Secuencia espectral

Fijemos una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo , y un entero no negativo.${\displaystyle r_{0}}$Una secuencia espectral cohomológica es una secuencia${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$de objetos${\displaystyle E_{r}}$y endomorfismos${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$, de tal manera que para cada${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$, la homología de${\displaystyle E_{r}}$con respecto a${\displaystyle d_{r}}$.

Por lo general, los isomorfismos se suprimen y escribimos${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$en cambio. Un objeto${\displaystyle E_{r}}$se llama hoja (como en una hoja de papel ), o a veces página o término ; un endomorfismo${\displaystyle d_{r}}$se denomina mapa de frontera o diferencial . A veces${\displaystyle E_{r+1}}$se denomina objeto derivado de${\displaystyle E_{r}}$.

En realidad, las secuencias espectrales ocurren principalmente en la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo R (o haces doblemente graduados de módulos sobre un haz de anillos), es decir, cada hoja es un R-módulo bigrado.${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$ En este caso, una sucesión espectral cohomológica es una sucesión${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$de módulos R bigradados${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$y para cada módulo la suma directa de endomorfismos${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$de doble titulación${\displaystyle (r,1-r)}$, de tal manera que para cada${\displaystyle r\geq r_{0}}$Sostiene que:

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$.

La notación utilizada aquí se llama grado complementario . Algunos autores escriben ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$en cambio, donde${\displaystyle d=p+q}$es el grado total . Dependiendo de la secuencia espectral, el mapa de límites en la primera hoja puede tener un grado que corresponde a r = 0, r = 1 o r = 2. Por ejemplo, para la secuencia espectral de un complejo filtrado, descrito más adelante, r ₀ = 0, pero para la secuencia espectral de Grothendieck , r ₀ = 2. Normalmente r ₀ es cero, uno o dos. En la situación no graduada descrita anteriormente, r ₀ es irrelevante.

En su mayoría, los objetos de los que hablamos son complejos de cadena , que aparecen en orden descendente (como el anterior) o ascendente. En este último caso, al reemplazar${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$con${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$y${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$con${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{pr,q+r-1}^{r}}$(doble titulación)${\displaystyle (-r,r-1)}$), se recibe la definición de una secuencia espectral homológica de forma análoga al caso cohomológico.

El conjunto de secuencias espectrales cohomológicas forma una categoría: un morfismo de secuencias espectrales.${\displaystyle f:E\to E'}$es por definición una colección de mapas${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$que sean compatibles con los diferenciales, es decir${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$y con los isomorfismos dados entre la cohomología del r- ^ésimo paso y el ⁠${\displaystyle (r+1)}$^{Hojas n-} ésimas de E y E ' , respectivamente:${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$En el caso de doble gradación, también deben respetar la graduación:${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.}$

Un producto de copa le da una estructura de anillo a un grupo de cohomología, convirtiéndolo en un anillo de cohomología . Por lo tanto, es natural considerar también una sucesión espectral con una estructura de anillo. Sea${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$Sea una sucesión espectral de tipo cohomológico. Decimos que tiene estructura multiplicativa si (i)${\displaystyle E_{r}}$son (doblemente graduadas) álgebras graduadas diferenciales y (ii) la multiplicación en${\displaystyle E_{r+1}}$es inducido por eso en${\displaystyle E_{r}}$mediante el paso a la cohomología.

Un ejemplo típico es la secuencia espectral de Serre cohomológica para una fibración.${\displaystyle F\to E\to B}$, cuando el grupo de coeficientes es un anillo R. Tiene la estructura multiplicativa inducida por los productos de copa de fibra y base en el${\displaystyle E_{2}}$-página. ^{[ 1 ]} Sin embargo, en general el término limitante${\displaystyle E_{\infty }}$no es isomorfo como álgebra graduada a H( E ; R ). ^{[ 2 ]} La estructura multiplicativa puede ser muy útil para calcular diferenciales en la secuencia. ^{[ 3 ]}

Otra técnica para construir secuencias espectrales es el método de pares exactos de William Massey . Los pares exactos son particularmente comunes en topología algebraica. A pesar de ello, son poco populares en álgebra abstracta , donde la mayoría de las secuencias espectrales provienen de complejos filtrados.

