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Teorema de Bell

El teorema de Bell es un término que engloba varios resultados estrechamente relacionados en física , los cuales determinan que la mecánica cuántica es incompatible con las teor...

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El teorema de Bell es un término que engloba varios resultados estrechamente relacionados en física , los cuales determinan que la mecánica cuántica es incompatible con las teorías de variables ocultas locales , bajo ciertas suposiciones básicas sobre la naturaleza de la medición. El primero de estos resultados fue presentado por John Stewart Bell en 1964, basándose en la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen , que había llamado la atención sobre el fenómeno del entrelazamiento cuántico .

En el contexto del teorema de Bell, «local» se refiere al principio de localidad , la idea de que una partícula solo puede ser influenciada por su entorno inmediato, y que las interacciones mediadas por campos físicos no pueden propagarse más rápido que la velocidad de la luz . Las « variables ocultas » son supuestas propiedades de las partículas cuánticas que no están incluidas en la teoría cuántica, pero que, sin embargo, afectan el resultado de los experimentos. En palabras de Bell: «Si [una teoría de variables ocultas] es local, no concordará con la mecánica cuántica, y si concuerda con la mecánica cuántica, no será local». [ 1 ]

En su artículo original, Bell analizó mediciones independientes de dos partículas separadas espacialmente de un par entrelazado. [ 2 ] Supuso que cada resultado está determinado por variables ocultas locales. Bajo esta suposición, las correlaciones entre los resultados deben obedecer una restricción matemática específica. Dicha restricción se denominaría más tarde desigualdad de Bell . Bell demostró entonces que la física cuántica predice correlaciones que violan esta desigualdad . En los años posteriores a su artículo original, se propusieron múltiples variaciones del teorema de Bell, utilizando diferentes supuestos y obteniendo diferentes desigualdades de Bell (o de tipo Bell).

El primer experimento de laboratorio que observó una violación de la desigualdad de Bell fue realizado por John Clauser y Stuart Freedman , quienes publicaron sus resultados en 1970. [ 3 ] Desde entonces, se han realizado numerosos experimentos más avanzados, conocidos colectivamente como pruebas de Bell . A menudo, estos experimentos han tenido como objetivo "cerrar lagunas", es decir, mitigar problemas de diseño o configuración experimental que, en principio, podrían afectar la validez de los hallazgos de pruebas de Bell anteriores. Las pruebas de Bell han demostrado consistentemente que los sistemas físicos obedecen la mecánica cuántica y violan las desigualdades de Bell; es decir, que los resultados de estos experimentos son incompatibles con las teorías de variables ocultas locales. [ 4 ] [ 5 ]

La naturaleza exacta de los supuestos necesarios para demostrar una restricción de tipo Bell sobre las correlaciones ha sido objeto de debate entre físicos y filósofos . Si bien la importancia del teorema de Bell es indiscutible, las distintas interpretaciones de la mecánica cuántica discrepan sobre lo que implica exactamente.

Teorema

Existen muchas variaciones de la idea básica, algunas con supuestos matemáticos más rigurosos que otras. [ 6 ] Es importante destacar que los teoremas de tipo Bell no se refieren a ninguna teoría particular de variables ocultas locales, sino que demuestran que la física cuántica viola supuestos generales subyacentes a las descripciones clásicas de la naturaleza. El teorema original demostrado por Bell en 1964 no es el más susceptible de experimentación, por lo que resulta conveniente introducir el género de desigualdades de tipo Bell con un ejemplo posterior. [ 7 ]

Los personajes hipotéticos Alice y Bob se encuentran en lugares muy distantes entre sí. Su colega Victor prepara un par de partículas y envía una a Alice y la otra a Bob. Cuando Alice recibe su partícula, elige realizar una de dos posibles mediciones (quizás lanzando una moneda para decidir cuál). Denotemos estas mediciones porA0{\displaystyle A_{0}}yA1{\displaystyle A_{1}}. AmbosA0{\displaystyle A_{0}}yA1{\displaystyle A_{1}}son mediciones binarias : el resultado deA0{\displaystyle A_{0}}es o+1{\displaystyle +1}o−1{\displaystyle -1}y asimismo paraA1{\displaystyle A_{1}}Cuando Bob recibe su partícula, elige una de dos mediciones,B0{\displaystyle B_{0}}yB1{\displaystyle B_{1}}, que también son ambos binarios.

