teoría de los elementos de la hoja

Consideremos el elemento de radio r, mostrado en la Fig. 1, que tiene una longitud infinitesimal dr y un ancho b. El movimiento del elemento en una hélice de aeronave en vuelo se produce a lo largo de una trayectoria helicoidal determinada por la velocidad de avance V de la aeronave y la velocidad tangencial 2πrn del elemento en el plano del disco de la hélice, donde n representa las revoluciones por unidad de tiempo. La velocidad del elemento con respecto al aire Vr es entonces la resultante de las velocidades de avance y tangencial, como se muestra en la Fig. 2. Llamemos Φ al ángulo entre la dirección de movimiento del elemento y el plano de rotación , y β al ángulo de la pala . El ángulo de ataque α del elemento con respecto al aire es entonces${\displaystyle \alpha =\beta -\phi }$.

Aplicando los coeficientes de perfil aerodinámico ordinarios, la fuerza de sustentación sobre el elemento es:

${\displaystyle dL={\frac {1}{2}}V_{r}^{2}\rho C_{L}b\,dr.}$

Sea γ el ángulo entre la componente de sustentación y la fuerza resultante , o${\textstyle \gamma =\arctan {\frac {D}{L}}}$Entonces, la fuerza aerodinámica resultante total sobre el elemento es:$${\displaystyle dR={\frac {{\frac {1}{2}}V_{r}^{2}C_{L}b\,dr}{\cos \gamma }}.}$$

El empuje del elemento es la componente de la fuerza resultante en la dirección del eje de la hélice (Fig. 2), o $${\displaystyle {\begin{aligned}dT&=dR\cos(\phi +\gamma )\\&={\frac {{\frac {1}{2}}V_{r}^{2}C_{L}b\cos(\phi +\gamma )}{\cos \gamma }}dr,\end{aligned}}}$$ y desde${\textstyle V_{r}={\frac {V}{\sin \phi }}}$$${\displaystyle dT={\frac {{\frac {1}{2}}V^{2}C_{L}b\cos(\phi +\gamma )}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}dr.}$$

Para mayor comodidad, deje que $${\displaystyle K={\frac {C_{L}b}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}}$$ y $${\displaystyle T_{c}=K\cos(\phi +\gamma ).}$$

Entonces $${\displaystyle dT={\frac {1}{2}}\rho V^{2}T_{c}\,dr,}$$ y el empuje total para la hélice (de palas B) es: $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}T_{c}\,dr.}$$

Volviendo a la figura 2, la fuerza tangencial o de torsión es

${\displaystyle dF=dR\sin(\phi +\gamma),}$

y el par sobre el elemento es

${\displaystyle dQ=r\,dR\,\sin(\phi +\gamma),}$

lo cual, si${\textstyle Q_{c}=Kr\sin(\phi +\gamma)}$, se puede escribir

${\displaystyle dQ={\frac {1}{2}}\rho V^{2}Q_{c}dr.}$

Por lo tanto, la expresión para el par de torsión de toda la hélice es:

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}Q_{c}dr.}$

La potencia absorbida por la hélice, o el par motor, es

${\displaystyle QHP={\frac {2\pi nQ}{550}}}$

y la eficiencia es

${\displaystyle \eta ={\frac {THP}{QHP}}={\frac {TV}{2\pi nQ}}.}$

Debido a la variación del ancho, el ángulo y la sección del perfil aerodinámico de la pala a lo largo de la misma, no es posible obtener una expresión simple para el empuje, el par y la eficiencia de las hélices en general. Sin embargo, un solo elemento a aproximadamente dos tercios o tres cuartos del radio de la punta es bastante representativo de toda la hélice, y por lo tanto es interesante examinar la expresión para la eficiencia de un solo elemento. La eficiencia de un elemento es la relación entre la potencia útil y la potencia absorbida, o

