Volumen hiperbólico

En el campo matemático de la teoría de nudos , el volumen hiperbólico de un enlace hiperbólico es el volumen del complemento del enlace con respecto a su métrica hiperbólica completa. El volumen es necesariamente un número real finito y es un invariante topológico del enlace. ^{[ 1 ]} Como invariante de enlace, fue estudiado por primera vez por William Thurston en relación con su conjetura de geometrización . ^{[ 2 ]}

Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera cuyo complemento (el espacio formado al eliminar el enlace de la 3-esfera) puede dotarse de una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , lo que le confiere la estructura de una 3-variedad hiperbólica , un cociente del espacio hiperbólico por un grupo que actúa libre y discontinuamente sobre él. Los componentes del enlace se convierten en cúspides de la 3-variedad, y la variedad misma tiene un volumen finito. Por la rigidez de Mostow , cuando el complemento de un enlace tiene una estructura hiperbólica, esta estructura está determinada de forma única, y cualquier invariante geométrica de la estructura es también un invariante topológica del enlace. En particular, el volumen hiperbólico del complemento es un invariante de nudo . Para que esté bien definido para todos los nudos o enlaces, el volumen hiperbólico de un nudo o enlace no hiperbólico se define a menudo como cero.

Solo hay un número finito de nudos hiperbólicos para cualquier volumen dado. ^{[ 2 ]} Una mutación de un nudo hiperbólico tendrá el mismo volumen, ^{[ 3 ]} por lo que es posible crear ejemplos con volúmenes iguales; de hecho, existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes de nudos distintos con volúmenes iguales. ^{[ 2 ]} En la práctica, el volumen hiperbólico ha demostrado ser muy eficaz para distinguir nudos, y se ha utilizado en algunos de los esfuerzos extensos de tabulación de nudos . El programa informático SnapPea de Jeffrey Weeks es la herramienta omnipresente que se utiliza para calcular el volumen hiperbólico de un enlace. ^{[ 1 ]}

De forma más general, el volumen hiperbólico puede definirse para cualquier 3-variedad hiperbólica . La variedad de Weeks tiene el menor volumen posible de cualquier variedad cerrada (una variedad que, a diferencia de los complementos de enlaces, no tiene cúspides); su volumen es aproximadamente 0,9427. ^{[ 5 ]}

Thurston y Jørgensen demostraron que el conjunto de números reales que son volúmenes hiperbólicos de 3-variedades orientables está bien ordenado , con tipo de orden ω ^ω . Para cada 0 ≤ k < l , cada volumen de una variedad con exactamente l cúspides es un punto límite de una secuencia de variedades con k cúspides, y toda secuencia convergente de volúmenes se puede obtener mediante cirugías de Dehn en una variedad en el volumen límite; los volúmenes de variedades cerradas son exactamente los puntos aislados . ^{[ 6 ]} El punto límite más pequeño en este conjunto de volúmenes viene dado por el complemento del nudo de figura ocho , ^{[ 7 ]} y el punto límite más pequeño de los puntos límite viene dado por el complemento del enlace de Whitehead . ^{[ 8 ]}

• " Volumen hiperbólico ", El atlas de nudos .