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Teorema de Birkhoff-Grothendieck

En matemáticas , el teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los haces vectoriales holomorfos sobre la recta proyectiva compleja . En particular, todo haz vectorial holomorfo ...

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En matemáticas , el teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los haces vectoriales holomorfos sobre la recta proyectiva compleja . En particular, todo haz vectorial holomorfo sobredoPAG1{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}es una suma directa de haces de líneas holomorfos . El teorema fue demostrado por Alexander Grothendieck ( 1957 , Teorema 2.1) , [ 1 ] y es más o menos equivalente a la factorización de Birkhoff introducida por George David Birkhoff ( 1909 ) . [ 2 ]  

Declaración

Más precisamente, el enunciado del teorema es el siguiente.

Todo fibrado vectorial holomorfomi{\displaystyle {\mathcal {E}}}endoPAG1{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}es holomorfamente isomorfa a una suma directa de haces de líneas: [ 3 ]

mi≅O(a1)⊕⋯⊕O(anorte).{\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}

La notación implica que cada sumando es una torsión de Serre cierta cantidad de veces del fibrado trivial . La representación es única salvo factores de permutación.

Generalización

El mismo resultado se cumple en geometría algebraica para el fibrado vectorial algebraico sobrePAGk1{\displaystyle \mathbb {P} _ {k}^{1}}para cualquier campok{\displaystyle k}. [ 4 ] También es válido para PAG1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}con uno o dos puntos de orbifold, y para cadenas de líneas proyectivas que se encuentran a lo largo de los nodos. [ 5 ]

Aplicaciones

Una aplicación de este teorema es que proporciona una clasificación de todos los haces coherentes endoPAG1{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}Tenemos dos casos, haces vectoriales y haces coherentes soportados a lo largo de una subvariedad, por lo queO(k),Onorteincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}(k),{\mathcal {O}}_{nx}}donde n es el grado del punto gordo enincógnita∈doPAG1{\displaystyle x\in \mathbb {CP} ^{1}}. Dado que las únicas subvariedades son puntos, tenemos una clasificación completa de haces coherentes .

Véase también

Referencias

  1. ^ Grothendieck, Alejandro (1957). "Sobre la clasificación de fibras holomorfas sobre la esfera de Riemann". Revista Estadounidense de Matemáticas . 79 (1): 121– 138. doi : 10.2307/2372388 . JSTOR 2372388 . S2CID 120532002 .  
  2. ↑Birkhoff, George David (1909). "Singular points of ordinary linear differential equations". Transactions of the American Mathematical Society. 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594.
  3. ↑Huybrechts 04, Corollary 5.2.8
  4. ↑Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982). "A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line". Journal of Pure and Applied Algebra. 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8.
  5. ↑Martens, Johan; Thaddeus, Michael (2016). "Variations on a theme of Grothendieck". Compositio Mathematica. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554.

Further reading

  • Huybrechts, Daniel (2004-11-18). Complex geometry: An introduction. Universitext. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3540212904.
  • Okonek, Christian; Schneider, Michael; Spindler, Heinz (1980). Vector Bundles on Complex Projective Spaces. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8.
  • Salamon, S. M.; Burstall, F. E. (1987). "Tournaments, Flags, and Harmonic Maps". Mathematische Annalen. 277 (2): 249–266. doi:10.1007/BF01457363. S2CID 120270501.
  • Roman Bezrukavnikov. 18.725 Algebraic Geometry (LEC # 24 Birkhoff–Grothendieck, Riemann-Roch, Serre Duality) Fall 2015. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.