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Articulo de referencia

Teorema de Bloch

Isosuperficie del módulo al cuadrado de un estado de Bloch en una red de silicio Línea continua: Esquema de la parte real de un estado de Bloch típico en una dimensión. La línea...

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Isosuperficie del módulo al cuadrado de un estado de Bloch en una red de silicio
Línea continua: Esquema de la parte real de un estado de Bloch típico en una dimensión. La línea punteada corresponde al factor e i k · r . Los círculos claros representan átomos.

En física de la materia condensada , el teorema de Bloch establece que las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico pueden expresarse como ondas planas moduladas por funciones periódicas . El teorema lleva el nombre del físico suizo Felix Bloch , quien lo descubrió en 1929. [ 1 ] Matemáticamente, se escriben [ 2 ]

Función de Bloch

ψ(r)=miik⋅rtú(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}

dónder{\displaystyle \mathbf {r} }es posición,ψ{\displaystyle \psi }es la función de onda ,tú{\displaystyle u}es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, el vector de ondak{\displaystyle \mathbf {k} }es el vector de momento del cristal ,mi{\displaystyle e}es el número de Euler yi{\displaystyle i}es la unidad imaginaria .

Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch , y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en los sólidos cristalinos .

La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominadas electrones de Bloch (o, con menos frecuencia, ondas de Bloch ), es la base del concepto de estructuras de bandas electrónicas .

Estos autoestados se escriben con subíndices comoψnortek{\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}, dóndenorte{\displaystyle n}es un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismok{\displaystyle \mathbf {k} }(cada uno tiene un componente periódico diferentetú{\displaystyle u}). Dentro de una banda (es decir, para fijos)norte{\displaystyle n}),ψnortek{\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}varía continuamente conk{\displaystyle \mathbf {k} }, al igual que su energía. Además,ψnortek{\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}es único solo hasta un vector de red recíproca constanteK{\displaystyle \mathbf {K} }, o,ψnortek=ψnorte(k+K){\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}Por lo tanto, el vector de ondak{\displaystyle \mathbf {k} }puede restringirse a la primera zona de Brillouin de la red recíproca sin pérdida de generalidad .

Aplicaciones y consecuencias

Aplicabilidad

El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de electrones en un cristal, especialmente en la caracterización de sus propiedades electrónicas, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, la descripción mediante ondas de Bloch se aplica de forma más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en electromagnetismo da lugar a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico a cristales fonónicos . Generalmente se aborda en las diversas formulaciones de la teoría dinámica de la difracción .

Vector de onda

Una función de onda de Bloch (abajo) se puede descomponer en el producto de una función periódica (arriba) y una onda plana (centro). Los lados izquierdo y derecho representan el mismo estado de Bloch descompuesto de dos maneras diferentes, que involucran el vector de onda k₁ (izquierda) o k₂ ( derecha ). La diferencia ( k₁ − k₂ ) es un vector de la red recíproca . En todas las gráficas, el azul representa la parte real y el rojo la parte imaginaria .

Supongamos que un electrón se encuentra en un estado de Bloch. ψ(r)=miik⋅rtú(r),{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),} donde u es periódica con la misma periodicidad que la red cristalina. El estado cuántico real del electrón está completamente determinado porψ{\displaystyle \psi }, no k ni u directamente. Esto es importante porque k y u no son únicos. Específicamente, siψ{\displaystyle \psi }Se puede escribir como se indicó anteriormente usando k , o también usando ( k + K ) , donde K es cualquier vector de la red recíproca (véase la figura de la derecha). Por lo tanto, los vectores de onda que difieren en un vector de la red recíproca son equivalentes, en el sentido de que caracterizan el mismo conjunto de estados de Bloch.

La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos equivalentes, pero cada posible k es equivalente a un único vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, cada estado de Bloch tiene un k único . En consecuencia, la primera zona de Brillouin se utiliza a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo, en una estructura de bandas, y se emplea por la misma razón en muchos cálculos.

Cuando k se multiplica por la constante de Planck reducida , se obtiene el momento cristalino del electrón . En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular en función de cómo varía la energía de un estado de Bloch con k ; para más detalles, consulte el apartado de momento cristalino.