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &={\frac {dTV}{dQ2\pi n}}\\&={\frac {dR\cos(\phi +\gamma )V}{dR\sin(\phi +\gamma )2\pi nr}}\\&={\frac {\tan \phi }{\tan(\phi +\gamma )}}.\end{aligned}}}$

Ahora bien, tan Φ es la relación entre la velocidad hacia adelante y la velocidad tangencial, y${\textstyle \tan \gamma ={\frac {D}{L}}}$. Según la teoría simple del elemento de pala, por lo tanto, la eficiencia de un elemento de una hélice depende únicamente de la relación entre la velocidad de avance y la velocidad tangencial y de la${\textstyle {\frac {D}{L}}}$de la sección del perfil aerodinámico.

El valor de Φ que proporciona la máxima eficiencia para un elemento, obtenido al derivar la eficiencia con respecto a Φ e igualar el resultado a cero, es

$${\displaystyle \phi =45^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}}$$

La variación de la eficiencia con Φ se muestra en la Fig. 3 para dos valores extremos de γ . La eficiencia aumenta hasta un máximo en${\textstyle 45^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}}$y luego vuelve a caer a cero en${\textstyle 90^{\circ }-\gamma }$. Con un${\textstyle {\frac {L}{D}}}$de 28,6 la eficiencia máxima posible de un elemento según la teoría simple es 0,932, mientras que con un${\textstyle {\frac {L}{D}}}$de 9,5 es solo 0,812. En los valores de Φ en los que funcionan los elementos más importantes de la mayoría de las hélices (10° a 15°) el efecto de${\textstyle {\frac {L}{D}}}$La eficiencia es aún mayor. Dentro del rango de 10° a 15°, las curvas de la Fig. 3 indican que es ventajoso tener ambos${\textstyle {\frac {L}{D}}}$de las secciones del perfil aerodinámico y el ángulo Φ (o el avance por revolución y, en consecuencia, el cabeceo) lo más alto posible.

Según la teoría del momento, el aire que pasa a través de la hélice adquiere una velocidad, y la mitad de esta velocidad se le transmite al llegar al plano de la hélice. Este aumento de velocidad del aire al entrar en el disco de la hélice se denomina velocidad de entrada. Siempre se presenta donde existe una discontinuidad de presión en un fluido. En el caso de un ala que se mueve horizontalmente, el aire adquiere una velocidad descendente, como se muestra en la figura 4, y teóricamente la mitad de esta velocidad se transmite delante y por encima del ala, y la otra mitad por debajo y por detrás.

Este flujo descendente inducido está presente en los ensayos de alas modelo a partir de los cuales se obtienen los coeficientes del perfil aerodinámico utilizados en la teoría de elementos de pala; por lo tanto, el flujo de entrada indicado por la teoría del momento se tiene en cuenta automáticamente en la teoría simple de elementos de pala. Sin embargo, el flujo descendente inducido es muy diferente para diferentes relaciones de aspecto, siendo cero para una relación de aspecto infinita. La mayoría de los ensayos de perfiles aerodinámicos modelo se realizan con alas rectangulares con una relación de aspecto elegida arbitrariamente de 6, y no hay razón para suponer que el flujo descendente en dicho ensayo corresponda al flujo de entrada para cada elemento de una pala de hélice. De hecho, la conclusión general extraída de una serie exhaustiva de ensayos, ^{[ 6 ]} en los que se midió la distribución de presión en 12 secciones de una hélice modelo que funcionaba en un túnel de viento, es que el coeficiente de sustentación del elemento de pala de la hélice difiere considerablemente del medido al mismo ángulo de ataque en un perfil aerodinámico con una relación de aspecto de 6. Esta es una de las mayores debilidades de la teoría simple de elementos de pala.

Otra debilidad es que no se considera la interferencia entre las palas de la hélice. Los elementos de las palas en cualquier radio determinado forman una cascada similar a un multiplano con desfase negativo, como se muestra en la figura 5. Cerca de las puntas, donde la separación es grande, la interferencia es muy pequeña, pero hacia la base de las palas es bastante grande.

