Teorema de Barbier

En geometría , el teorema de Barbier establece que toda curva de ancho constante tiene un perímetro π veces su ancho, independientemente de su forma precisa. ^{[ 1 ]} Este teorema fue publicado por primera vez por Joseph-Émile Barbier en 1860. ^{[ 2 ]}

Los ejemplos más conocidos de curvas de anchura constante son el círculo y el triángulo de Reuleaux . En un círculo, la anchura es igual al diámetro ; un círculo de anchura w tiene un perímetro de πw . Un triángulo de Reuleaux de anchura w consta de tres arcos de círculo de radio w . Cada uno de estos arcos tiene un ángulo central de π /3, por lo que el perímetro del triángulo de Reuleaux de anchura w es igual a la mitad del perímetro de un círculo de radio w y, por lo tanto, es igual a πw . Un análisis similar de otros ejemplos sencillos, como los polígonos de Reuleaux, da la misma respuesta.

Una demostración del teorema utiliza las propiedades de las sumas de Minkowski . Si K es un cuerpo de ancho constante w , entonces la suma de Minkowski de K y su rotación de 180° es un disco con radio w y perímetro 2πw . La suma de Minkowski actúa linealmente sobre los perímetros de los cuerpos convexos, por lo que el perímetro de K debe ser la mitad del perímetro de este disco, que es πw , como establece el teorema. ^{[ 3 ]}

Alternativamente, el teorema se deduce directamente de la fórmula de Crofton en geometría integral, según la cual la longitud de cualquier curva es igual a la medida del conjunto de rectas que la atraviesan, multiplicada por el número de cruces. Dos curvas cualesquiera que tengan el mismo ancho constante son atravesadas por conjuntos de rectas con la misma medida, y por lo tanto tienen la misma longitud. Históricamente, Crofton derivó su fórmula posteriormente y de forma independiente al teorema de Barbier. ^{[ 4 ]}

Una demostración probabilística elemental del teorema se puede encontrar en Buffon's noodle .

El análogo del teorema de Barbier para superficies de ancho constante es falso. En particular, la esfera unitaria tiene área superficial${\displaystyle 4\pi \approx 12.566}$, mientras que la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux con el mismo ancho constante tiene área superficial${\displaystyle 8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11.973}$. ^{[ 5 ]}

En cambio, el teorema de Barbier se generaliza a cuerpos de brillo constante , conjuntos convexos tridimensionales para los cuales toda proyección bidimensional tiene la misma área. Todos estos conjuntos tienen la misma área superficial que una esfera con la misma área proyectada.

Y en general, si${\displaystyle S}$es un subconjunto convexo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, para la cual cada proyección ( n −1)-dimensional tiene área de la bola unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$, entonces el área de superficie de${\displaystyle S}$es igual a la de la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Esto se deduce de la forma general de la fórmula de Crofton . ^{[ 6 ]}

• Teorema de Blaschke-Lebesgue y desigualdad isoperimétrica , que delimitan las áreas de curvas de ancho constante.