Ejemplo detallado

Para un ejemplo detallado en el que se desarrollan las consecuencias del teorema de Bloch en una situación específica, consulte el artículo Partícula en una red unidimensional (potencial periódico) .

Declaración

Teorema de Bloch : Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:

  • cada una de estas funciones de onda es un autoestado de energía,
  • cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de ondaψ{\displaystyle \psi }puede escribirse en la formaψ(r)=miik⋅rtú(r),{\displaystyle \;\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}dóndetú(r){\displaystyle u(\mathbf {r} )}tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, de tal manera quetúk(incógnita)=túk(incógnita+norte⋅a).{\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).}

Una segunda forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente [ 3 ].

Teorema de Bloch : para cualquier función de onda que satisfaga la ecuación de Schrödinger y para una traslación de un vector de red.a{\displaystyle \mathbf {a} }, existe al menos un vectork{\displaystyle \mathbf {k} }de tal manera que: ψk(incógnita+a)=miik⋅aψk(incógnita).{\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).}

Prueba

Utilizando la periodicidad de la red

El teorema de Bloch, al ser una afirmación sobre la periodicidad de la red, implica que todas las simetrías de esta demostración están codificadas como simetrías de traslación de la propia función de onda.

Demostración mediante periodicidad de la red

Fuente: [ 4 ]

Preliminares: Simetrías cristalinas, red cristalina y red recíproca.

La propiedad que define a un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza la cantidad adecuada, todos sus átomos terminan en las mismas posiciones. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría traslacional perfecta, pero es una aproximación útil).

Un cristal tridimensional tiene tres vectores de red primitivos a 1 , a 2 , a 3 . Si el cristal se desplaza por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma norte1a1+norte2a2+norte3a3,{\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},} donde n i son tres números enteros, entonces los átomos terminan en el mismo conjunto de ubicaciones en las que comenzaron.

Otro elemento útil en la demostración son los vectores de la red recíproca . Estos son tres vectores b 1 , b 2 , b 3 (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que a i · b i = 2 π , pero a i · b j = 0 cuando i ≠ j . (Para la fórmula de b i , véase vector de la red recíproca ).

Lema sobre los operadores de traducción

DejarT^norte1,norte2,norte3{\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}denotamos un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 (como se indicó anteriormente, n j son enteros). El siguiente hecho es útil para la demostración del teorema de Bloch:

Lema : Si una función de onda ψ es un autoestado de todos los operadores de traslación (simultáneamente), entonces ψ es un estado de Bloch.

Demostración del lema

Supongamos que tenemos una función de onda ψ que es un autoestado de todos los operadores de traslación. Como caso especial de esto, ψ(r+aj)=dojψ(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )} para j = 1, 2, 3 , donde C j son tres números (los autovalores ) que no dependen de r . Es útil escribir los números C j de una forma diferente, eligiendo tres números θ 1 , θ 2 , θ 3 con e 2 πiθ j = C j : ψ(r+aj)=mi2πiθjψ(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _ {j})=e^{2\pi i\theta _ {j}}\psi (\mathbf {r} )} Nuevamente, los θ j son tres números que no dependen de r . Definimos k = θ 1 b 1 + θ 2 b 2 + θ 3 b 3 , donde b j son los vectores de la red recíproca (ver arriba). Finalmente, definimos tú(r)=mi−ik⋅rψ(r).{\displaystyle u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.} Entonces tú(r+aj)=mi−ik⋅(r+aj)ψ(r+aj)=(mi−ik⋅rmi−ik⋅aj)(mi2πiθjψ(r))=mi−ik⋅rmi−2πiθjmi2πiθjψ(r)=tú(r).{\displaystyle {\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}} Esto demuestra que u tiene la periodicidad de la red. Dado queψ(r)=miik⋅rtú(r),{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}Eso demuestra que el estado es un estado Bloch.

Finalmente, estamos listos para la demostración principal del teorema de Bloch, que es la siguiente.

