teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Debido a la importancia fundamental de la ecuación del momento flector en ingeniería, proporcionaremos una breve derivación. Cambiamos a coordenadas polares. La longitud del eje neutro en la figura es${\displaystyle \rho d\theta .}$La longitud de una fibra con una distancia radial${\displaystyle z}$debajo del eje neutro está${\displaystyle (\rho +z)d\theta .}$Por lo tanto, la tensión de esta fibra es

${\displaystyle {\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.}$

La tensión de esta fibra es${\displaystyle E{\dfrac {z}{\rho }}}$dónde${\displaystyle E}$es el módulo elástico de acuerdo con la ley de Hooke . El vector de fuerza diferencial,${\displaystyle d\mathbf {F} ,}$como resultado de este estrés, viene dado por

${\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .}$

Este es el vector de fuerza diferencial ejercido sobre el lado derecho de la sección que se muestra en la figura. Sabemos que está en el${\displaystyle \mathbf {e_{x}} }$dirección ya que la figura muestra claramente que las fibras en la mitad inferior están en tensión.${\displaystyle dA}$es el elemento diferencial de área en la ubicación de la fibra. El vector diferencial de momento flector,${\displaystyle d\mathbf {M} }$asociado con${\displaystyle d\mathbf {F} }$es dado por

${\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.}$

Esta expresión es válida para las fibras en la mitad inferior de la viga. La expresión para las fibras en la mitad superior de la viga será similar, excepto que el vector del brazo de momento estará en positivo.${\displaystyle z}$dirección y el vector de fuerza estará en la${\displaystyle -x}$dirección ya que las fibras superiores están en compresión. Pero el vector de momento flector resultante seguirá estando en la dirección${\displaystyle -y}$dirección desde${\displaystyle \mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .}$ Por lo tanto, integramos sobre toda la sección transversal de la viga y obtenemos para${\displaystyle \mathbf {M} }$el vector momento flector ejercido sobre la sección transversal derecha de la viga la expresión

${\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},}$

dónde${\displaystyle I}$es el segundo momento de área . Del cálculo, sabemos que cuando${\displaystyle {\dfrac {dw}{dx}}}$es pequeño, como lo es para una viga de Euler-Bernoulli, podemos hacer la aproximación${\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$, dónde${\displaystyle \rho }$es el radio de curvatura . Por lo tanto,

${\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

Esta ecuación vectorial se puede separar en la definición del vector unitario de flexión (${\displaystyle M}$está orientado como${\displaystyle \mathbf {e_{y}} }$), y en la ecuación de flexión:

${\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

En ausencia de una carga transversal,${\displaystyle q}$Tenemos la ecuación de vibración libre . Esta ecuación se puede resolver utilizando una descomposición de Fourier del desplazamiento en la suma de vibraciones armónicas de la forma

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}$

dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia de vibración. Entonces, para cada valor de frecuencia, podemos resolver una ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}$

La solución general de la ecuación anterior es

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta$ :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}

dónde${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$son constantes. Estas constantes son únicas para un conjunto dado de condiciones de contorno. Sin embargo, la solución para el desplazamiento no es única y depende de la frecuencia. Estas soluciones se escriben típicamente como

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}$

Las cantidades${\displaystyle \omega _{n}}$se denominan frecuencias naturales de la viga. Cada una de las soluciones de desplazamiento se denomina modo , y la forma de la curva de desplazamiento se denomina forma modal .

Ejemplo: Viga en voladizo

Las condiciones de contorno para una viga en voladizo de longitud${\displaystyle L}$(fijado en${\displaystyle x=0}$) son

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}$

Si aplicamos estas condiciones, se encuentra que existen soluciones no triviales solo si ${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.}$ Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son:${\displaystyle \beta _{1}L=0.596864\pi }$,${\displaystyle \beta _{2}L=1.49418\pi }$,${\displaystyle \beta _{3}L=2.50025\pi }$, y${\displaystyle \beta _{4}L=3.49999\pi }$.

Las frecuencias naturales de vibración correspondientes son

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Las condiciones de contorno también pueden utilizarse para determinar las formas modales a partir de la solución del desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]}$

La constante desconocida (en realidad constantes, ya que hay una para cada${\displaystyle n}$),${\displaystyle A_{1}}$, que en general es complejo, está determinado por las condiciones iniciales en${\displaystyle t=0}$sobre la velocidad y los desplazamientos del haz. Típicamente un valor de${\displaystyle A_{1}=1}$Se utiliza al trazar formas modales. Las soluciones al problema forzado sin amortiguación tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de excitación coincide con una frecuencia natural.${\displaystyle \omega _{n}}$, es decir, el haz puede resonar . Por lo tanto, las frecuencias naturales de un haz corresponden a las frecuencias en las que puede producirse la resonancia .