Supongamos que cada medición revela una propiedad que la partícula ya poseía. Por ejemplo, si Alice elige medirA0{\displaystyle A_{0}}y obtiene el resultado+1{\displaystyle +1}, entonces la partícula que recibió tenía un valor de+1{\displaystyle +1}para una propiedada0{\displaystyle a_{0}}. [ nota 1 ] Considere la combinacióna0b0+a0b1+a1b0−a1b1=(a0+a1)b0+(a0−a1)b1.{\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.}Porque ambosa0{\displaystyle a_{0}}ya1{\displaystyle a_{1}}tomar los valores±1{\displaystyle \pm 1}, entonces oa0=a1{\displaystyle a_{0}=a_{1}}oa0=−a1{\displaystyle a_{0}=-a_{1}}. En el primer caso, la cantidad(a0−a1)b1{\displaystyle (a_{0}-a_{1})b_{1}}debe ser igual a 0, mientras que en el último caso,(a0+a1)b0=0{\displaystyle (a_{0}+a_{1})b_{0}=0}. Por lo tanto, uno de los términos del lado derecho de la expresión anterior desaparecerá y el otro será igual a±2{\displaystyle \pm 2}. En consecuencia, si el experimento se repite durante muchos ensayos, con Victor preparando nuevos pares de partículas, el valor absoluto del promedio de la combinacióna0b0+a0b1+a1b0−a1b1{\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}}En todos los ensayos será menor o igual a 2. Ningún ensayo individual puede medir esta cantidad, porque Alice y Bob solo pueden elegir una medición cada uno, pero bajo el supuesto de que existen las propiedades subyacentes, el valor promedio de la suma es simplemente la suma de los promedios para cada término. Usando corchetes angulares para denotar promedios|⟨A0B0⟩+⟨A0B1⟩+⟨A1B0⟩−⟨A1B1⟩|≤2.{\displaystyle |\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle |\leq 2\,.} Esta es una desigualdad de Bell, específicamente, la desigualdad CHSH . [ 7 ] : 115 Su derivación aquí depende de dos supuestos: primero, que las propiedades físicas subyacentesa0,a1,b0,{\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},}yb1{\displaystyle b_{1}}existen independientemente de ser observados o medidos (a veces llamado supuesto de realismo ); y segundo, que la elección de acción de Alice no puede influir en el resultado de Bob ni viceversa (a menudo llamado supuesto de localidad ). [ 7 ] : 117

La mecánica cuántica puede violar la desigualdad CHSH, como sigue. Victor prepara un par de cúbits que describe mediante el estado de Bell.|ψ⟩=|0⟩⊗|1⟩−|1⟩⊗|0⟩2,{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},} dónde|0⟩{\displaystyle |0\rangle }y|1⟩{\displaystyle |1\rangle }son los autoestados de una de las matrices de Pauli ,σz=(100−1).{\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.} Victor luego le pasa el primer cúbit a Alice y el segundo a Bob. Las opciones de Alice y Bob sobre las posibles mediciones también se definen en términos de las matrices de Pauli. Alice mide cualquiera de las dos observables.σz{\displaystyle \sigma _{z}}yσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}:A0=σz, A1=σincógnita=(0110);{\displaystyle A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};} y Bob mide cualquiera de las dos observablesB0=−σincógnita+σz2, B1=σincógnita−σz2.{\displaystyle B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.} Victor puede calcular los valores esperados cuánticos para pares de estas observables utilizando la regla de Born :⟨A0⊗B0⟩=12,⟨A0⊗B1⟩=12,⟨A1⊗B0⟩=12,⟨A1⊗B1⟩=−12.{\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.} Si bien solo se puede realizar una de estas cuatro mediciones en un solo ensayo del experimento, la suma⟨A0⊗B0⟩+⟨A0⊗B1⟩+⟨A1⊗B0⟩−⟨A1⊗B1⟩=22{\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}} da la suma de los valores promedio que Victor espera encontrar en múltiples ensayos. Este valor excede el límite superior clásico de 2 que se dedujo de la hipótesis de variables ocultas locales. [ 7 ] : 116 El valor22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}es, de hecho, el mayor que permite la física cuántica para esta combinación de valores esperados, lo que lo convierte en una cota de Tsirelson . [ 10 ] : 140

Un ejemplo del juego CHSH: el árbitro, Victor, envía una pieza a Alice y otra a Bob, y Alice y Bob le devuelven una pieza al árbitro.

La desigualdad CHSH también puede pensarse como un juego en el que Alice y Bob intentan coordinar sus acciones . [ 11 ] [ 12 ] Victor prepara dos bits,incógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}, de forma independiente y aleatoria. Él envía un bitincógnita{\displaystyle x}a Alicia y un pocoy{\displaystyle y}a Bob. Alice y Bob ganan si devuelven las respuestas.a{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}a Víctor, satisfaciendo incógnitay=a+bmod2.{\displaystyle xy=a+b\mod 2\,.} O, equivalentemente, Alice y Bob ganan si la operación lógica AND deincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}es la XOR lógica dea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}Alice y Bob pueden acordar cualquier estrategia que deseen antes del juego, pero no pueden comunicarse una vez que comienza el juego. En cualquier teoría basada en variables ocultas locales, la probabilidad de que Alice y Bob ganen no es mayor que3/4{\displaystyle 3/4}, independientemente de la estrategia que hayan acordado de antemano. Sin embargo, si comparten un estado cuántico entrelazado, su probabilidad de ganar puede ser tan grande como2+24≈0,85.{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,.}

Bell (1964)