Para definir pares exactos, comenzamos nuevamente con una categoría abeliana. Como antes, en la práctica esta suele ser la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo. Un par exacto es un par de objetos ( A , C ), junto con tres homomorfismos entre estos objetos: f  : A → A , g  : A → C y h  : C → A, sujetos a ciertas condiciones de exactitud:

• Imagen f = Núcleo g
• Imagen g = Núcleo h
• Imagen h = Núcleo f

Abreviaremos estos datos como ( A , C , f , g , h ). Los pares exactos se suelen representar con triángulos. Veremos que C corresponde al _término E₀ de la secuencia espectral y que A son datos auxiliares.

Para pasar a la siguiente hoja de la secuencia espectral, formaremos el par derivado . Establecemos:

• d = g o h
• A ' = f ( A )
• C ' = Ker d / Im d
• f ' = f | _{A '} , la restricción de f a A '
• h '  : C ' → A ' es inducido por h . Es fácil ver que h induce tal aplicación.
• g '  : A ' → C ' se define en los elementos de la siguiente manera: Para cada a en A', escribimos a como f(b) para algún b en A. g ' ( a ) se define como la imagen de g ( b ) en C ' . En general , g ' se puede construir utilizando uno de los teoremas de incrustación para categorías abelianas.

Desde aquí es sencillo comprobar que ( A ' , C ' , f ' , g ' , h ' ) es un par exacto. C ' corresponde al término E ₁ de la secuencia espectral. Podemos iterar este procedimiento para obtener pares exactos ( A ^{( n )} , C ^{( n )} , f ^{( n )} , g ^{( n )} , h ^{( n )} ).

Para construir una secuencia espectral , sea E _n C ^{( n )} y d _n g ( ^{n ) o} h ⁽ n ^{) .}

Un tipo muy común de secuencia espectral proviene de un complejo de cocadenas filtrado , ya que induce naturalmente un objeto bigraduado. Consideremos un complejo de cocadenas.${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$junto con una filtración descendente, ${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$. Requerimos que el mapa de límites sea compatible con la filtración, es decir${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$y que la filtración es exhaustiva , es decir, la unión del conjunto de todos${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$es todo el complejo de cadena${\textstyle C^{\bullet }}$. Entonces existe una secuencia espectral con${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$y${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$. ^{[ 5 ]} Más adelante, también asumiremos que la filtración es de Hausdorff o separada , es decir, la intersección del conjunto de todos${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$es cero.

La filtración es útil porque proporciona una medida de proximidad a cero: a medida que p aumenta,${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ se acerca cada vez más a cero. Construiremos una secuencia espectral a partir de esta filtración donde los colímites y cociclos en hojas posteriores se acercan cada vez más a los colímites y cociclos en el complejo original. Esta secuencia espectral está doblemente graduada por el grado de filtración p y el grado complementario q = n − p .

Otra secuencia espectral común es la secuencia espectral de un complejo doble. Un complejo doble es una colección de objetos C _i,j para todos los enteros i y j junto con dos diferenciales, d ^I y d ^II . Se supone que d ^I disminuye i , y se supone que d ^II disminuye j . Además, suponemos que los diferenciales anticonmutan , de modo que d ^I d ^II + d ^II d ^I = 0. Nuestro objetivo es comparar las homologías iteradas.${\displaystyle H_{i}^{\textrm {I}}(H_{j}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$y${\displaystyle H_{j}^{\textrm {II}}(H_{i}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$Lo haremos filtrando nuestro complejo doble de dos maneras diferentes. Estas son nuestras filtraciones:

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {I}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {II}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

Para obtener una secuencia espectral, nos reduciremos al ejemplo anterior. Definimos el complejo total T ( C _•,• ) como el complejo cuyo n ′ º término es${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$y cuyo diferencial es d ^I + d ^II . Este es un complejo porque d ^I y d ^II son diferenciales anticonmutativos. Las dos filtraciones en C _i,j dan dos filtraciones en el complejo total:

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {II}}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

Para demostrar que estas secuencias espectrales proporcionan información sobre las homologías iteradas, calcularemos los términos E ⁰ , E ¹ , y E ² de la filtración I en T ( C _•,• ). El término E ⁰ es claro:

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

donde n = p + q .

Para hallar el término E ¹ , necesitamos determinar d ^I + d ^II en E ⁰ . Nótese que el diferencial debe tener grado − 1 con respecto a n , por lo que obtenemos una aplicación

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q-1}}$

En consecuencia, el diferencial en E ⁰ es la aplicación C _{p , q} → C _{p , q − 1} inducida por d ^I + d ^II . Pero d ^I tiene el grado incorrecto para inducir tal aplicación, por lo que d ^I debe ser cero en E ⁰ . Eso significa que el diferencial es exactamente d ^II , por lo que obtenemos

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet }).}$

^Para hallar E2 , necesitamos determinar

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p+1,\bullet })}$

Debido a que E ¹ era exactamente la homología con respecto a d ^II , d ^II es cero en E ^1. En consecuencia, obtenemos

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Al usar la otra filtración obtenemos una secuencia espectral diferente con un término E ^{2 similar:}

${\displaystyle {}^{\textrm {II}}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Lo que resta es encontrar una relación entre estas dos secuencias espectrales. Resultará que, a medida que r aumenta, las dos secuencias se asemejarán lo suficiente como para permitir comparaciones útiles.

Sea E _r una sucesión espectral, comenzando, por ejemplo, con r = 1. Entonces existe una sucesión de subobjetos

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

de tal manera que${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$; de hecho, recursivamente dejamos${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$y dejar${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$sea ​​así que ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$son el núcleo y la imagen de${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

Luego dejamos${\displaystyle \textstyle Z_{\infty }=\bigcap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\bigcup _{r}B_{r}}$y

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$;

Se le llama término límite . (Por supuesto, tal${\displaystyle E_{\infty }}$No es necesario que exista en la categoría, pero esto generalmente no representa un problema, ya que, por ejemplo, en la categoría de módulos existen tales límites o porque, en la práctica, una secuencia espectral con la que se trabaja tiende a degenerar; solo hay un número finito de inclusiones en la secuencia anterior.

Decimos que una sucesión espectral converge débilmente si existe un objeto graduado.${\displaystyle H^{\bullet }}$con una filtración${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$por cada${\displaystyle n}$y por cada${\displaystyle p}$existe un isomorfismo${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$. Converge a${\displaystyle H^{\bullet }}$si la filtración${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$es Hausdorff, es decir${\displaystyle \textstyle \bigcap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$. Nosotros escribimos

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

para significar que siempre que p + q = n ,${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$converge a${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$Decimos que una secuencia espectral${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$colinda con${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$(el tope de la secuencia espectral)) si para cada${\displaystyle p,q}$hay${\displaystyle r(p,q)}$de tal manera que para todos${\displaystyle r\geq r(p,q)}$,${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$. Entonces${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$es el término límite. La secuencia espectral es regular o degenera en${\displaystyle r_{0}}$si los diferenciales${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$son cero para todos${\displaystyle r\geq r_{0}}$. Si en particular hay${\displaystyle r_{0}\geq 2}$, de tal manera que el${\displaystyle r_{0}^{th}}$Si una hoja se concentra en una sola fila o una sola columna, decimos que se colapsa . En símbolos, escribimos:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

La p indica el índice de filtración. Es muy común escribir el${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$término en el lado izquierdo del tope, porque este es el término más útil de la mayoría de las secuencias espectrales. La secuencia espectral de un complejo de cadena sin filtrar degenera en la primera hoja (ver primer ejemplo): como no sucede nada después de la hoja cero, la hoja límite${\displaystyle E_{\infty }}$es lo mismo que${\displaystyle E_{1}}$.

