Competencia de Bertrand

La competencia de Bertrand es un modelo de competencia utilizado en economía, que recibe su nombre de Joseph Louis François Bertrand (1822-1900). Describe las interacciones entre las empresas (vendedores) que fijan los precios y sus clientes (compradores) que eligen las cantidades a los precios establecidos. El modelo fue formulado en 1883 por Bertrand en una reseña del libro de Antoine Augustin Cournot, Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838), en el que Cournot había presentado el modelo de Cournot . ^{[ 1 ]} El modelo de Cournot sostenía que cada empresa debía maximizar su beneficio seleccionando un nivel de cantidad y luego ajustando el nivel de precio para vender esa cantidad. El resultado del equilibrio del modelo implicaba que las empresas fijaran precios por encima del coste marginal; de ahí el precio competitivo. En su reseña, Bertrand argumentó que, en cambio, cada empresa debía maximizar sus beneficios seleccionando un nivel de precio que superara los precios de sus competidores, cuando estos superaran el coste marginal. ^{[ 2 ]} El modelo no fue formalizado por Bertrand; sin embargo, la idea fue desarrollada en un modelo matemático por Francis Ysidro Edgeworth en 1889. ^{[ 3 ]}

Considerando el marco simple, los supuestos subyacentes del modelo de Bertrand son los siguientes:

• hay${\displaystyle n}$empresas (${\displaystyle i=1,2,...}$) compitiendo en el mercado que producen bienes homogéneos; es decir, productos idénticos; ^{[ 4 ]}
• la función de demanda del mercado${\displaystyle Q=D(p)}$donde Q es la suma de la cantidad producida por las empresas${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}}$${\displaystyle Q_{i}}$, es continua y tiene pendiente descendente con${\displaystyle D'(p)<0}$^{[ 5 ]} ;
• El costo marginal es simétrico,${\displaystyle c_{1}=c_{2}=...=c}$^{[ 6 ]} ;
• Las empresas no tienen una limitación de capacidad; es decir, cada empresa tiene la capacidad de producir suficientes bienes para satisfacer la demanda del mercado. ^{[ 7 ]}
• Las empresas fijan los precios simultáneamente, sin conocer la decisión de la otra empresa, y el consumidor no incurre en ningún coste de búsqueda: los consumidores pueden observar los precios de ambas empresas.

Además, es intuitivamente deducible, al considerar la ley de la demanda de la competencia de las empresas en el mercado:

• La empresa que fije el precio más bajo adquirirá todo el mercado; puesto que el producto es homogéneo y no hay costo de cambio para los clientes; ^{[ 7 ]} y
• Si el precio fijado por las empresas es el mismo,${\displaystyle p_{1}=p_{2}=...=p}$, atenderán al mercado por igual,${\displaystyle {\frac {p}{n}}}$. ^{[ 8 ]}

En el modelo de Bertrand, el precio competitivo actúa como un equilibrio de Nash para las decisiones estratégicas de precios. Si ambas empresas fijan un precio competitivo igual al coste marginal (coste unitario), ninguna obtiene beneficios. Si una empresa ajusta su precio al coste marginal mientras que la otra lo eleva por encima del coste unitario, esta última no obtiene ningún beneficio, ya que los consumidores optan por la opción con precio competitivo. Ningún otro escenario de precios alcanza el equilibrio. Fijar precios idénticos por encima del coste unitario genera un incentivo desestabilizador para que cada empresa rebaje sus precios, con el objetivo de acaparar todo el mercado y aumentar significativamente sus beneficios. Esta falta de equilibrio surge de la competencia entre las empresas en un mercado con bienes sustitutivos, donde los consumidores prefieren el producto más barato debido a preferencias idénticas. Además, no se alcanza el equilibrio cuando las empresas fijan precios diferentes; la empresa con el precio más alto no obtiene ningún beneficio, lo que la impulsa a bajar sus precios para superar a la competencia. Por lo tanto, el único equilibrio en el modelo de Bertrand se produce cuando ambas empresas fijan un precio igual al coste unitario, conocido como precio competitivo. ^{[ 9 ]}

Cabe destacar que el equilibrio de Bertrand es un equilibrio de Nash débil . Las empresas no pierden nada al desviarse del precio competitivo: se trata de un equilibrio simplemente porque cada empresa no puede obtener más que beneficios nulos, dado que la otra empresa fija el precio competitivo y está dispuesta a satisfacer toda la demanda a ese precio.