Como se indicó anteriormente, deje queT^norte1,norte2,norte3{\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}Denotamos un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , donde n i son enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traslacional, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, cada operador de traslación de este tipo conmuta con todos los demás. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y de cada posibleT^norte1,norte2,norte3{\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}operador. Esta base es la que buscamos. Las funciones de onda en esta base son autoestados de energía (porque son autoestados del hamiltoniano) y también son estados de Bloch (porque son autoestados de los operadores de traslación; véase el lema anterior).

Utilizando operadores

En esta demostración, todas las simetrías están codificadas como propiedades de conmutación de los operadores de traslación.

Demostración mediante operadores

Fuente: [ 5 ]

Definimos el operador de traslación T^norteψ(r)=ψ(r+Tnorte)=ψ(r+norte1a1+norte2a2+norte3a3)=ψ(r+Anorte){\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _ {\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}} con A=[a1a2a3],norte=(norte1norte2norte3){\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}} Utilizamos la hipótesis de un potencial periódico medio. U(incógnita+Tnorte)=U(incógnita){\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )} y la aproximación de electrones independientes con un hamiltoniano H^=pag^22metro+U(incógnita){\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )} Dado que el hamiltoniano es invariante para traslaciones, conmutará con el operador de traslación. [H^,T^norte]=0{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0} y ambos operadores tendrán un conjunto común de autofunciones. Por lo tanto, comenzamos a analizar las autofunciones del operador de traslación: T^norteψ(incógnita)=λnorteψ(incógnita){\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )} DadoT^norte{\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}es un operador aditivo T^norte1T^norte2ψ(incógnita)=ψ(incógnita+Anorte1+Anorte2)=T^norte1+norte2ψ(incógnita){\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )} Si sustituimos aquí la ecuación de autovalores y dividimos ambos lados porψ(incógnita){\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}tenemos λnorte1λnorte2=λnorte1+norte2{\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}

Esto es cierto para λnorte=misnorte⋅a{\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }} dóndes∈do{\displaystyle s\in \mathbb {C} }si utilizamos la condición de normalización sobre una única celda primitiva de volumen V 1=∫V|ψ(incógnita)|2dincógnita=∫V|T^norteψ(incógnita)|2dincógnita=|λnorte|2∫V|ψ(incógnita)|2dincógnita{\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} } y por lo tanto 1=|λnorte|2{\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}ys=ik{\displaystyle s=ik}dóndek∈R{\displaystyle k\in \mathbb {R} }. Finalmente, T^norteψ(incógnita)=ψ(incógnita+norte⋅a)=miiknorte⋅aψ(incógnita),{\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),} lo cual es cierto para una onda de Bloch, es decir, paraψk(incógnita)=miik⋅incógnitatúk(incógnita){\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}contúk(incógnita)=túk(incógnita+Anorte){\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}

Utilizando la teoría de grupos

Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta demostración es interesante porque aclara cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son solo traslaciones. Esto se hace típicamente para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo puntual y se utiliza para calcular la estructura de bandas, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupo cristalino específica como FCC o BCC y eventualmente una base adicional . [ 6 ] : 365–367 [ 7 ] En esta demostración también es posible notar cómo es clave que el grupo puntual adicional esté impulsado por una simetría en el potencial efectivo pero debe conmutar con el hamiltoniano.

Demostración con teoría de caracteres [ 6 ] : 345–348

Todas las traslaciones son unitarias y abelianas . Las traslaciones se pueden escribir en términos de vectores unitarios. τ=∑i=13norteiai{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}} Podemos considerarlos como operadores de transporte diario. τ^=τ^1τ^2τ^3{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}dóndeτ^i=norteia^i{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}

La conmutatividad de laτ^i{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}Los operadores dan tres subgrupos cíclicos conmutativos (dado que pueden generarse con un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreducibles de grupos abelianos son unidimensionales. [ 8 ]

Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son lo mismo. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación , que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, al ser cíclicos, tienen caracteres que son raíces apropiadas de la unidad . De hecho, tienen un generador.γ{\displaystyle \gamma }que obedecerá aγnorte=1{\displaystyle \gamma ^{n}=1}y por lo tanto el personajeχ(γ)norte=1{\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}. Nótese que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito numerable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traslación aquí) hay un límite paranorte→∞{\displaystyle n\to \infty }donde el personaje permanece finito.