Ejemplo: viga libre-libre (sin soporte)

Una viga libre-libre es una viga sin ningún apoyo. ^{[ 7 ]} Las condiciones de contorno para una viga libre-libre de longitud${\displaystyle L}$extendiéndose desde${\displaystyle x=0}$a${\displaystyle x=L}$son dados por:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

Si aplicamos estas condiciones, se encuentra que existen soluciones no triviales solo si

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}$

Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son:${\displaystyle \beta _{1}L=1.50562\pi }$,${\displaystyle \beta _{2}L=2.49975\pi }$,${\displaystyle \beta _{3}L=3.50001\pi }$, y${\displaystyle \beta _{4}L=4.50000\pi }$.

Las frecuencias naturales de vibración correspondientes son:

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

Las condiciones de contorno también pueden utilizarse para determinar las formas modales a partir de la solución del desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

Al igual que con la viga en voladizo, las constantes desconocidas se determinan mediante las condiciones iniciales en${\displaystyle t=0}$sobre la velocidad y los desplazamientos de la viga. Además, las soluciones al problema de fuerza no amortiguada tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de excitación coincide con una frecuencia natural.${\displaystyle \omega _{n}}$.

Para secciones transversales de vigas simétricas respecto a un plano perpendicular al plano neutro, se puede demostrar que la tensión de tracción experimentada por la viga se puede expresar como:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,}$

Aquí,${\displaystyle z}$es la distancia desde el eje neutro hasta un punto de interés; y${\displaystyle M}$es el momento flector. Nótese que esta ecuación implica que la flexión pura (de signo positivo) producirá una tensión nula en el eje neutro, una tensión positiva (de tracción) en la parte superior de la viga y una tensión negativa (de compresión) en la parte inferior; también implica que la tensión máxima se encontrará en la superficie superior y la mínima en la inferior. Esta tensión de flexión puede superponerse con tensiones axiales aplicadas, lo que provocará un desplazamiento del eje neutro (de tensión nula).

La tensión máxima de tracción en una sección transversal se encuentra en la ubicación${\displaystyle z=c_{1}}$y la tensión de compresión máxima se encuentra en la ubicación${\displaystyle z=-c_{2}}$donde la altura de la sección transversal es${\displaystyle h=c_{1}+c_{2}}$Estas tensiones son

${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}$

Las cantidades${\displaystyle S_{1},S_{2}}$son los módulos de sección ^{[ 6 ]} y se definen como

${\displaystyle S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}}$

El módulo de sección combina toda la información geométrica importante sobre la sección de una viga en una sola magnitud. Para el caso en que una viga es doblemente simétrica,${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$y tenemos un módulo de sección${\displaystyle S=I/c}$.

Necesitamos una expresión para la deformación en términos de la deflexión de la superficie neutra para relacionar las tensiones en una viga de Euler-Bernoulli con la deflexión. Para obtener esa expresión, utilizamos la suposición de que las normales a la superficie neutra permanecen normales durante la deformación y que las deflexiones son pequeñas. Estas suposiciones implican que la viga se dobla formando un arco de círculo de radio${\displaystyle \rho }$(véase la Figura 1) y que la superficie neutra no cambia de longitud durante la deformación. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle \mathrm {d} x}$sea ​​la longitud de un elemento de la superficie neutra en estado no deformado. Para pequeñas deflexiones, el elemento no cambia su longitud después de doblarse, sino que se deforma en un arco de círculo de radio${\displaystyle \rho }$. Si${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$es el ángulo subtendido por este arco, entonces${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$.

Consideremos ahora otro segmento del elemento a una distancia${\displaystyle z}$por encima de la superficie neutra. La longitud inicial de este elemento es${\displaystyle \mathrm {d} x}$Sin embargo, después de doblarse, la longitud del elemento se convierte en${\displaystyle \mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta }$La deformación en ese segmento de la viga viene dada por

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es la curvatura de la viga. Esto nos da la deformación axial en la viga en función de la distancia a la superficie neutra. Sin embargo, todavía necesitamos encontrar una relación entre el radio de curvatura y la deflexión de la viga.${\displaystyle w}$.

Sea P un punto en la superficie neutra del haz a una distancia${\displaystyle x}$desde el origen del${\displaystyle (x,z)}$sistema de coordenadas. La pendiente del haz es aproximadamente igual al ángulo formado por la superficie neutra con el${\displaystyle x}$eje para los ángulos pequeños que se encuentran en la teoría de vigas. Por lo tanto, con esta aproximación,

${\displaystyle \theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}}$

Por lo tanto, para un elemento infinitesimal${\displaystyle \mathrm {d} x}$, la relación${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$se puede escribir como

${\displaystyle {\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa }$

El comportamiento de deflexión estándar para vigas simplemente apoyadas bajo cargas uniformemente distribuidas se puede visualizar utilizando diagramas de cortante y momento bien conocidos y ecuaciones elásticas de forma cerrada. ^{[ 9 ]}