El modelo de Bertrand de competencia de precios en un mercado de duopolio que produce bienes homogéneos tiene las siguientes características:

• Jugadores: Dos empresas${\displaystyle i\in \{1,2\}}$con costo marginal constante y común${\ Displaystyle c, \ (c_ {1} = c_ {2})}$;
• Variables estratégicas: Cada empresa${\displaystyle i}$Seleccione su propio precio${\displaystyle p_{i}}$.;
• Sincronización: Juego de movimientos simultáneos;
• Beneficios de la empresa: Ganancias; y
• Información: Completa. ^{[ 5 ]}

Imaginemos una función de demanda agregada con pendiente negativa respecto al precio.${\displaystyle D(p)}$. Firme${\displaystyle i}$La función de demanda individual de es una función de su propio precio.${\displaystyle p_{i}}$y el precio de la otra empresa${\displaystyle p_{j}}$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle D_{i}(p_{i},p_{j})={\begin{cases}D(p_{i}),&{\text{si }}p_{i}<p_{j}\\{\frac {D(p_{i})}{2}},&{\text{si }}p_{i}=p_{j}\\0,&{\text{si }}p_{i}>p_{j}\end{cases}}}$

Es importante señalar que, en este caso, la demanda del mercado es continua; sin embargo, la demanda de la empresa es discontinua, como se observa en el enunciado de la función anterior. Esto significa que la función de beneficios de la empresa también es discontinua. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, la empresa${\displaystyle i}$apunta a maximizar sus ganancias, como se indica a continuación, tomando${\displaystyle p_{j}}$ como se indica: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \pi _{i}(p_{i},p_{j})=(p_{i}-c)D_{i}(p_{i},p_{j})}$

Para obtener la mejor respuesta para la empresa${\displaystyle i}$, dejar${\displaystyle p_{m}}$sea ​​el precio de monopolio que maximiza el beneficio total de la industria, donde${\displaystyle p^{m}=argmax_{p}(pc)D(p)}$Esta es la estrategia racionalizable más amplia. Incluso sin competencia de precios, ninguna empresa tiene incentivos para subir los precios por encima de este umbral, ya que el aumento del precio unitario no justifica la pérdida de demanda a partir de ese punto.

A partir de esta información podemos construir una correspondencia de mejor respuesta :

• Si tu oponente elige un precio superior al precio de monopolio, debes elegir el precio de monopolio.
• Vender a un precio inferior al costo marginal resulta en una pérdida. Si tu oponente elige cualquier precio inferior al costo marginal, fijarás cualquier precio superior al de tu oponente para perder. Observa que no importa si también eliges un precio inferior al costo marginal.${\displaystyle c}$La demanda y, por lo tanto, las ganancias, siempre serán cero mientras usted elija un precio más alto.
• Si tu oponente elige${\displaystyle p_{j}=c}$Te da igual compartir la demanda sin margen de beneficio o conseguir demanda cero perdiendo. Cualquier precio${\displaystyle p_{i}\geq p_{j}=c}$es la mejor respuesta.
• Si tu oponente elige un precio${\displaystyle p_{j}\in (c,p^{m}]}$Resulta tentador decir que deberías rebajar la oferta de tu oponente con un valor muy pequeño.${\displaystyle \epsilon }$(es decir${\displaystyle p_{i}=p_{j}-\epsilon }$) robar toda la demanda. Si bien esta es la intuición correcta, sería erróneo incluirla en la correspondencia. No importa cuál${\displaystyle \epsilon }$Elijas lo que elijas, siempre puedes encontrar una desviación menor en estrategias continuas. Por lo tanto, ninguno de estos valores es la mejor respuesta. La mejor respuesta es, por consiguiente, el conjunto vacío.${\displaystyle \emptyset }$.