Dado que el carácter es una raíz de la unidad, para cada subgrupo el carácter se puede escribir como χk1(τ^1(norte1,a1))=miik1norte1a1{\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}

Si introducimos la condición de contorno de Born-von Karman en el potencial: V(r+∑inorteiai)=V(r+L)=V(r){\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )} donde L es una periodicidad macroscópica en la direccióna{\displaystyle \mathbf {a} }que también puede verse como un múltiplo deai{\displaystyle a_{i}}dóndeL=∑inorteiai{\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}

Esto sustituye en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por un hamiltoniano efectivo simple. H^=−ℏ22metro∇2+V(r){\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )} induce una periodicidad con la función de onda: ψ(r+∑inorteiai)=ψ(r){\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}

Y para cada dimensión un operador de traslación con un período LPAG^ε|τi+Li=PAG^ε|τi{\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}

Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante por una traslación deLi{\displaystyle L_{i}}: miik1norte1a1=miik1(norte1a1+L1){\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}} y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica: k1norte1a1=k1(norte1a1+L1)−2πmetro1{\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}} dóndemetro1∈Z{\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }es un número entero yk1=2πmetro1L1{\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}

El vector de ondak1{\displaystyle k_{1}}identificar la representación irreducible de la misma manera quemetro1{\displaystyle m_{1}}, yL1{\displaystyle L_{1}}es una longitud periódica macroscópica del cristal en direccióna1{\displaystyle a_{1}}En este contexto, el vector de onda sirve como número cuántico para el operador de traslación.

Podemos generalizar esto para 3 dimensiones. χk1(norte1,a1)χk2(norte2,a2)χk3(norte3,a3)=miik⋅τ{\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}} y la fórmula genérica para la función de onda se convierte en: PAG^Rψj=∑αψαχαj(R){\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)} es decir, especializándolo para una traducción PAG^ε|τψ(r)=ψ(r)miik⋅τ=ψ(r+τ){\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})} Y hemos demostrado el teorema de Bloch.

En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable solo para grupos cíclicos y, por lo tanto, traslaciones, en una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres vienen dados por el grupo puntual finito específico .

Aquí también es posible ver cómo los caracteres (como invariantes de las representaciones irreducibles) pueden ser tratados como los bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreducibles mismas. [ 9 ]

Velocidad y masa efectiva

Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch, obtenemos H^ktúk(r)=[ℏ22metro(−i∇+k)2+U(r)]túk(r)=εktúk(r){\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )} con condiciones de contorno túk(r)=túk(r+R){\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )} Dado que esto se define en un volumen finito, esperamos una familia infinita de valores propios; aquík{\displaystyle {\mathbf {k} }}es un parámetro del hamiltoniano y por lo tanto llegamos a una "familia continua" de valores propiosεnorte(k){\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}dependiente del parámetro continuok{\displaystyle {\mathbf {k} }}y, por lo tanto, al concepto básico de una estructura de bandas electrónicas.

Prueba [ 10 ]

mik(miik⋅incógnitatúk(incógnita))=[−ℏ22metro∇2+U(incógnita)](miik⋅incógnitatúk(incógnita)){\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}

Nos mantenemos con mikmiik⋅incógnitatúk(incógnita)=−ℏ22metro∇⋅(ikmiik⋅incógnitatúk(incógnita)+miik⋅incógnita∇túk(incógnita))+U(incógnita)miik⋅incógnitatúk(incógnita)mikmiik⋅incógnitatúk(incógnita)=−ℏ22metro(ik⋅(ikmiik⋅incógnitatúk(incógnita)+miik⋅incógnita∇túk(incógnita))+ik⋅miik⋅incógnita∇túk(incógnita)+miik⋅incógnita∇2túk(incógnita))+U(incógnita)miik⋅incógnitatúk(incógnita)mikmiik⋅incógnitatúk(incógnita)=ℏ22metro(k2miik⋅incógnitatúk(incógnita)−2ik⋅miik⋅incógnita∇túk(incógnita)−miik⋅incógnita∇2túk(incógnita))+U(incógnita)miik⋅incógnitatúk(incógnita)miktúk(incógnita)=ℏ22metro(−i∇+k)2túk(incógnita)+U(incógnita)túk(incógnita){\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}

Esto muestra cómo el momento efectivo puede verse como compuesto de dos partes, pag^efectivo=−iℏ∇+ℏk,{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,} un impulso estándar−iℏ∇{\displaystyle -i\hbar \nabla }y un momento cristalinoℏk{\displaystyle \hbar \mathbf {k} }. Más precisamente, el momento cristalino no es un momento, sino que representa el momento de la misma manera que el momento electromagnético en el acoplamiento mínimo , y como parte de una transformación canónica del momento.