El artículo de Bell de 1964 muestra que un modelo local muy simple de variables ocultas puede, en circunstancias restringidas, reproducir las predicciones de la mecánica cuántica, pero luego demuestra que, en general, tales modelos dan predicciones diferentes. [ 2 ] [ 13 ] : 806 Bell considera un refinamiento de David Bohm del experimento mental de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR). En este escenario, un par de partículas se forman juntas de tal manera que se describen mediante un estado singlete de espín (que es un ejemplo de un estado entrelazado). Luego, las partículas se separan en direcciones opuestas. Cada partícula es medida por un dispositivo Stern-Gerlach , un instrumento de medición que puede orientarse en diferentes direcciones y que informa uno de dos posibles resultados, representables por+1{\displaystyle +1}y−1{\displaystyle -1}La configuración de cada instrumento de medición está representada por un vector unitario y la predicción cuántico-mecánica para la correlación entre dos detectores con configuracionesa→{\displaystyle {\vec {a}}}yb→{\displaystyle {\vec {b}}}es PAG(a→,b→)=−a→⋅b→.{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.} En particular, si la orientación de los dos detectores es la misma (a→=b→{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}), entonces el resultado de una medición seguramente será el negativo del resultado de la otra, dandoPAG(a→,a→)=−1{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}. Y si las orientaciones de los dos detectores son ortogonales (a→⋅b→=0{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}), entonces los resultados no están correlacionados yPAG(a→,b→)=0{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}Bell demuestra mediante un ejemplo que estos casos especiales pueden explicarse en términos de variables ocultas, y luego procede a demostrar que no se puede explicar todo el rango de posibilidades que involucran ángulos intermedios .

Bell postuló que un modelo local de variables ocultas para estas correlaciones las explicaría en términos de una integral sobre los posibles valores de algún parámetro oculto.λ{\displaystyle \lambda }:PAG(a→,b→)=∫dλρ(λ)A(a→,λ)B(b→,λ),{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),} dóndeρ(λ){\displaystyle \rho (\lambda )}es una función de densidad de probabilidad . Las dos funcionesA(a→,λ){\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}yB(b→,λ){\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}Proporcionar las respuestas de los dos detectores dados los vectores de orientación y la variable oculta:A(a→,λ)=±1,B(b→,λ)=±1.{\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.} Fundamentalmente, el resultado del detectorA{\displaystyle A}no depende deb→{\displaystyle {\vec {b}}}y asimismo el resultado deB{\displaystyle B}no depende dea→{\displaystyle {\vec {a}}}, porque los dos detectores están físicamente separados. Ahora suponemos que el experimentador tiene la opción de elegir la configuración del segundo detector: se puede configurar de cualquiera de las siguientes maneras:b→{\displaystyle {\vec {b}}}o parado→{\displaystyle {\vec {c}}}. Partiendo de la suposición de que A(a→,λ)=−B(a→,λ){\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=-B({\vec {a}},\lambda )}, es decir, se observan anticorrelaciones perfectas para el mismo escenario, Bell demuestra que|PAG(a→,b→)−PAG(a→,do→)|≤1+PAG(b→,do→).{\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).} Sin embargo, es fácil encontrar situaciones en las que la mecánica cuántica viola la desigualdad de Bell al tiempo que exhibe anticorrelaciones perfectas. [ 14 ] : 425–426 Por ejemplo, sean los vectoresa→{\displaystyle {\vec {a}}}yb→{\displaystyle {\vec {b}}}ser ortogonales, y seado→{\displaystyle {\vec {c}}}yace en su plano formando un ángulo de 45° con ambos.PAG(a→,b→)=0,{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,} mientras PAG(a→,do→)=PAG(b→,do→)=−22,{\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},} pero 22≰1−22.{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.} Por lo tanto, no existe un modelo local de variables ocultas que pueda reproducir las predicciones de la mecánica cuántica para todas las elecciones dea→{\displaystyle {\vec {a}}},b→{\displaystyle {\vec {b}}}, ydo→.{\displaystyle {\vec {c}}.}Los resultados experimentales contradicen las curvas clásicas y coinciden con la curva predicha por la mecánica cuántica siempre que se tengan en cuenta las deficiencias experimentales. [ 6 ]

El teorema de Bell de 1964 requiere la posibilidad de anticorrelaciones perfectas: la capacidad de hacer una predicción completamente cierta sobre el resultado del segundo detector, conociendo el resultado del primero. [ 6 ] El teorema se basa en el "criterio EPR de realidad", un concepto introducido en el artículo de 1935 de Einstein, Podolsky y Rosen. Este artículo postula: "Si, sin perturbar de ninguna manera un sistema, podemos predecir con certeza (es decir, con probabilidad igual a la unidad) el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad correspondiente a esa cantidad". [ 15 ] Bell señaló que esto se aplica cuando los dos detectores están orientados en la misma dirección (a→=b→{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}), y por lo tanto el criterio EPR implicaría que algún elemento de la realidad debe predeterminar el resultado de la medición. Dado que la descripción cuántica de una partícula no incluye ningún elemento de este tipo, la descripción cuántica tendría que ser incompleta. En otras palabras, el artículo de Bell de 1964 muestra que, asumiendo localidad, el criterio EPR implica variables ocultas y luego demuestra que las variables ocultas locales son incompatibles con la mecánica cuántica. [ 16 ] [ 17 ] Dado que los experimentos no pueden lograr correlaciones o anticorrelaciones perfectas en la práctica, en su lugar se prueban desigualdades de tipo Bell basadas en derivaciones que relajan esta suposición. [ 6 ]

GHZ–Mermin (1990)

