Grupo Bloch

En matemáticas, el grupo de Bloch es un grupo de cohomología del complejo Bloch-Suslin, llamado así por Spencer Bloch y Andrei Suslin . Está estrechamente relacionado con la polilogaritmo , la geometría hiperbólica y la teoría K algebraica .

La función dilogaritmo es la función definida por la serie de potencias

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

Puede extenderse mediante continuación analítica, donde el camino de integración evita el corte de 1 a +∞

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\log(1-t) \sobre t}\,\mathrm {d} t.}$

La función de Bloch-Wigner está relacionada con la función dilogaritmo por

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|}$, si${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$

Esta función goza de varias propiedades destacables, por ejemplo:

• ${\displaystyle \operatorname {D} _ {2}(z)}$es un verdadero análisis sobre${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {D} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}(1-z)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {-z}{1-z}}\right).}$
• ${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.}$

La última ecuación es una variante de la ecuación funcional de Abel para el dilogaritmo (Abel 1881).

Sea K un cuerpo y defínalo como el grupo abeliano libre generado por los símbolos [ x ]. La ecuación funcional de Abel implica que D ₂ se anula en el subgrupo D ( K ) de Z ( K ) generado por los elementos ${\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]}$

${\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}$

Denotemos por A ( K ) el cociente de por el subgrupo D ( K ). El complejo de Bloch-Suslin se define como el siguiente complejo de cocadena , concentrado en los grados uno y dos ${\displaystyle \mathbb {Z} (K)}$

${\displaystyle \operatorname {B} ^{\bullet }:A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}}$, dónde ,${\displaystyle d[x]=x\wedge (1-x)}$

Luego el grupo de Bloch fue definido por Bloch (Bloch 1978)

${\displaystyle \operatorname {B} _{2}(K)=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Spec} (K),\operatorname {B} ^{\bullet })}$

El complejo Bloch-Suslin puede extenderse para ser una secuencia exacta

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\longrightarrow A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0}$

Esta afirmación se debe al teorema de Matsumoto sobre K ₂ para campos.

Si c denota el elemento y el campo es infinito, Suslin demostró (Suslin 1990) que el elemento c no depende de la elección de x , y ${\displaystyle [x]+[1-x]\in \operatorname {B} _{2}(K)}$

${\displaystyle \operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))=\operatorname {B} _{2}(K)/2c}$

donde GM( K ) es el subgrupo de GL( K ), que consiste en matrices monomiales , y BGM( K ) ⁺ es la construcción plus de Quillen . Además, sea K ₃ ^M el grupo K de Milnor , entonces existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\rightarrow 0}$

donde K ₃ ( K ) _ind = coker(K ₃ ^M ( K ) → K ₃ ( K )) y Tor( K ^* , K ^* ) ^~ es la única extensión no trivial de Tor( K ^* , K ^* ) por medio de Z /2.

La función de Bloch-Wigner , que se define en , tiene el siguiente significado: Sea un espacio hiperbólico tridimensional y su modelo de semiespacio. Se pueden considerar los elementos de como puntos en el infinito en . Un tetraedro, cuyos vértices están todos en el infinito, se llama tetraedro ideal . Denotamos a dicho tetraedro por y su volumen (con signo) por donde son los vértices. Entonces, bajo la métrica apropiada hasta constantes, podemos obtener su razón cruzada: ${\displaystyle D_{2}(z)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})}$${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle }$${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1}}$

${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)\ .}$

En particular, . Debido a la relación de cinco términos de , el volumen del límite del tetraedro ideal no degenerado es igual a 0 si y solo si ${\displaystyle D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle }$${\displaystyle D_{2}(z)}$${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})}$

${\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},..,{\hat {p}}_{i},..,p_{4}\right\rangle =0\ .}$

Además, dada una variedad hiperbólica , se puede descomponer ${\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$

${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})}$

donde son tetraedros ideales . cuyos vértices están en el infinito en . Aquí son ciertos números complejos con . Cada tetraedro ideal es isométrico a uno con sus vértices en para algunos con . Aquí está la razón cruzada de los vértices del tetraedro. Por lo tanto, el volumen del tetraedro depende solo de un único parámetro . (Neumann y Zagier 1985) demostraron que para el tetraedro ideal , donde es el dilogaritmo de Bloch-Wigner. Para la variedad hiperbólica general de 3 elementos se obtiene ${\displaystyle \Delta (z_{j})}$${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle {\text{Im}}\ z>0}$${\displaystyle 0,1,z,\infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\text{Im}}\ z>0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z)}$${\displaystyle D_{2}(z)}$

${\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}D_{2}(z)}$

pegándolos. El teorema de rigidez de Mostow garantiza un único valor del volumen con para todo . ${\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0}$${\displaystyle j}$

Mediante la sustitución del dilogaritmo por el trilogaritmo o incluso por polilogaritmos superiores, la noción de grupo de Bloch fue extendida por Goncharov (Goncharov 1991) y Zagier (Zagier 1990). Se conjetura ampliamente que esos grupos de Bloch generalizados B _n deberían estar relacionados con la K-teoría algebraica o la cohomología motívica . También hay generalizaciones del grupo de Bloch en otras direcciones, por ejemplo, el grupo de Bloch extendido definido por Neumann (Neumann 2004).

• Abel, NH (1881) [1826]. "Nota sobre la función ψ x = x + x 2 2 2 + x 3 3 2 + ⋯ + x n n 2 + ⋯ {\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{ 2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots } " (PDF) . En Sylow, L.; Mentira, S. (eds.). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel - Nouvelle édition, Tomo II (en francés). Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. págs. 189-193.(Este manuscrito de 1826 sólo se publicó póstumamente).
• Bloch, S. (1978). "Aplicaciones de la función dilogaritmo en la teoría K algebraica y la geometría algebraica". En Nagata, M (ed.). Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry . Tokio: Kinokuniya. págs. 103–114.
• Goncharov, AB (1991). "El trilogaritmo clásico, la teoría K algebraica de campos y las funciones zeta de Dedekind" (PDF) . Bull. AMS . págs. 155–162.
• Neumann, WD (2004). "Grupo de Bloch extendido y clase Cheeger-Chern-Simons". Grupo de Bloch extendido y clase Cheeger–Chern–Simons . Vol. 8. págs. 413–474. arXiv : math/0307092 . Bibcode :2003math......7092N. doi :10.2140/gt.2004.8.413. S2CID  9169851.
• Neumann, WD; Zagier, D. (1985). "Volúmenes de variedades tridimensionales hiperbólicas". Topología . 24 (3): 307–332. doi : 10.1016/0040-9383(85)90004-7 .
• Suslin, AA (1990). " K 3 {\displaystyle \operatorname {K} _{3}} de un cuerpo y el grupo de Bloch". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). págs. 180–199.
• Zagier, D. (1990). "Polilogaritmos, funciones zeta de Dedekind y la teoría K algebraica de campos". En van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J (eds.). Geometría Aritmética Algebraica . Boston: Birkhäuser. págs. 391–430.