Para la velocidad efectiva podemos derivar

velocidad media de un electrón de Bloch

∂εnorte∂k=ℏ2metro∫drψnortek∗(−i∇)ψnortek=ℏmetro⟨pag^⟩=ℏ⟨v^⟩{\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }

Prueba [ 11 ]

Evaluamos los derivados∂εnorte∂k{\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}y∂2εnorte(k)∂ki∂kj{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}} dado que son los coeficientes de la siguiente expansión en q, donde q se considera pequeño con respecto a k.εnorte(k+q)=εnorte(k)+∑i∂εnorte∂kiqi+12∑ij∂2εnorte∂ki∂kjqiqj+O(q3){\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})} Dadoεnorte(k+q){\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}son los valores propios deH^k+q{\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }} Podemos considerar el siguiente problema de perturbación en q: H^k+q=H^k+ℏ2metroq⋅(−i∇+k)+ℏ22metroq2{\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}} La teoría de perturbaciones de segundo orden establece que minorte=minorte0+∫drψnorte∗V^ψnorte+∑norte′≠norte|∫drψnorte∗V^ψnorte|2minorte0−minorte′0+...{\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...} Para calcular hasta el orden lineal en q∑i∂εnorte∂kiqi=∑i∫drtúnortek∗ℏ2metro(−i∇+k)iqitúnortek{\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }} donde las integraciones se realizan sobre una celda primitiva o sobre todo el cristal, dado si la integral ∫drtúnortek∗túnortek{\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }} se normaliza en toda la célula o el cristal.

Podemos simplificar sobre q para obtener ∂εnorte∂k=ℏ2metro∫drtúnortek∗(−i∇+k)túnortek{\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }} y podemos reinsertar las funciones de onda completas ∂εnorte∂k=ℏ2metro∫drψnortek∗(−i∇)ψnortek{\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}

Para la masa efectiva

teorema de la masa efectiva

∂2εnorte(k)∂ki∂kj=ℏ2metroδij+(ℏ2metro)2∑norte′≠norte⟨nortek|−i∇i|norte′k⟩⟨norte′k|−i∇j|nortek⟩+⟨nortek|−i∇j|norte′k⟩⟨norte′k|−i∇i|nortek⟩εnorte(k)−εnorte′(k){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}

Prueba [ 11 ]

El término de segundo orden 12∑ij∂2εnorte∂ki∂kjqiqj=ℏ22metroq2+∑norte′≠norte|∫drtúnortek∗ℏ2metroq⋅(−i∇+k)túnorte′k|2εnortek−εnorte′k{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}} De nuevo conψnortek=|nortek⟩=miikincógnitatúnortek{\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}12∑ij∂2εnorte∂ki∂kjqiqj=ℏ22metroq2+∑norte′≠norte|⟨nortek|ℏ2metroq⋅(−i∇)|norte′k⟩|2εnortek−εnorte′k{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}} Eliminandoqi{\displaystyle q_{i}}yqj{\displaystyle q_{j}}tenemos el teorema ∂2εnorte(k)∂ki∂kj=ℏ2metroδij+(ℏ2metro)2∑norte′≠norte⟨nortek|−i∇i|norte′k⟩⟨norte′k|−i∇j|nortek⟩+⟨nortek|−i∇j|norte′k⟩⟨norte′k|−i∇i|nortek⟩εnorte(k)−εnorte′(k){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}

La cantidad de la derecha multiplicada por un factor.1ℏ2{\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}se denomina tensor de masa efectivaMETRO(k){\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}[ 12 ] y podemos usarlo para escribir una ecuación semiclasica para unportador de cargaen una banda [ 13 ]

Ecuación semiclasica de segundo orden del movimiento para un portador de carga en una banda

METRO(k)a=∓mi(mi+v(k)×B){\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)}

dóndea{\displaystyle \mathbf {a} }es una aceleración . Esta ecuación es análoga a la aproximación de tipo onda de De Broglie [ 14 ].