Daniel Greenberger , Michael A. Horne y Anton Zeilinger presentaron un experimento mental de cuatro partículas en 1990, que David Mermin luego simplificó para usar solo tres partículas. [ 18 ] [ 19 ] En este experimento mental, Victor genera un conjunto de tres partículas de espín 1/2 descritas por el estado cuántico|ψ⟩=12(|000⟩−|111⟩),{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,} donde como se indicó anteriormente,|0⟩{\displaystyle |0\rangle }y|1⟩{\displaystyle |1\rangle }son los autovectores de la matriz de Pauliσz{\displaystyle \sigma _{z}}. Victor luego envía una partícula a cada uno de Alice, Bob y Charlie, quienes esperan en lugares muy separados. Alice mide oσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}oσy{\displaystyle \sigma _{y}}en su partícula, y también Bob y Charlie. El resultado de cada medición es o+1{\displaystyle +1}o−1{\displaystyle -1}Aplicando la regla de Born al estado de tres cúbits|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }, Victor predice que siempre que las tres mediciones incluyan unaσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}y dosσy{\displaystyle \sigma _{y}}'s, el producto de los resultados siempre será+1{\displaystyle +1}Esto se deduce de que|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }es un vector propio deσincógnita⊗σy⊗σy{\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}con valor propio+1{\displaystyle +1}y asimismo paraσy⊗σincógnita⊗σy{\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}yσy⊗σy⊗σincógnita{\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}. Por lo tanto, conociendo el resultado de Alice para unσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}medición y el resultado de Bob para unaσy{\displaystyle \sigma _{y}}Con una medición, Victor puede predecir con probabilidad 1 qué resultado devolverá Charlie.σy{\displaystyle \sigma _{y}}medición. Según el criterio de realidad de la EPR, habría un "elemento de realidad" correspondiente al resultado de unaσy{\displaystyle \sigma _{y}}medición sobre el cúbit de Charlie. De hecho, esta misma lógica se aplica a ambas mediciones y a los tres cúbits. Según el criterio de realidad EPR, entonces, cada partícula contiene un "conjunto de instrucciones" que determina el resultado de unaσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}oσy{\displaystyle \sigma _{y}}medición sobre él. El conjunto de las tres partículas quedaría entonces descrito por el conjunto de instrucciones.(aincógnita,ay,bincógnita,by,doincógnita,doy),{\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,} con cada entrada siendo o−1{\displaystyle -1}o+1{\displaystyle +1}y cada unoσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}oσy{\displaystyle \sigma _{y}}La medición simplemente devuelve el valor apropiado.

Si Alice, Bob y Charlie realizan elσincógnita{\displaystyle \sigma _{x}}medición, entonces el producto de sus resultados seríaaincógnitabincógnitadoincógnita{\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}Este valor se puede deducir de(aincógnitabydoy)(aybincógnitadoy)(aybydoincógnita)=aincógnitabincógnitadoincógnitaay2by2doy2=aincógnitabincógnitadoincógnita,{\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,} porque el cuadrado de cualquiera−1{\displaystyle -1}o+1{\displaystyle +1}es1{\displaystyle 1}Cada factor entre paréntesis es igual a+1{\displaystyle +1}, entoncesaincógnitabincógnitadoincógnita=+1,{\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,} y el producto de los resultados de Alice, Bob y Charlie será+1{\displaystyle +1}con probabilidad unitaria. Pero esto es inconsistente con la física cuántica: Victor puede predecir usando el estado|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }que la mediciónσincógnita⊗σincógnita⊗σincógnita{\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}en cambio, dará lugar a−1{\displaystyle -1}con probabilidad unitaria.

Este experimento mental también puede reformularse como una desigualdad de Bell tradicional o, equivalentemente, como un juego no local en el mismo espíritu que el juego CHSH. [ 20 ] En él, Alice, Bob y Charlie reciben bitsincógnita,y,z{\displaystyle x,y,z}de Víctor, prometió tener siempre un número par de unos, es decir,incógnita⊕y⊕z=0{\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}y enviarle trozos de vueltaa,b,do{\displaystyle a,b,c}Ganan el juego sia,b,do{\displaystyle a,b,c}tener un número impar de unos para todas las entradas exceptoincógnita=y=z=0{\displaystyle x=y=z=0}, cuando necesitan tener un número par de unos. Es decir, ganan el juego si y solo sia⊕b⊕do=incógnita∨y∨z{\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}Con variables ocultas locales, la probabilidad máxima de victoria que pueden tener es de 3/4, mientras que utilizando la estrategia cuántica anterior ganan con certeza. Este es un ejemplo de pseudotelepatía cuántica .

Teorema de Kochen-Specker (1967)

En teoría cuántica, las bases ortonormales para un espacio de Hilbert representan mediciones que se pueden realizar sobre un sistema que posee ese espacio de Hilbert. Cada vector en una base representa un posible resultado de esa medición. [ nota 2 ] Supongamos que una variable ocultaλ{\displaystyle \lambda }existe, de modo que conocer el valor deλ{\displaystyle \lambda }implicaría certeza sobre el resultado de cualquier medición. Dado un valor deλ{\displaystyle \lambda }Cada resultado de medición —es decir, cada vector en el espacio de Hilbert— es imposible o está garantizado. Una configuración de Kochen-Specker es un conjunto finito de vectores formado por múltiples bases interconectadas, con la propiedad de que un vector en ella siempre será imposible cuando se considere que pertenece a una base y garantizado cuando se considere que pertenece a otra. En otras palabras, una configuración de Kochen-Specker es un "conjunto no coloreable" que demuestra la inconsistencia de asumir una variable oculta.λ{\displaystyle \lambda }puede controlar los resultados de la medición. [ 25 ] : 196–201