Por lo tanto, la deformación en la viga puede expresarse como

${\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }$

Para un material elástico lineal homogéneo e isotrópico , la tensión está relacionada con la deformación mediante${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$, dónde${\displaystyle E}$es el módulo de Young . Por lo tanto, la tensión en una viga de Euler-Bernoulli viene dada por

${\displaystyle \sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Nótese que la relación anterior, al compararla con la relación entre la tensión axial y el momento flector, conduce a:

${\displaystyle M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Dado que la fuerza cortante viene dada por${\displaystyle Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x}$, también tenemos

${\displaystyle Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

El ensayo de flexión de tres puntos es un experimento clásico en mecánica. Representa el caso de una viga apoyada sobre dos soportes de rodillo y sometida a una carga concentrada aplicada en el centro de la viga. El esfuerzo cortante es constante en valor absoluto: es la mitad de la carga central, P / 2. Cambia de signo en el centro de la viga. El momento flector varía linealmente desde un extremo, donde es 0, y el centro donde su valor absoluto es PL / 4, es donde el riesgo de rotura es más importante. La deformación de la viga se describe mediante un polinomio de tercer grado sobre la mitad de la viga (la otra mitad es simétrica). Los momentos flectores (${\displaystyle M}$), fuerzas cortantes (${\displaystyle Q}$), y deflexiones (${\displaystyle w}$) para una viga sometida a una carga puntual central y una carga puntual asimétrica se dan en la tabla siguiente. ^{[ 6 ]}

Otra clase importante de problemas involucra vigas en voladizo . Los momentos flectores (${\displaystyle M}$), fuerzas cortantes (${\displaystyle Q}$), y deflexiones (${\displaystyle w}$) para una viga en voladizo sometida a una carga puntual en el extremo libre y a una carga uniformemente distribuida se dan en la tabla siguiente. ^{[ 6 ]}

En los libros de texto sobre mecánica de materiales y en los manuales de ingeniería se pueden encontrar fácilmente soluciones para otras configuraciones comunes.

Los momentos flectores y las fuerzas cortantes en vigas de Euler-Bernoulli a menudo se pueden determinar directamente mediante el equilibrio estático de fuerzas y momentos . Sin embargo, para ciertas condiciones de contorno, el número de reacciones puede exceder el número de ecuaciones de equilibrio independientes. ^{[ 6 ]} Dichas vigas se denominan estáticamente indeterminadas .

Las vigas integradas que se muestran en la figura siguiente son estáticamente indeterminadas. Para determinar las tensiones y deflexiones de dichas vigas, el método más directo consiste en resolver la ecuación de Euler-Bernoulli con las condiciones de contorno adecuadas. Sin embargo, las soluciones analíticas directas de la ecuación de la viga solo son posibles para los casos más sencillos. Por lo tanto, a menudo se utilizan técnicas adicionales, como la superposición lineal, para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas.

El método de superposición consiste en sumar las soluciones de varios problemas estáticamente determinados, elegidos de tal manera que las condiciones de contorno para la suma de los problemas individuales coincidan con las del problema original.

Otro problema común de vigas estáticamente indeterminadas es la viga en voladizo con el extremo libre apoyado sobre un rodillo. ^{[ 6 ]} Los momentos flectores, las fuerzas cortantes y las deflexiones de dicha viga se enumeran a continuación:

La teoría original de Euler-Bernoulli solo es válida para deformaciones infinitesimales y rotaciones pequeñas. La teoría puede extenderse de manera sencilla a problemas que involucran rotaciones moderadamente grandes, siempre que la deformación permanezca pequeña, utilizando las deformaciones de von Kármán . ^{[ 10 ]}

Las hipótesis de Euler-Bernoulli de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje de la viga conducen a desplazamientos de la forma

${\displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}$

Utilizando la definición de la deformación de Green lagrangiana de la teoría de deformación finita , podemos encontrar las deformaciones de von Kármán para la viga que son válidas para grandes rotaciones pero pequeñas deformaciones descartando todos los términos de orden superior (que contienen más de dos campos) excepto ${\displaystyle {\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.}$ Las cepas resultantes adoptan la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}}$

A partir del principio del trabajo virtual , el equilibrio de fuerzas y momentos en las vigas nos da las ecuaciones de equilibrio.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle f(x)}$es la carga axial,${\displaystyle q(x)}$es la carga transversal, y

${\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A}$

Para cerrar el sistema de ecuaciones necesitamos las ecuaciones constitutivas que relacionan las tensiones con las deformaciones (y por lo tanto las tensiones con los desplazamientos). Para grandes rotaciones y pequeñas deformaciones, estas relaciones son:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.}$

La cantidad${\displaystyle A_{xx}}$es la rigidez extensional ,${\displaystyle B_{xx}}$es la rigidez de flexión-extensión acoplada y${\displaystyle D_{xx}}$es la rigidez a la flexión .

Para la situación en la que la viga tiene una sección transversal uniforme y no tiene carga axial, la ecuación que rige el comportamiento de una viga de Euler-Bernoulli de gran rotación es:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q(x)}$