Ecuación semiclasica de primer orden del movimiento del electrón en una banda

ℏk˙=−mi(mi+v×B){\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}

Como interpretación intuitiva, ambas ecuaciones anteriores se asemejan formalmente y están en una analogía semiclasica con la segunda ley de Newton para un electrón en una fuerza de Lorentz externa .

Advertencia matemática

Matemáticamente, un teorema riguroso como el teorema de Bloch no puede existir en mecánica cuántica: los valores espectrales de una estructura de bandas en un cristal sólido o un sistema reticular pertenecen al espectro continuo , para el cual no existen autoestados de norma finita en el espacio de Hilbert, es decir, no pueden existir autoestados con energía finita o probabilidad finita (véase la descomposición del espectro ), porque los autovalores pertenecen al espectro puntual por definición. Por lo tanto, todos los cálculos de los físicos en el teorema de Bloch con descomposiciones de autoestados en un espacio de Hilbert son, en cierto sentido, puramente formales: las series de descomposición no convergen en el espacio de Hilbert, y ninguna función propiamente periódica espacial puede ser un estado de norma finita en todo el espacio de Hilbert.

Las descomposiciones de funciones continuas periódicas, de forma similar a Bloch, pueden realizarse en espacios de funciones acotadas o continuas acotadas, pero no en espacios de funciones de cuadrado integrable sobre todo el espacio x, que sería el entorno de espacio de Hilbert requerido para la mecánica cuántica.

En Física Matemática , como alternativa, se pueden obtener diferentes descomposiciones rigurosas que también proporcionan la estructura de bandas, explotando la simetría de la red basada en una descomposición integral directa del espacio de Hilbert . [ 15 ] [ 16 ] Mediante este método, el operador hamiltoniano se descompone en una familia dependiente de parámetros de los llamados operadores hamiltonianos reducidos en una familia correspondiente de espacios de Hilbert y con dominios de definición correspondientes (por ejemplo, caracterizados por diferentes condiciones de contorno). Cada uno de estos hamiltonianos tiene (en general) un espectro de puntos discretos con autoestados finitos de multiplicidad finita, correspondientes a los cálculos de autovalores del físico. Superponer estos estados con la integral directa expulsaría los estados del espacio de Hilbert original (y, posiblemente, proporcionaría solo autoestados generalizados en un espacio mayor, por ejemplo, en el espacio superior de una tripleta de Gelfand ), pero los espectros de estos hamiltonianos se combinan en el espectro de banda continua del hamiltoniano original.

El concepto del estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 [ 17 ] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, la misma matemática subyacente también fue descubierta independientemente varias veces: por George William Hill (1877), [ 18 ] Gaston Floquet (1883), [ 19 ] y Alexander Lyapunov (1892). [ 20 ] Como resultado, son comunes diversas nomenclaturas: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se denomina teoría de Floquet (o, en ocasiones, teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : [ 21 ]d2ydt2+F(t)y=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,} donde f ( t ) es un potencial periódico. Las ecuaciones periódicas unidimensionales específicas incluyen el modelo de Kronig-Penney y la ecuación de Mathieu .

Matemáticamente, varios teoremas similares al teorema de Bloch se interpretan, por ejemplo, en términos de caracteres unitarios de un grupo reticular y se aplican a la geometría espectral . [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

La teoría de Floquet no suele desarrollarse en un espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable respecto a la variable independiente periódica, sino en espacios de Banach de funciones continuas o diferenciables, o en espacios de Fréchet o nucleares. Por lo tanto, los métodos empleados en estos ámbitos no se aplican directamente al espacio de Hilbert requerido en la mecánica cuántica y exigen una adaptación adecuada, como el uso de una integral directa en un espacio de Hilbert.