Teorema del libre albedrío

El argumento de tipo Kochen-Specker, que utiliza configuraciones de bases entrelazadas, puede combinarse con la idea de medir pares entrelazados que subyace a las desigualdades de tipo Bell. Esto fue observado a partir de la década de 1970 por Kochen, [ 26 ] Heywood y Redhead, [ 27 ] Stairs, [ 28 ] y Brown y Svetlichny. [ 29 ] Como señaló EPR, obtener un resultado de medición en una mitad de un par entrelazado implica certeza sobre el resultado de una medición correspondiente en la otra mitad. El "criterio de realidad EPR" postula que, dado que la segunda mitad del par no fue perturbada, esa certeza debe deberse a una propiedad física que le pertenece. [ 30 ] En otras palabras, según este criterio, una variable ocultaλ{\displaystyle \lambda }Debe existir dentro de la segunda mitad del par, aún no medida. No surge ninguna contradicción si solo se considera una medición de la primera mitad. Sin embargo, si el observador tiene la opción de elegir entre múltiples mediciones posibles, y los vectores que definen dichas mediciones forman una configuración de Kochen-Specker, entonces algún resultado en la segunda mitad será simultáneamente imposible y garantizado.

Este tipo de argumento cobró relevancia cuando John Conway y Simon Kochen presentaron una instancia del mismo bajo el nombre de teorema del libre albedrío . [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] El teorema de Conway-Kochen utiliza un par de qutrits entrelazados y una configuración de Kochen-Specker descubierta por Asher Peres . [ 34 ]

Entrelazamiento cuasiclásico

Como señaló Bell, algunas predicciones de la mecánica cuántica pueden replicarse en modelos locales de variables ocultas, incluyendo casos especiales de correlaciones producidas por el entrelazamiento. Este tema se ha estudiado sistemáticamente en los años posteriores al teorema de Bell. En 1989, Reinhard Werner introdujo lo que ahora se denomina estados de Werner , estados cuánticos conjuntos para un par de sistemas que producen correlaciones de tipo EPR pero que también admiten un modelo de variables ocultas. [ 35 ] Los estados de Werner son estados cuánticos bipartitos que son invariantes bajo unitarios de forma de producto tensorial simétrico :ρAB=(U⊗U)ρAB(U†⊗U†).{\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).} En 2004, Robert Spekkens introdujo un modelo simplificado que parte de la premisa de grados de libertad locales y discretizados, e impone un "principio de equilibrio del conocimiento" que restringe la cantidad de información que un observador puede obtener sobre dichos grados de libertad, convirtiéndolos así en variables ocultas. Los estados de conocimiento permitidos ("estados epistémicos") sobre las variables subyacentes ("estados ónticos") imitan algunas características de los estados cuánticos. Las correlaciones en este modelo simplificado pueden emular algunos aspectos del entrelazamiento, como la monogamia , pero, por construcción, el modelo nunca puede violar una desigualdad de Bell. [ 36 ] [ 37 ]

Historia

Fondo

La cuestión de si la mecánica cuántica puede "completarse" mediante variables ocultas se remonta a los primeros años de la teoría cuántica. En su libro de texto de mecánica cuántica de 1932 , el polímata de origen húngaro John von Neumann presentó lo que afirmaba ser una prueba de que no podía haber "parámetros ocultos". La validez y la certeza de la prueba de von Neumann fueron cuestionadas por Hans Reichenbach , con mayor detalle por Grete Hermann , y posiblemente en una conversación, aunque no por escrito, por Albert Einstein. [ nota 3 ] ( Simon Kochen y Ernst Specker rechazaron la premisa clave de von Neumann ya en 1961, pero no publicaron una crítica al respecto hasta 1967. [ 43 ] )

Einstein sostuvo persistentemente que la mecánica cuántica no podía ser una teoría completa. Su argumento preferido se basaba en un principio de localidad:

Consideremos un sistema mecánico constituido por dos subsistemas A y B que interactúan entre sí solo durante un tiempo limitado. Sea dada la función ψ antes de su interacción. Entonces, la ecuación de Schrödinger proporcionará la función ψ después de que haya tenido lugar su interacción. Determinemos ahora el estado físico del subsistema A de la forma más completa posible mediante mediciones. La mecánica cuántica nos permite entonces determinar la función ψ del subsistema B a partir de las mediciones realizadas, y a partir de la función ψ del sistema total. Sin embargo, esta determinación da un resultado que depende de cuál de las magnitudes determinantes que especifican el estado de A se haya medido (por ejemplo, coordenadas o momentos). Dado que solo puede haber un estado físico de B después de la interacción, y que razonablemente no puede considerarse dependiente de la medición particular que realizamos en el sistema A separado de B, se puede concluir que la función ψ no está inequívocamente coordinada con el estado físico. Esta coordinación de varias funciones ψ con la misma condición física del sistema B muestra nuevamente que la función ψ no puede interpretarse como una descripción (completa) de una condición física de un sistema unitario. [ 44 ]

