Teorema de Bendixson-Dulac

En matemáticas , el teorema de Bendixson-Dulac es un teorema de sistemas dinámicos que excluye la existencia de órbitas periódicas en flujos bidimensionales. Un flujo puede visualizarse como la superficie de un estanque. Si se arroja una hoja a un estanque, esta se desplazará según las corrientes del agua, y una órbita periódica se produce cuando la hoja regresa al mismo lugar. En términos generales, el teorema establece que si es posible distorsionar el campo de corrientes estirando y comprimiendo el estanque como una lámina de goma, de manera que el flujo se expanda o se contraiga constantemente, entonces no existe una órbita periódica.

Formalmente, el teorema afirma que si existe un${\displaystyle C^{1}}$función${\displaystyle \varphi (x,y)}$(llamada función Dulac) de tal manera que la expresión

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}}$

tiene el mismo signo (${\displaystyle \neq 0}$) casi en todas partes en una región simplemente conectada del plano, entonces el sistema autónomo del plano

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(x,y)}$

no tiene soluciones periódicas no constantes que se encuentren completamente dentro de la región. ^{[ 1 ]} "Casi en todas partes" significa en todas partes excepto posiblemente en un conjunto de medida 0, como un punto o una línea.

El teorema fue establecido por primera vez por el matemático sueco Ivar Bendixson en 1901 y posteriormente refinado por el matemático francés Henri Dulac en 1923 utilizando el teorema de Green .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que existe una función${\displaystyle \varphi (x,y)}$de tal manera que

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0}$

en una región simplemente conectada${\displaystyle R}$. Dejar${\displaystyle C}$ser una trayectoria cerrada del sistema autónomo del avión en${\displaystyle R}$, significado${\displaystyle f(t+T,x,y)=f(t,x,y)}$y${\displaystyle g(t+T,x,y)=g(t,x,y)}$a pesar de${\displaystyle t\geq 0}$y algunos${\displaystyle T>0}$en la curva${\displaystyle C}$. Dejar${\displaystyle D}$ser el interior de${\displaystyle C}$. Entonces, por el teorema de Green ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi {\dot {x}})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi {\dot {y}})}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[6pt]={}&\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}\,dx+{\dot {x}}\,dy\right)=\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}{\dot {x}}+{\dot {x}}{\dot {y}}\right)\,dt=0\end{aligned}}}$

con${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$y${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dt}$siendo la notación de Newton y la primera igualdad que sigue del sistema autónomo plano. Debido al signo constante, la integral de la izquierda en la línea anterior debe evaluarse como un número positivo. Pero en${\displaystyle C}$,${\displaystyle dx={\dot {x}}\,dt}$y${\displaystyle dy={\punto {y}}\,dt}$, por lo que el integrando inferior es de hecho 0 en todas partes y por esta razón la integral de la derecha se evalúa a  0. Esto es una contradicción, por lo que no puede haber tal trayectoria cerrada.${\displaystyle C}$.

• Ciclo límite §  Cómo encontrar ciclos límite
• Teorema de Liouville (hamiltoniano) , teorema similar con${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H(q,p)}{\partial p}}\,(=f(q,p)),{\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H(q,p)}{\partial q}}\,(=g(q,p))}$