Hispanopedia WikiEn matemáticas, un álgebra de bicuaterniones es un compuesto de álgebras de cuaterniones sobre un cuerpo.
Los bicuaterniones de William Rowan Hamilton (1844) y los bicuaterniones divididos y cuaterniones duales relacionados no forman álgebras de bicuaterniones en este sentido.
Definición
Sea F un cuerpo de característica distinta de 2. Un álgebra de bicuaterniones sobre F es un producto tensorial de dos álgebras de cuaterniones . [ 1 ] [ 2 ]
Un álgebra de bicuaterniones es un álgebra simple central de dimensión 16 y grado 4 sobre el cuerpo base: tiene exponente (orden de su clase de Brauer en el grupo de Brauer de F ) [ 3 ] igual a 1 o 2.
Teorema de Albert
Sean A = ( a 1 , a 2 ) y B = ( b 1 , b 2 ) álgebras de cuaterniones sobre F .
La forma de Albert para A y B es
Puede considerarse como la diferencia en el anillo de Witt de las formas ternarias asociadas a los subespacios imaginarios de A y B. [ 4 ] Las álgebras de cuaterniones están vinculadas si y solo si la forma de Albert es isotrópica ; de lo contrario, no están vinculadas . [ 5 ]
El teorema de Albert establece que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- A ⊗ B es un álgebra de división ;
- La forma de Albert es anisotrópica ;
- A y B son álgebras de división y no tienen un cuerpo de descomposición cuadrática común. [ 6 ] [ 7 ]
En el caso de álgebras enlazadas, podemos clasificar aún más las otras estructuras posibles para el producto tensorial en términos de la forma de Albert. Si la forma es hiperbólica , entonces el álgebra de bicuaterniones es isomorfa al álgebra M 4 ( F ) de matrices de 4×4 sobre F ; de lo contrario, es isomorfa al producto M 2 ( F ) ⊗ D, donde D es un álgebra de división de cuaterniones sobre F. [ 2 ] El índice de Schur de un álgebra de bicuaterniones es 4, 2 o 1 , según el índice de Witt de la forma de Albert sea 0, 1 o 3. [ 8 ] [ 9 ]
Caracterización
Un teorema de Albert afirma que toda álgebra simple central de grado 4 y exponente 2 es un álgebra de bicuaterniones. [ 8 ] [ 10 ]
Citas
- ↑ Lam 2005 , pág. 60.
- 1 2 Szymiczek 1997 , pág. 452.
- ↑ Cohn 2003 , pág. 208.
- ↑ Knus et al. 1998 , pág. 192.
- ↑ Lam 2005 , pág. 70.
- ↑ Albert 1972 , págs. 65–66.
- ↑ Jacobson 1996 , pág. 77.
- 1 2 Lam 2005 , pág. 437.
- ↑ Knus et al. 1998 , pág. 236.
- ↑ Knus et al. 1998 , pág. 233.
Referencias
- Albert, A. Adrian (1932). "Álgebras de división normal de grado cuatro sobre un cuerpo algebraico" . Trans. Am. Math. Soc . 34 (2): 363– 372. doi : 10.2307/1989546 . JSTOR 1989546. Zbl 0004.10002 .
- Albert, AA (1972). " Productos tensoriales de álgebras de cuaterniones" . Proc. Am. Math. Soc . 35. doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0297803-6 . Zbl 0263.16012 .
- Cohn, Paul M. (2003). Álgebra avanzada y aplicaciones . Springer-Verlag . ISBN 1852336676.
- Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 .
- Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). El libro de las involuciones . Colloquium Publications. Vol. 44. Con un prefacio de J. Tits . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Szymiczek, Kazimierz (1997). Álgebra bilineal. Una introducción a la teoría algebraica de las formas cuadráticas . Álgebra, lógica y aplicaciones. Vol. 7. Langhorne, PA: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 9056990764. Zbl 0890.11011 .
- Cuaterniones