Esto se puede resumir en la siguiente correspondencia de mejor respuesta:

${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}\{p_{i}:p_{i}>p_{j}\}&{\text{ si }}p_{j}<c\\\{p_{i}:p_{i}\geq c\}&{\text{ si }}p_{j}=c\\\emptyset &{\text{ si }}p_{j}\in (c,p^{m}]\\\{p^{m}\}&{\text{ si }}p_{j}>p^{m}\\\end{cases}}}$

Un equilibrio de Nash debe satisfacer ${\displaystyle \exists (p_{1},p_{2})}$de tal manera que${\displaystyle p_{1}\in R_{1}(p_{2})}$y${\displaystyle p_{2}\in R_{2}(p_{1})}$. En otras palabras${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$deberían ser la mejor respuesta entre sí al mismo tiempo. En la representación gráfica de las correspondencias de mejor respuesta de las dos empresas, esto es equivalente a puntos donde las dos correspondencias se cruzan. Esto solo ocurre en el punto${\displaystyle p_{1}=p_{2}=c}$Este es el único equilibrio de Nash.

Es importante señalar que el modelo de competencia de precios de Bertrand conduce a un resultado de competencia perfecta. ^{[ 7 ]} Esto se conoce como la paradoja de Bertrand ; ya que dos competidores en un mercado son suficientes para generar precios competitivos; sin embargo, este resultado no es consistente en muchas industrias del mundo real. ^{[ 5 ]} En teoría, este resultado puede verse alterado por costos marginales que no son comunes o no son constantes, así como si el juego se repite infinitamente .

Si una empresa tiene un costo promedio más bajo (una tecnología de producción superior ), cobrará el precio más alto que sea inferior al costo promedio de la otra (es decir, un precio justo por debajo del precio más bajo que la otra empresa pueda ofrecer) y se quedará con todo el negocio. Esto se conoce como "precio límite" .

El modelo de Bertrand se basa en supuestos muy extremos. Por ejemplo, supone que los consumidores desean comprar a la empresa con el precio más bajo. Existen varias razones por las que esto puede no ser cierto en muchos mercados: competencia no basada en precios y diferenciación de productos , costos de transporte y búsqueda . Por ejemplo, ¿alguien viajaría el doble de lejos para ahorrar un 1 % en el precio de sus verduras? El modelo de Bertrand puede extenderse para incluir la diferenciación de productos o de ubicación, pero entonces el resultado principal —que el precio se reduce al costo marginal— deja de ser válido. Con los costos de búsqueda, puede haber otros equilibrios además del precio competitivo: el precio de monopolio o incluso la dispersión de precios pueden ser equilibrios como en el modelo clásico de "Ofertas y Estafas". ^{[ 11 ]}

El modelo también ignora las restricciones de capacidad. Si una sola empresa no tiene la capacidad de abastecer todo el mercado, entonces el resultado de "el precio es igual al costo marginal" podría no cumplirse. El análisis de este caso fue iniciado por Francis Ysidro Edgeworth y se conoce como el modelo de Bertrand-Edgeworth . Con restricciones de capacidad, puede que no exista ningún equilibrio de Nash de estrategia pura, la llamada paradoja de Edgeworth . Sin embargo, en general existirá un equilibrio de Nash de estrategia mixta, como lo demostró Huw Dixon . ^{[ 12 ]}

