funciones de bicuaternión

Las funciones en el plano complejo pueden extenderse a funciones de cuaterniones complejos ( bicuaterniones ). Esto es sencillo cuando la función puede expresarse como una serie de potencias . Simplemente se reemplaza el argumento complejo por el argumento del cuaternión complejo. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo, también lo hace para los cuaterniones complejos. Las funciones que tienen polos y puntos de ramificación en el plano complejo pueden representarse mediante series de potencias en círculos de convergencia para argumentos complejos, pero su comportamiento puede ser más complejo. Puede haber valores del argumento del cuaternión complejo para los que no estén definidos y pueden ser multivaluados, al igual que en el plano complejo.

Como veremos, los cuaterniones son de cuatro dimensiones y constan de una parte escalar y una parte vectorial tridimensional. Las bases de la parte vectorial no son conmutativas, pero la parte escalar sí lo es. El cuadrado de la parte vectorial es simplemente un número. Esto significa que cualquier serie de potencias en el cuaternión es la suma de una función escalar y otra función escalar multiplicada por la parte vectorial. Estas dos funciones escalares son sumas en serie de multinomios en el número que representa la parte escalar y el número que representa la parte vectorial elevados al cuadrado.

Este artículo examina, para el argumento de cuaterniones complejos, la función exponencial , cuya serie de potencias converge en todas partes en el plano complejo, la función raíz cuadrada y la función logaritmo .

Un cuaternión ^{[ 1 ]} Q se puede escribir como

$${\displaystyle {\textbf {Q}}=a\,+b\,{\textbf {I}}+c\,{\textbf {J}}\,+d\,{\textbf {K}}}$$

donde a, b, c, d son números complejos y

$${\displaystyle {\textbf {I}}\;{\textbf {I}}={\textbf {J}}\;{\textbf {J}}={\textbf {K}}\;{\textbf {K}}={\textbf {I}}\;{\textbf {J}}\;{\textbf {K}}=-1}$$

De estos, utilizando la asociatividad, se deduce que

$${\displaystyle {\textbf {I}}\;{\textbf {J}}=-{\textbf {J}}\;{\textbf {I}}={\textbf {K}}\quad {\textbf {J}}\;{\textbf {K}}=-{\textbf {K}}\;{\textbf {J}}={\textbf {I}}\quad {\textbf {K}}\;{\textbf {I}}=-{\textbf {I}}\;{\textbf {K}}={\textbf {J}}\quad }$$

Los cuaterniones son un álgebra asociativa no conmutativa .

Existen razones de peso para considerar los cuaterniones complejos. Muchas funciones con un argumento de cuaternión real solo se definen con cuaterniones complejos. Esto es similar al caso de los números reales y el plano complejo. Una aplicación importante de los cuaterniones complejos es la realización de transformaciones de Lorentz. Los cuaterniones reales solo permiten rotaciones espaciales, ^{[ 2 ]} pero no transformaciones de Lorentz con una transformación de Lorentz. Sin embargo, los cuaterniones complejos sí pueden. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La norma se define como ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\textbf {N}}({\textbf {Q}})=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$$

Se puede verificar fácilmente que ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\textbf {Q}}^{-1}={\frac {ab\,{\textbf {I}}-c\,{\textbf {J}}-d\,{\textbf {K}}}{{\textbf {N}}({\textbf {Q}})}}}$$

La norma de un producto es el producto de las normas, lo que convierte a los cuaterniones complejos en un álgebra de composición : ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbf {N} (\mathbf {Q} _{1}\,\mathbf {Q} _{2})=\mathbf {N} (\mathbf {Q} _{1})\;\mathbf {N} (\mathbf {Q} _{2})}$$

Para un cuaternión real distinto de cero, la norma es siempre positiva real y el inverso siempre existe. Esto convierte a los cuaterniones reales en un álgebra de división .

Dejemos el cuaternión${\displaystyle \mathbf {Q} }$se puede escribir como la suma de sus partes escalar y vectorial:

$${\displaystyle \mathbf {Q} =w+\mathbf {v} \,{\text{ donde }}\,\mathbf {v} =b\,\mathbf {I} +c\,\mathbf {J} +d\,\mathbf {K} }$$

Luego, por la identidad del producto vectorial ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} \,\mathbf {v} =-v^{2}=-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$$

Por el teorema del binomio

$${\displaystyle (w+\mathbf {v} )^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{2\,k}}\,\mathbf {v} ^{2\,k}\,w^{n-2\,k}+\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{2\,k+1}}\,\mathbf {v} ^{2\,k+1}\,w^{n-2\,k-1}}$$

de modo que

$${\displaystyle (w+\mathbf {v} )^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{2\,k}}\,(-v^{2})^{k}\,w^{n-2\,k}+\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{2\,k+1}}\,(-v^{2})^{k}\,\mathbf {v} \,w^{n-2\,k-1}}$$

Esta es la suma de un escalar y un acalar por${\displaystyle \mathbf {v} }$. Por lo tanto, una función${\displaystyle F(z)}$que está representada por una serie de potencias en z complejo cuando se extiende a los cuaterniones tiene la propiedad

$${\displaystyle F(\mathbf {Q} )=g(\mathbf {Q} )+h(\mathbf {Q} )\,\mathbf {v} }$$

donde las funciones g y h son de valor complejo.