Véase también

Referencias

  1. ^ Bloch, F. (1929). Über die quantenmechanik der elektronen in kristallgittern. Zeitschrift für physik, 52(7), 555-600.
  2. ↑ Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-14286-7.
  3. ↑ Ziman, JM (1972). Principios de la teoría de los sólidos (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 17–20 . ISBN   0521297338.
  4. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 134
  5. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 137
  6. 1 2 Dresselhaus, MS (2002). "Aplicaciones de la teoría de grupos a la física de sólidos" (PDF) . MIT . Archivado (PDF) del original el 1 de noviembre de 2019. Recuperado el 12 de septiembre de 2020 .
  7. ↑ El espectro vibracional y el calor específico de un cristal cúbico centrado en las caras, Robert B. Leighton
  8. ↑ Roy, Ricky (2 de mayo de 2010). "Teoría de la representación" (PDF) . Universidad de Puget Sound.
  9. ↑ Representaciones de grupos y análisis armónico de Euler a Langlands, Parte II
  10. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 140
  11. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 765 Apéndice E
  12. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 228 
  13. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 229 
  14. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 227 
  15. ↑ Reed, Michael; Simon, Barry (1978). Métodos de física matemática moderna - IV. Análisis de operadores . Elsevier, Academic Press. pág. 279 y ss. ISBN  978-0-08-057045-7.
  16. ↑ Avron, J.; Grossmann, A.; Rodriguez, R. (1974). "Hamiltonianos en la teoría de sólidos de un electrón. I." Reports on Mathematical Physics . 5 (1): 113– 120. doi : 10.1016/0034-4877(74)90020-2 .
  17. ↑ Félix Bloch (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 ( 7– 8): 555– 600. Bibcode : 1929ZPhy...52..555B . doi : 10.1007/BF01339455 . S2CID 120668259 . 
  18. ↑ George William Hill (1886). "Sobre la parte del movimiento del perigeo lunar que es función de los movimientos medios del sol y la luna" . Acta Math . 8 : 1–36 . doi : 10.1007/BF02417081 .Esta obra fue publicada y distribuida inicialmente de forma privada en 1877.
  19. ↑ Gastón Floquet (1883). "Sobre las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88 . doi : 10.24033/asens.220 .
  20. ↑ Alexander Mihailovich Lyapunov (1992). El problema general de la estabilidad del movimiento . Londres: Taylor and Francis.Traducido por AT Fuller a partir de la traducción al francés de Edouard Davaux (1907) de la tesis original rusa (1892).
  21. ↑ Magnus, W .; Winkler, S. (2004). La ecuación de Hill . Courier Dover. pág. 11. ISBN  0-486-49565-5.
  22. ↑ Kuchment, P. (1982), Teoría de Floquet para ecuaciones diferenciales parciales , RUSS MATH SURV., 37, 1–60
  23. ↑ Katsuda, A.; Sunada, T (1987). "Homología y geodésicas cerradas en una superficie de Riemann compacta". Amer. J. Math . 110 (1): 145– 156. doi : 10.2307/2374542 . JSTOR 2374542 . 
  24. ↑ Kotani M; Sunada T. (2000). "Mapas de Albanese y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor". Comm. Math. Phys . 209 (3): 633– 670. Bibcode : 2000CMaPh.209..633K . doi : 10.1007/s002200050033 . S2CID 121065949 . 

Lecturas adicionales

  • Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Nueva York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
  • Dresselhaus, MS (2010). Teoría de grupos: aplicación a la física de la materia condensada . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1OCLC 692760083​​ 
  • H. Föll. "Potenciales periódicos y teorema de Bloch - lecciones de "Semiconductores I"" La Universidad de Kiel. "
  • MSP Eastham (1973). La teoría espectral de las ecuaciones diferenciales periódicas . Textos de matemáticas. Edimburgo: Scottish Academic Press.
  • J. Gazalet; S. Dupont; JC Kastelik; Q. Rolland y B. Djafari-Rouhani (2013). "Un estudio tutorial sobre ondas que se propagan en medios periódicos: cristales electrónicos, fotónicos y fonónicos. Percepción del teorema de Bloch en los dominios real y de Fourier" . Wave Motion . 50 (3): 619– 654. Bibcode : 2013WaMot..50..619G . doi : 10.1016/j.wavemoti.2012.12.010 .