Difusión de salto afín básica

En la teoría de la probabilidad matemática , una difusión de salto afín básica (AJD básica) es un proceso estocástico Z de la forma

${\displaystyle dZ_{t}=\kappa (\theta -Z_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {Z_{t}}}\,dB_{t}+dJ_{t},\qquad t\geq 0,Z_{0}\geq 0,}$

donde es un movimiento browniano estándar y es un proceso de Poisson compuesto independiente con intensidad de salto constante y saltos independientes distribuidos exponencialmente con media . Para que el proceso esté bien definido, es necesario que y . Un AJD básico es un caso especial de un proceso afín y de una difusión de salto . Por otro lado, el proceso de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) es un caso especial de un AJD básico. ${\displaystyle B}$${\displaystyle J}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa \theta \geq 0}$${\displaystyle \mu \geq 0}$

Los AJD básicos son atractivos para modelar tiempos de incumplimiento en aplicaciones de riesgo crediticio , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ya que tanto la función generadora de momentos

${\displaystyle m\left(q\right)=\operatorname {E} \left(e^{q\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad q\in \mathbb {R} ,}$

y la función característica

${\displaystyle \varphi \left(u\right)=\operatorname {E} \left(e^{iu\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad u\in \mathbb {R} ,}$

se conocen en forma cerrada . ^{[ 3 ]}

La función característica permite calcular la densidad de un AJD básico integrado.

${\displaystyle \int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}$

mediante la inversión de Fourier , que se puede realizar de manera eficiente utilizando la FFT .