Una técnica que se utilizará en la siguiente discusión es que, dada una serie de potencias en un cuaternión complejo X = a + b V donde V V = -1, podemos trabajar en su lugar con X = a + b I y, después de evaluar la serie de potencias, reemplazar I por V . Dado que V V siempre es un número complejo, cualquier cuaternión cuya parte vectorial tenga norma distinta de cero puede expresarse de esta forma. Sea V = b I + c J + d K y supongamos que${\displaystyle {\textbf {V}}\,{\textbf {V}}=-(b^{2}+c^{2}+d^{2})}$es distinto de cero. Entonces

$${\displaystyle {\textbf {V}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\left[{\frac {\textbf {V}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}\right]}$$

El factor entre corchetes tiene norma 1. La raíz cuadrada de la norma se puede extraer y absorber en b . Un cuaternión vectorial cuya norma sea 1 (cuadrado igual a -1) se denominará de tipo base.

Una segunda técnica que se utilizará con frecuencia consiste en darse cuenta de que cualquier serie de potencias en X = a + b V suma la forma c + d V , donde c y d son números complejos, siempre que la serie de potencias converja.

La función exponencial está bien definida por su serie de potencias , que converge en todo el dominio, incluso para cuaterniones complejos. Dado que las funciones circulares e hiperbólicas básicas cos, sin, cosh y sinh son combinaciones lineales de funciones exponenciales, también están bien definidas. Sus inversas pueden expresarse en términos de las funciones logaritmo y raíz cuadrada, no siempre existen y, cuando existen, son multivaluadas.

Para un escalar w y un vector${\displaystyle \mathbf {v} }$, mediante la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

$${\displaystyle \exp(w+\mathbf {v} )=\exp(w)\,\exp(\mathbf {v} )}$$

ya que un escalar conmuta con un vector. Defina el complejo${\displaystyle s={\sqrt {-\mathbf {v} \,\mathbf {v} }}}$. Usando el resultado de la sección sobre la división de series de potencias y usando las series de potencias para exp, cos y sin, entonces para${\displaystyle s\neq 0}$

$${\displaystyle \exp({\textbf {v}})=\cos(s)+{\frac {\sin(s)}{s}}\,{\textbf {v}}}$$

Dejar${\displaystyle \mathbf {v} =s\,\mathbf {n} }$. Entonces n tiene norma 1 y tenemos

$${\displaystyle \exp(s\,{\textbf {n}})=\cos(s)+{\textbf {n}}\,\sin(s)}$$

Dado que n actúa como una raíz cuadrada de -1 en esta ecuación, esto no es más que la fórmula de De Moivre .

Para el caso${\displaystyle s=0}$, la parte vectorial v = N tiene norma cero, de modo que

$${\displaystyle \exp(a+b\,{\textbf {N}})=\exp(a)\;(1+b{\textbf {N}})}$$

Solo los dos primeros términos de la serie de potencias para${\displaystyle \exp(b\,\mathbf {N} )}$son distintos de cero.

La raíz cuadrada de un cuaternión en un cuerpo se ha tratado de forma más general en otros lugares. ^{[ 9 ]}

Generalmente, la raíz cuadrada de un cuaternión complejo tiene cuatro valores , pero puede tener infinitos o ninguno. Primero, analizaremos los casos especiales.

Para el caso especial de la raíz cuadrada de un número complejo, cualquier múltiplo de un cuaternión con cuadrado +1 también es una solución. Esto incluye -1 y cuaterniones vectoriales de norma -1 como i I , i J , i ( I + J ) / √2 e infinitas más posibilidades.

Para el caso especial de la raíz cuadrada de un cuaternión complejo con un componente vectorial N distinto de cero de norma cero, la raíz cuadrada no existe excepto para valores especiales.

$${\displaystyle {\sqrt {a\,({\frac {1}{4}}+\,{\textbf {N}})}}=\pm {\sqrt {a}}\,({\frac {1}{2}}+\,{\textbf {N}})}$$

Para el caso especial de un cuaternión vectorial con norma no nula, tenemos

$${\displaystyle {\sqrt {a\,{\textbf {I}}}}={\sqrt {a}}\;{\frac {1+{\textbf {I}}}{\sqrt {2}}}}$$

Multiplicando por -1, i I o - i I se obtienen otros valores.