En las hélices reales, existe una pérdida en la punta que la teoría de elementos de pala no considera. Por lo tanto, las fuerzas de empuje y torsión calculadas mediante la teoría son mayores para los elementos cercanos a la punta que las obtenidas experimentalmente. ^{[ 7 ]}

Para eliminar el efecto de escala , las pruebas en el túnel de viento con modelos de alas deben realizarse con el mismo número de Reynolds (escala) que los elementos correspondientes en las palas de la hélice. Las características del perfil aerodinámico medidas a una escala tan baja como, por ejemplo, una velocidad del aire de 30 mph con un perfil aerodinámico de 3 pulgadas de cuerda, muestran peculiaridades que no se encuentran cuando las pruebas se realizan a una escala comparable con la de los elementos de la hélice. Las características de la sección estándar de la hélice que se muestran en las figuras 11, 12, 13 y 14 se obtuvieron de pruebas con números de Reynolds altos en el Túnel de Densidad Variable de la NACA y, afortunadamente, para todas excepto la más gruesa de estas secciones hay muy poca diferencia en las características a números de Reynolds altos y bajos. Estos valores pueden usarse con una precisión razonable en cuanto a la escala para hélices que operan a velocidades de punta muy por debajo de la velocidad del sonido en el aire y, por lo tanto, relativamente libres de cualquier efecto de compresibilidad .

La escasa precisión de la teoría simple de elementos de pala queda muy bien demostrada en un informe de Durand y Lesley, ^{[ 8 ]} en el que calcularon el rendimiento de un gran número de hélices modelo (80) y compararon los valores calculados con los rendimientos reales obtenidos en pruebas realizadas con las propias hélices modelo. En palabras de los autores:

Las divergencias entre los dos conjuntos de resultados, si bien muestran ciertos elementos de coherencia, son en general demasiado grandes y están distribuidas de forma demasiado caprichosa como para justificar el uso de la teoría en esta forma más simple para fines distintos a las estimaciones aproximadas o para fines comparativos.

Los perfiles aerodinámicos se probaron en dos túneles de viento diferentes y en uno de ellos a dos velocidades de aire distintas, y las características de la hélice calculadas a partir de los tres conjuntos de datos de los perfiles aerodinámicos difieren hasta en un 28%, lo que ilustra de forma contundente la necesidad de realizar las pruebas de los perfiles aerodinámicos a la escala correcta.

A pesar de sus imprecisiones, la teoría simple de elementos de pala ha sido una herramienta útil para diseñadores de hélices experimentados. Con ella, un diseñador hábil que conozca los factores empíricos adecuados puede diseñar hélices que, por lo general, se ajustan bastante bien a las condiciones principales, ya que absorben la potencia del motor a una velocidad de rotación muy cercana a la óptima. Sin embargo, no son necesariamente las hélices más eficientes para su propósito, puesto que la teoría simple no es lo suficientemente precisa como para mostrar pequeñas diferencias de eficiencia debidas a cambios en la distribución del paso, la forma de la pala, etc.

Al elegir una hélice para analizar, es conveniente conocer sus características aerodinámicas para poder verificar la precisión de los resultados calculados. También es conveniente que el análisis se realice con una hélice que opere a una velocidad de punta relativamente baja para evitar cualquier efecto de compresibilidad y que funcione sin interferencias del cuerpo. Las únicas pruebas de hélices que cumplen todas estas condiciones son las de hélices modelo en un túnel de viento. Por lo tanto, tomaremos como ejemplo la hélice central o maestra de una serie de hélices de madera modelo de forma estándar de la Armada, probadas por el Dr. WF Durand en la Universidad de Stanford . ^{[ 9 ]} Se trata de una hélice de dos palas de 3 pies de diámetro, con un paso geométrico uniforme de 2,1 pies (o una relación paso-diámetro de 0,7). Las palas tienen secciones de hélice estándar basadas en el perfil aerodinámico RAF-6 (Fig. 6), y los anchos, espesores y ángulos de las palas son los que se indican en la primera parte de la Tabla I. En nuestro análisis, consideraremos que la hélice avanza a una velocidad de 40 mph y gira a una velocidad de 1800 rpm.

