnitaincógnita=−D(∂2w∂incógnita2+ν∂2w∂y2)=qincógnita1(incógnita−ab)−[3yqincógnita2b3νbaporrear3⁡[νb(incógnita−a)]]×[6sinh⁡(νba)−sinh⁡[νb(2incógnita−a)]+sinh⁡[νb(2incógnita−3a)]+8sinh⁡[νb(incógnita−a)]]METROincógnitay=(1−ν)D∂2w∂incógnita∂y=qincógnita22b[1−2+aporrear⁡[νb(incógnita−2a)]−aporrear⁡[νbincógnita]2aporrear2⁡[νb(incógnita−a)]]Qzincógnita=∂METROincógnitaincógnita∂incógnita−∂METROincógnitay∂y=qincógnita1b−(3yqincógnita22b3aporrear4⁡[νb(incógnita−a)])×[32+aporrear⁡[νb(3incógnita−2a)]−aporrear⁡[νb(3incógnita−4a)]−16aporrear⁡[2νb(incógnita−a)]+23aporrear⁡[νb(incógnita−2a)]−23aporrear⁡(νbincógnita)].{\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}

Las tensiones son

σincógnitaincógnita=12zh3METROincógnitaincógnitayσzincógnita=1κhQzincógnita(1−4z2h2).{\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}

Si la carga aplicada en el borde es constante, recuperamos las soluciones para una viga sometida a una carga concentrada en el extremo. Si la carga aplicada es una función lineal dey{\displaystyle y}, entonces

qincógnita1=∫−b/2b/2q0(12−yb)dy=bq02 ;  qincógnita2=∫−b/2b/2yq0(12−yb)dy=−b2q012.{\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y láminas elásticas , CRC Press, Taylor and Francis.
  2. ↑ Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., (1959), Teoría de placas y cáscaras , McGraw-Hill Nueva York.
  3. ↑ Cook, RD et al., 2002, Conceptos y aplicaciones del análisis de elementos finitos , John Wiley & Sons
  4. ↑ Lévy, M., 1899, Cuentas rendidas , vol. 129, págs. 535-539
  5. 1 2 Lim, GT y Reddy, JN, 2003, Sobre relaciones de flexión canónicas para placas , International Journal of Solids and Structures, vol. 40, pp. 3039-3067.
  6. ↑ E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.