Habiendo considerado primero los casos especiales, consideremos el cuaternión complejo a + b I con${\displaystyle a\neq 0{\text{ and }}b\neq 0}$. Dado que a se puede factorizar, solo necesitamos considerar X = 1 + A I . Encontramos

$${\displaystyle {\sqrt {\textbf {X}}}={\tfrac {1}{2}}{\big (}{\sqrt {1+i\,A}}+{\sqrt {1-i\,A}}\,{\big )}-{\tfrac {1}{2}}i\,{\big (}{\sqrt {1+i\,A}}-{\sqrt {1-i\,A}}\,{\big )}\;{\textbf {I}}}$$

Las raíces cuadradas son valores complejos. A las raíces cuadradas idénticas se les deben asignar valores idénticos. Tomando las cuatro combinaciones de más y menos para las dos raíces cuadradas complejas distintas se obtiene${\displaystyle \pm {\sqrt {\textbf {X}}}}$y${\displaystyle \pm i\,\mathbf {I} \,{\sqrt {\textbf {X}}}}$.

Como se discute en la literatura, el logaritmo de una rotación espacial es simple. ^{[ 10 ]} Esto se debe a que la fórmula de De Moivre lo expresa como una exponencial.

$${\displaystyle \exp \left({\frac {\theta }{2}}\;\mathbf {n} \right)=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\mathbf {n} \,\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$$

Aquí${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación alrededor del eje representado por el cuaternión real${\displaystyle \mathbf {n} }$con cuadrado -1. El logaritmo es${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\,\mathbf {n} }$. Al dejar${\displaystyle \theta }$ser complejo y al dejar${\displaystyle \mathbf {n} }$Aunque sea complejo, si aún así tiene el cuadrado -1, el logaritmo se puede generalizar. Esto es esencialmente lo que se hace aquí.

La función logaritmo log X a veces no existe y, cuando existe, es multivaluada. El logaritmo de un número complejo es particularmente multivaluado. Consideremos log(1). Algunos valores posibles son 2m π i + 2n π I y (2m+1) π i + (2n+1) π I para enteros m y n. Para I , se puede sustituir por cualquier cuaternión vectorial de norma +1.

Debemos encontrar log( X ) tal que exp(log( X )) = X. Sea${\displaystyle \mathbf {X} =a+b\,\mathbf {I} \;}$. Primero hacemos el caso en el que tanto a como b son distintos de cero y en el que la parte vectorial tiene una norma distinta de cero, de modo que se puede escalar para que sea similar a una base con norma +1 (cuadrado igual a -1) y se pueda representar por I .

Definimos el número complejo θ mediante

$${\displaystyle {\frac {b}{a}}=\tan \theta \;}$$

Sea α un número complejo. Entonces

$${\displaystyle \exp(\alpha +\theta \,{\textbf {I}})=\exp(\alpha )(\cos \theta +\sin \theta \;{\textbf {I}})=\left({\frac {\exp \alpha \,\cos \theta }{a}}\right)(a+b\,{\textbf {I}})}$$

Elija α de modo que el multiplicador complejo de a + b I de la derecha sea uno. Entonces, una solución es

$${\displaystyle \log(a+b\,{\textbf {I}})=\log \left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)+\tan ^{-1}({\frac {b}{a}})\,{\textbf {I}}}$$

Como confirmación

$${\displaystyle \exp \left[\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)\,\mathbf {I} \right]=\cos \left[\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)\right]+\mathbf {I} \,\sin \left[\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)\right]}$$

donde se ha utilizado la fórmula de De Moivre ya que I actúa como una raíz cuadrada de -1 en esta ecuación. Entonces

$${\displaystyle \exp \left[\tan ^{-1}{\frac {b}{a}}\,)\,\mathbf {I} \right]={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mathbf {I} \,{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$$

Sumando 2m π i + 2n π I o sumando (2m+1) π i + (2n+1) π I , donde m y n son enteros, también se obtiene una solución.

A continuación, halla log( X ) donde X = a + N y N es un cuaternión vectorial nulo distinto de cero. Como se puede comprobar fácilmente

$${\displaystyle \log(a+{\textbf {N}})=\log(a)+{\frac {1}{a}}{\textbf {N}}}$$

Si se añade 2m π i también se obtiene una solución.

El logaritmo de un cuaternión que es un vector nulo cuaternión N no existe. La ecuación anterior diverge como${\displaystyle a\rightarrow 0}$

El caso de b = 0 se analizó en el primer párrafo. Por último, log 0 no está definido.

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