Para la sección al 75% del radio de la punta, el radio es de 1,125 pies, el ancho de la pala es de 0,198 pies, la relación de espesor es de 0,107, la curvatura inferior es cero y el ángulo de la pala β es de 16,6°.

La velocidad hacia adelante $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=40\ \mathrm {m.p.h.} \\&=40\mathrm {\frac {mi}{hr}} \times \mathrm {\frac {5280\,ft}{mi}} \times \mathrm {\frac {1\,hr}{3600\,sec}} \\&=58.65\mathrm {\frac {ft}{sec}} ,\end{aligned}}}$$

y $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=1800\,\mathrm {\frac {rev}{min}} \times \mathrm {\frac {1\,min}{60\,sec}} \\&=30\,\mathrm {\frac {rev}{sec}} \end{aligned}}}$$

El ángulo de trayectoria

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\arctan {\frac {V}{2\pi rn}}\\&=\arctan {\frac {58.65\mathrm {\frac {ft}{sec}} }{{\frac {2\pi \times 1.125\,\mathrm {ft} }{\mathrm {rev} }}\times 30\,\mathrm {\frac {rev}{sec}} }}\\&=15.5^{\circ }\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el ángulo de ataque es

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\beta -\phi \\&=16.6^{\circ }-15.5^{\circ }\\&=1.1^{\circ }\\\end{aligned}}}$

Según la figura 7, para una sección plana con una relación de espesor de 0,107 y un ángulo de ataque de 1,1°, γ = 3,0°, y según la figura 9, C _L = 0,425. (Para secciones con curvatura inferior, C _L debe corregirse de acuerdo con la relación dada en la figura 8, y γ toma el mismo valor que para una sección plana con curvatura superior únicamente).

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {C_{L}b}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}\\&={\frac {0.425\times 0.198}{0.2672^{2}\times 0.999}}\\&=1.180,\end{aligned}}}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{C}&=K\cos(\phi +\gamma )\\&=1.180\times \cos 18.5^{\circ }\\&=1.119.\\\end{aligned}}}$

También,

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{C}&=Kr\sin(\phi +\gamma )\\&=1.180\times 1.125\times \sin 18.5^{\circ }\\&=1.421.\end{aligned}}}$

Los cálculos de T _c y Q _c para seis elementos representativos de la hélice se presentan en forma tabular conveniente en la Tabla I, y los valores de T _c y Q _c se grafican en función del radio en la Fig. 9. Las curvas trazadas a través de estos puntos a veces se denominan curvas de distribución de par. Las áreas bajo la curva representan $${\displaystyle \int _{0}^{R}T_{c}dr}$$ y $${\displaystyle \int _{0}^{R}Q_{c}dr,}$$ Estas son las expresiones para el empuje y el par totales por pala por unidad de presión dinámica debida a la velocidad de avance. Las áreas pueden calcularse mediante un planímetro , teniendo en cuenta, por supuesto, las escalas de valores, o bien la integración puede realizarse de forma aproximada (pero con precisión suficiente) mediante la regla de Simpson .

Al aplicar la regla de Simpson, el radio se divide en un número par de partes iguales, por ejemplo, diez. La ordenada en cada división se puede obtener a partir de la curva de distribución. Si los elementos originales del álabe lo dividen en un número par de partes iguales, no es necesario trazar las curvas de distribución, pero estas resultan ventajosas porque muestran gráficamente la distribución del empuje y el par a lo largo del álabe. Además, sirven para verificar los cálculos, ya que los puntos incorrectos generalmente no forman una curva uniforme.