El experimento mental EPR es similar, ya que también considera dos sistemas separados A y B descritos por una función de onda conjunta. Sin embargo, el artículo EPR añade la idea posteriormente conocida como el criterio de realidad EPR, según el cual la capacidad de predecir con probabilidad 1 el resultado de una medición sobre B implica la existencia de un "elemento de realidad" dentro de B. [ 45 ]

En 1951, David Bohm propuso una variante del experimento mental EPR en la que las mediciones tienen rangos discretos de posibles resultados, a diferencia de las mediciones de posición y momento consideradas por EPR. [ 46 ] El año anterior, Chien-Shiung Wu e Irving Shaknov habían medido con éxito las polarizaciones de fotones producidos en pares entrelazados, haciendo así que la versión de Bohm del experimento mental EPR fuera prácticamente factible. [ 47 ]

A finales de la década de 1940, el matemático George Mackey se interesó por los fundamentos de la física cuántica y, en 1957, elaboró ​​una lista de postulados que consideró una definición precisa de la mecánica cuántica. [ 48 ] Mackey conjeturó que uno de los postulados era redundante y, poco después, Andrew M. Gleason demostró que, en efecto, era deducible de los demás postulados. [ 49 ] [ 50 ] El teorema de Gleason proporcionó un argumento que indicaba que una amplia clase de teorías de variables ocultas son incompatibles con la mecánica cuántica. [ nota 4 ] Más específicamente, el teorema de Gleason descarta los modelos de variables ocultas que son "no contextuales". Cualquier modelo de variables ocultas para la mecánica cuántica debe, para evitar las implicaciones del teorema de Gleason, involucrar variables ocultas que no sean propiedades que pertenezcan únicamente al sistema medido, sino que también dependan del contexto externo en el que se realiza la medición. Este tipo de dependencia suele considerarse artificial o indeseable; en algunos casos, es inconsistente con la relatividad especial . [ 13 ] [ 52 ] El teorema de Kochen-Specker refina esta afirmación al construir un subconjunto finito específico de rayos sobre los cuales no se puede definir tal medida de probabilidad. [ 13 ] [ 53 ]

Tsung-Dao Lee estuvo cerca de derivar el teorema de Bell en 1960. Consideró eventos en los que se producían dos kaones que viajaban en direcciones opuestas y llegó a la conclusión de que las variables ocultas no podían explicar las correlaciones que se podían obtener en tales situaciones. Sin embargo, surgieron complicaciones debido a que los kaones se desintegran, y no llegó a deducir una desigualdad del tipo Bell. [ 39 ] : 308

Publicaciones de Bell

Bell optó por publicar su teorema en una revista relativamente desconocida porque no cobraba por página , e incluso pagaba a los autores que publicaban allí en ese momento. Sin embargo, dado que la revista no proporcionaba reimpresiones gratuitas de los artículos para que los autores las distribuyeran, Bell tuvo que gastar el dinero que recibió en comprar copias para enviar a otros físicos. [ 54 ] Si bien los artículos impresos en la revista simplemente indicaban el nombre de la publicación como Physics , las portadas llevaban la versión trilingüe Physics Physique Физика para reflejar que publicaría artículos en inglés, francés y ruso. [ 42 ] : 92–100, 289

Antes de demostrar su resultado de 1964, Bell también demostró un resultado equivalente al teorema de Kochen-Specker (por lo que este último a veces también se conoce como teorema de Bell-Kochen-Specker o teorema de Bell-KS). Sin embargo, la publicación de este teorema se retrasó inadvertidamente hasta 1966. [ 13 ] [ 55 ] En ese artículo, Bell argumentó que, dado que una explicación de los fenómenos cuánticos en términos de variables ocultas requeriría la no localidad, la paradoja EPR "se resuelve de la manera que menos le hubiera gustado a Einstein". [ 55 ]

Experimentos

Esquema de una prueba de Bell de dos canales: La fuente S produce pares de fotones que se envían en direcciones opuestas. Cada fotón incide sobre un polarizador de dos canales cuya orientación (a o b) puede ser configurada por el experimentador. Las señales que emergen de cada canal se detectan y el monitor de coincidencias cuenta las coincidencias de cuatro tipos (++, −−, +− y −+).

En 1967, el inusual título Physics Physique Физика llamó la atención de John Clauser , quien luego descubrió el artículo de Bell y comenzó a considerar cómo realizar una prueba de Bell en el laboratorio. [ 56 ] Clauser y Stuart Freedman realizarían una prueba de Bell en 1972. [ 57 ] [ 58 ] Esta fue solo una prueba limitada, porque la elección de los ajustes del detector se hizo antes de que los fotones hubieran salido de la fuente. En 1982, Alain Aspect y colaboradores realizaron la primera prueba de Bell para eliminar esta limitación. [ 59 ] Esto inició una tendencia de pruebas de Bell progresivamente más rigurosas. El experimento mental GHZ se implementó en la práctica, utilizando tripletes entrelazados de fotones, en 2000. [ 60 ] Para 2002, probar la desigualdad CHSH era factible en cursos de laboratorio de pregrado. [ 61 ]

En los experimentos de Bell, pueden surgir problemas de diseño o configuración experimental que afecten la validez de los resultados. Estos problemas suelen denominarse «lagunas». El objetivo del experimento es comprobar si la naturaleza puede describirse mediante la teoría de variables ocultas locales , lo que contradiría las predicciones de la mecánica cuántica.