Además, algunos economistas han criticado el modelo por conducir a resultados poco prácticos en situaciones donde las empresas tienen costos fijos.${\displaystyle F}$y, como se mencionó anteriormente, costo marginal constante,${\displaystyle c}$. Por lo tanto, el costo total,${\displaystyle TC}$, de producir${\displaystyle Q}$unidades es,${\displaystyle TC=F+cQ}$Como se describe en el modelo clásico, los precios finalmente se reducen al costo marginal, donde las empresas obtienen un beneficio económico nulo y no generan márgenes en las unidades inframarginales . Por lo tanto, las empresas no pueden recuperar ningún costo fijo. Sin embargo, si las empresas tienen una curva de costo marginal con pendiente positiva, pueden obtener ganancias marginales en las ventas inframarginales, lo que contribuye a la recuperación de los costos fijos. ^{[ 7 ]}

Existe un gran incentivo para cooperar en el modelo de Bertrand; coludir para cobrar el precio de monopolio ,${\displaystyle p_{m}}$y compartiendo el mercado por igual,${\displaystyle {\frac {p_{m}}{n}}}$, dónde${\displaystyle n}$es el número de empresas en el mercado. ^{[ 13 ]} Sin embargo, no coludir y cobrar el costo marginal es el resultado no cooperativo y el único equilibrio de Nash de este modelo. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, al pasar de un juego de movimientos simultáneos a un juego repetido con horizonte infinito, la colusión es posible debido al Teorema de Folk . ^{[ 14 ]}

Los modelos de Bertrand y Cournot se centran en diferentes aspectos del proceso competitivo, lo que ha llevado a identificar distintos mecanismos que modifican las características de la demanda del mercado que presentan las empresas. El modelo de Cournot supone que el mercado asigna las ventas en función de la cantidad producida por cada empresa, pero al precio que determine el mercado. Por otro lado, el modelo de Bertrand supone que la empresa con el precio más bajo se lleva todas las ventas del mercado. ^{[ 2 ]}

Al comparar los modelos, la teoría del oligopolio sugiere que las industrias de Bertrand son más competitivas que las de Cournot. Esto se debe a que, en el modelo de Cournot, las cantidades se consideran sustitutos estratégicos ; es decir, el aumento en el nivel de producción de una empresa es compensado por el rival, que produce menos. En cambio, en el modelo de Bertrand, los precios son complementos estratégicos ; una empresa contrarresta agresivamente un aumento en el nivel de precios reduciendo el suyo por debajo del de sus rivales. ^{[ 15 ]}

Además, ambos modelos son criticados en función de las suposiciones que se hacen en comparación con el escenario del mundo real. Sin embargo, los resultados de los modelos clásicos pueden conciliarse mediante un razonamiento como el que se presenta a continuación. Considerando la aplicación apropiada de los modelos en el mercado:

• El modelo de Cournot es aplicable en mercados donde la empresa debe tomar decisiones de producción con anticipación y debe comprometerse a vender esa cantidad; por lo tanto, es poco probable que reaccione a las fluctuaciones en la cantidad producida por sus rivales.
• El modelo de Bertrand es aplicable en mercados donde la capacidad es suficientemente flexible y las empresas son capaces de satisfacer cualquier demanda del mercado que surja al nivel de precios que ellas mismas establecen. ^{[ 16 ]}

Ninguno de los modelos es necesariamente mejor que el otro. La precisión de las predicciones de cada modelo varía según el sector, dependiendo de la similitud entre ambos modelos y la situación del sector. Si la capacidad y la producción se pueden modificar fácilmente, el modelo de Bertrand suele ser mejor para la competencia en un duopolio. Si la producción y la capacidad son difíciles de ajustar, el modelo de Cournot suele ser mejor.

En determinadas circunstancias, el modelo de Cournot puede reformularse como un modelo de dos etapas, en el que en la primera etapa las empresas eligen sus capacidades y en la segunda compiten al estilo de Bertrand.

• La teoría de la oligopolio explicada de forma sencilla , capítulo 6 de " Economía del surf" de Huw Dixon .
• La teoría pura del monopolio, Francis Edgeworth
• La reseña de Bertrand sobre Walras y Cournot