Si las abscisas se denotan por r y las ordenadas en las distintas divisiones por y ₁ , y ₂ , ..., y ₁₁ , según la regla de Simpson el área con diez divisiones iguales será $${\displaystyle \int _{0}^{R}F(r)\,dr={\frac {\Delta r}{3}}[y_{1}+2(y_{3}+y_{5}+y_{7}+y_{9})+4(y_{2}+y_{4}+y_{6}+y_{8}+y_{10})+y_{11}].}$$

Por lo tanto, el área bajo la curva de clasificación de empuje de nuestro ejemplo es

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{R}T_{c}dr&={\frac {0.15}{3}}[0+2(0.038+0.600+1.050+1.091)+4(0+0.253+0.863+1.120+0912)+0]\\&=0.9075,\end{aligned}}}$

y de igual manera $${\displaystyle \int _{0}^{R}Q_{c}\,dr=0.340.}$$

Las integraciones anteriores también se han realizado mediante un planímetro, y los resultados promedio de cinco ensayos coinciden con los obtenidos mediante la regla de Simpson con una diferencia de un cuarto de uno por ciento.

El empuje de la hélice en aire estándar es

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}T_{c}dr\\&={\frac {1}{2}}\times 0.002378\times 58.65^{2}\times 2\times 0.9075\\&=7.42\ \mathrm {lb.} ,\end{aligned}}}$

y el par es

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}Q_{c}dr\\&={\frac {1}{2}}\times 0.002378\times 58.65^{2}\times 2\times 0.340\\&=2.78\ \mathrm {lb.ft.} \end{aligned}}}$

La potencia absorbida por la hélice es

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=2\pi nQ\\&=2\times \pi \times 30\times 2.78\\&=524\ \mathrm {ft.lb./\ sec} .\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}HP&={\frac {524}{550}}\\&=0.953,\end{aligned}}}$

y la eficiencia es

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &={\frac {TV}{2\pi nQ}}\\&={\frac {7.42\times 58.65}{524}}\\&=0.830.\end{aligned}}}$

El rendimiento calculado anteriormente se compara con el medido en el túnel de viento de la siguiente manera:

La potencia calculada mediante la teoría simple de elementos de pala es, en este caso, un 11 % inferior a la real; el empuje es aproximadamente un 5  % menor, y la eficiencia es aproximadamente un 8 % mayor. Por supuesto, se habría obtenido un rendimiento diferente si se hubieran utilizado las características de la sección de la hélice obtenidas en ensayos con la misma serie de perfiles aerodinámicos en un túnel de viento distinto, pero los ensayos en túnel de densidad variable son probablemente los más fiables.

Se puede esclarecer la discrepancia entre el rendimiento calculado y el observado remitiéndose nuevamente a las pruebas de distribución de presión en una hélice modelo. ^{[ 6 ]} En estas pruebas se midió la distribución de presión en varias secciones de una pala de hélice mientras la hélice giraba en un túnel de viento, y se realizaron los tres conjuntos de pruebas siguientes en perfiles aerodinámicos correspondientes:

Los resultados de estas tres series de ensayos de perfiles aerodinámicos se muestran en la Figura 10, correspondiente a la sección a tres cuartos del radio de la punta, tal como se ha extraído del informe. Se observa que los coeficientes de fuerza resultante C _R coinciden bastante bien para la sección media del perfil aerodinámico de relación de aspecto 6 y la sección correspondiente del perfil aerodinámico especial de la pala de la hélice, pero que el coeficiente de fuerza resultante para todo el perfil aerodinámico de relación de aspecto 6 es considerablemente menor. Por lo tanto, es lógico que el empuje y la potencia calculados de una hélice sean demasiado bajos si se basan en las características del perfil aerodinámico para una relación de aspecto de 6.