Las lagunas más frecuentes en los experimentos reales son las de detección y localidad . [ 62 ] La laguna de detección se abre cuando se detecta una pequeña fracción de las partículas (generalmente fotones) en el experimento, lo que permite explicar los datos con variables ocultas locales asumiendo que las partículas detectadas son una muestra no representativa. La laguna de localidad se abre cuando las detecciones no se realizan con una separación espacial , lo que permite que el resultado de una medición influya en la otra sin contradecir la relatividad. En algunos experimentos puede haber defectos adicionales que hacen posibles las explicaciones de variables ocultas locales de las violaciones de la prueba de Bell. [ 63 ]

Aunque tanto las lagunas de localidad como las de detección se habían cerrado en diferentes experimentos, un desafío de larga data era cerrarlas ambas simultáneamente en el mismo experimento. Esto finalmente se logró en tres experimentos en 2015. [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] Respecto a estos resultados, Alain Aspect escribe que "ningún experimento... puede decirse que esté totalmente libre de lagunas", pero dice que los experimentos "eliminan las últimas dudas de que deberíamos renunciar" a las variables ocultas locales, y se refiere a los ejemplos de lagunas restantes como "descabellados" y "ajenos a la forma habitual de razonamiento en física". [ 69 ]

Estos esfuerzos por validar experimentalmente las violaciones de las desigualdades de Bell darían como resultado que Clauser, Aspect y Anton Zeilinger recibieran el Premio Nobel de Física de 2022. [ 70 ]

Interpretaciones

Las reacciones al teorema de Bell han sido numerosas y variadas. Maximilian Schlosshauer, Johannes Kofler y Zeilinger escriben que las desigualdades de Bell proporcionan "un ejemplo maravilloso de cómo podemos tener un resultado teórico riguroso comprobado mediante numerosos experimentos y, sin embargo, discrepar sobre sus implicaciones". [ 71 ]

La interpretación de Copenhague

Las interpretaciones de tipo Copenhague generalmente toman la violación de las desigualdades de Bell como fundamento para rechazar la suposición a menudo llamada definición contrafactual o "realismo", lo cual no es necesariamente lo mismo que abandonar el realismo en un sentido filosófico más amplio. [ 72 ] [ 73 ] Por ejemplo, Roland Omnès argumenta a favor del rechazo de las variables ocultas y concluye que "la mecánica cuántica es probablemente tan realista como cualquier teoría de su alcance y madurez lo será jamás". [ 74 ] : 531 Asimismo, Rudolf Peierls tomó el mensaje del teorema de Bell como que, debido a que la premisa de localidad es físicamente razonable, "las variables ocultas no pueden introducirse sin abandonar algunos de los resultados de la mecánica cuántica". [ 75 ] [ 76 ]

Esta es también la ruta tomada por las interpretaciones que descienden de la tradición de Copenhague, como las historias consistentes (a menudo anunciadas como "Copenhague bien hecha"), [ 77 ] : 2839 así como el QBismo . [ 78 ]

Many-worlds interpretation of quantum mechanics

The many-worlds interpretation, also known as the Everett interpretation, is dynamically local, meaning that it does not call for action at a distance,[79]:17 and deterministic, because it consists of the unitary part of quantum mechanics without collapse. It can generate correlations that violate a Bell inequality because it violates an implicit assumption by Bell that measurements have a single outcome. In fact, Bell's theorem can be proven in the Many-Worlds framework from the assumption that a measurement has a single outcome. Therefore, a violation of a Bell inequality can be interpreted as a demonstration that measurements have multiple outcomes.[80]

The explanation it provides for the Bell correlations is that when Alice and Bob make their measurements, they split into local branches. From the point of view of each copy of Alice, there are multiple copies of Bob experiencing different results, so Bob cannot have a definite result, and the same is true from the point of view of each copy of Bob. They will obtain a mutually well-defined result only when their future light cones overlap. At this point we can say that the Bell correlation starts existing, but it was produced by a purely local mechanism. Therefore, the violation of a Bell inequality cannot be interpreted as a proof of non-locality.[79]:28

Non-local hidden variables

Most advocates of the hidden-variables idea believe that experiments have ruled out local hidden variables.[note 5] They are ready to give up locality, explaining the violation of Bell's inequality by means of a non-local hidden variable theory, in which the particles exchange information about their states. This is the basis of the Bohm interpretation of quantum mechanics, which requires that all particles in the universe be able to instantaneously exchange information with all others. One challenge for non-local hidden variable theories is to explain why this instantaneous communication can exist at the level of the hidden variables, but it cannot be used to send signals.[83] A 2007 experiment ruled out a large class of non-Bohmian non-local hidden variable theories, though not Bohmian mechanics itself.[84]

The transactional interpretation, which postulates waves traveling both backwards and forwards in time, is likewise non-local.[85]

Superdeterminism

Una suposición necesaria para derivar el teorema de Bell es que las variables ocultas no están correlacionadas con los parámetros de medición. Esta suposición se ha justificado argumentando que el experimentador tiene " libre albedrío " para elegir dichos parámetros, y que esto es fundamental para la investigación científica. Una teoría (hipotética) en la que la elección de la medición está necesariamente correlacionada con el sistema que se está midiendo se conoce como superdeterminista . [ 62 ]

Algunos defensores de los modelos deterministas no han renunciado a las variables ocultas locales. Por ejemplo, Gerard 't Hooft ha argumentado que el superdeterminismo no puede descartarse. [ 86 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Por conveniencia, asumimos que la respuesta del detector a la propiedad subyacente es determinista. Esta suposición puede reemplazarse; es equivalente a postular una distribución de probabilidad conjunta sobre todas las observables del experimento. [ 8 ] [ 9 ]
  2. ↑ Con más detalle, como lo desarrollaron Paul Dirac , [ 21 ] David Hilbert , [ 22 ] John von Neumann , [ 23 ] y Hermann Weyl , [ 24 ] el estado de un sistema mecánico cuántico es un vector|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }perteneciente a un espacio de Hilbert ( separable )H{\displaystyle {\mathcal {H}}}Las magnitudes físicas de interés —posición, momento, energía, espín— se representan mediante "observables", que son operadores lineales autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert. Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus autovalores con una probabilidad dada por la regla de Born : en el caso más simple, el autovalorη{\displaystyle \eta }es no degenerado y la probabilidad viene dada por|⟨η|ψ⟩|2{\displaystyle |\langle \eta |\psi \rangle |^{2}}, dónde|η⟩{\displaystyle |\eta \rangle }es su vector propio asociado. De forma más general, el valor propio es degenerado y la probabilidad viene dada por⟨ψ|PAGηψ⟩{\displaystyle \langle \psi |P_{\eta }\psi \rangle }, dóndePAGη{\displaystyle P_{\eta }}es el proyector sobre su espacio propio asociado. Para los fines de esta discusión, podemos considerar que los valores propios no son degenerados.
  3. ↑ Véase Reichenbach [ 38 ] y Jammer, [ 39 ] : 276 Mermin y Schack, [ 40 ] y para las observaciones de Einstein, Clauser y Shimony [ 41 ] y Wick. [ 42 ] : 286
  4. ↑ Una teoría de variables ocultas determinista implica que la probabilidad de un resultado dado siempre es 0 o 1. Por ejemplo, una medición de Stern-Gerlach en un átomo de espín 1 informará que el momento angular del átomo a lo largo del eje elegido es uno de tres valores posibles, que pueden ser designados−{\displaystyle -},0{\displaystyle 0}y+{\displaystyle +}En una teoría determinista de variables ocultas, existe una propiedad física subyacente que fija el resultado encontrado en la medición. Condicionado al valor de la propiedad física subyacente, cualquier resultado dado (por ejemplo, un resultado de+{\displaystyle +}) debe ser imposible o estar garantizado. Pero el teorema de Gleason implica que no puede existir tal medida de probabilidad determinista, porque demuestra que cualquier medida de probabilidad debe tomar la forma de una aplicacióntú→⟨ρtú,tú⟩{\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }para algún operador de densidadρ{\displaystyle \rho }. Esta aplicación es continua en la esfera unitaria del espacio de Hilbert, y dado que esta esfera unitaria es conexa , ninguna medida de probabilidad continua en ella puede ser determinista. [ 51 ] : §1.3
  5. ↑ ET Jaynes fue una excepción, [ 81 ] pero los argumentos de Jaynes generalmente no se han considerado persuasivos. [ 82 ]

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Lecturas adicionales

El siguiente contenido está dirigido al público en general.

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  • Baggott, J. (1992). El significado de la teoría cuántica . Oxford University Press.
  • Gilder, Louisa (2008). La era del entrelazamiento: cuando la física cuántica renació . Nueva York: Alfred A. Knopf.
  • Greene, Brian (2004). El tejido del cosmos . Vintage. ISBN 0-375-72720-5.
  • Mermin, N. David (1981). "Trayendo a casa el mundo atómico: misterios cuánticos para todos". American Journal of Physics . 49 (10): 940– 943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . doi : 10.1119/1.12594 . S2CID 122724592 . 
  • Mermin, N. David (abril de 1985). "¿Está la luna ahí cuando nadie la mira? La realidad y la teoría cuántica". Physics Today . 38 (4): 38– 47. Bibcode : 1985PhT....38d..38M . doi : 10.1063/1.880968 .
  • Scarani, Valerio (2019). Bell Nonlocality . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-183032-7.

Los siguientes tienen una orientación más técnica.

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  • Aspect, A.; et  al. (1982). "Realización experimental del experimento mental de Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm: una nueva violación de las desigualdades de Bell" . Phys. Rev. Lett . 49 (2): 91– 94. Bibcode : 1982PhRvL..49...91A . doi : 10.1103/physrevlett.49.91 .
  • Aspect, A.; Grangier, P. (1985). "Sobre la dispersión resonante y otros efectos hipotéticos en las pruebas del experimento de cascada atómica de Orsay de las desigualdades de Bell: una discusión y algunos nuevos datos experimentales". Lettere al Nuovo Cimento . 43 (8): 345– 348. doi : 10.1007/bf02746964 . S2CID 120840672 . 
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