La secuencia exacta de cinco términos de una secuencia espectral relaciona ciertos términos de bajo grado y términos E _{∞ .}

Observe que tenemos una cadena de inclusiones:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

Podemos preguntarnos qué sucede si definimos

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$es un candidato natural para el pilar de esta secuencia espectral. La convergencia no es automática, pero ocurre en muchos casos. En particular, si la filtración es finita y consta de exactamente r pasos no triviales, entonces la secuencia espectral degenera después de la r- ésima hoja. La convergencia también se produce si tanto el complejo como la filtración están acotados inferiormente o superiormente.

Para describir con más detalle el tope de nuestra secuencia espectral, observe que tenemos las siguientes fórmulas:

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

Para ver qué implica esto para${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$recordemos que asumimos que la filtración estaba separada. Esto implica que a medida que r aumenta, los núcleos se contraen, hasta que nos quedamos con${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$. Para${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$, recordemos que asumimos que la filtración era exhaustiva. Esto implica que a medida que r aumenta, las imágenes crecen hasta que llegamos a${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$. Concluimos

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$,

Es decir, el punto de unión de la secuencia espectral es la p -ésima parte graduada de la (p+q) -ésima homología de C. Si nuestra secuencia espectral converge, entonces concluimos que:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

Utilizando el pilar para un complejo filtrado, encontramos que:

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

En general, las dos calificaciones en ⁠${\displaystyle H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$son distintas. A pesar de esto, todavía es posible obtener información útil de estas dos secuencias espectrales.

Consideremos una secuencia espectral donde${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$desaparece para siempre${\displaystyle p}$menos que algunos${\displaystyle p_{0}}$y para todos${\displaystyle q}$menos que algunos${\displaystyle q_{0}}$. Si${\displaystyle p_{0}}$y${\displaystyle q_{0}}$se puede elegir que sea cero, esto se llama una secuencia espectral del primer cuadrante . La secuencia es adyacente porque${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$se aplica a todos${\displaystyle i\geq 0}$si${\displaystyle r>p}$y${\displaystyle r>q+1}$Para ver esto, observe que el dominio o el codominio del diferencial es cero para los casos considerados. Visualmente, las hojas se estabilizan en un rectángulo creciente (ver imagen superior). Sin embargo, la secuencia espectral no tiene por qué degenerar, ya que los mapas diferenciales podrían no ser todos cero a la vez. De manera similar, la secuencia espectral también converge si${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$desaparece para siempre${\displaystyle p}$mayor que algunos${\displaystyle p_{0}}$y para todos${\displaystyle q}$mayor que algunos${\displaystyle q_{0}}$.

Dejar${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$sea ​​una secuencia espectral homológica tal que${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$para todos los valores de p distintos de 0 y 1. Visualmente, esta es la secuencia espectral con${\displaystyle E^{2}}$-página

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

Los diferenciales de la segunda página tienen grado (-2, 1), por lo que son de la forma

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

Todos estos mapas son cero ya que son

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$,${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

Por lo tanto, la secuencia espectral degenera:${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$. Digamos que converge a${\displaystyle H_{*}}$con una filtración

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

de tal manera que${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$. Entonces${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$,${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$,${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$,${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$, etc. Por lo tanto, existe la secuencia exacta: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$.

A continuación, dejemos${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$Sea una secuencia espectral cuya segunda página consta únicamente de dos líneas q = 0, 1. Esto no necesariamente degenera en la segunda página, pero sí degenera en la tercera página, ya que los diferenciales allí tienen grado (-3, 2). Nota:${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$, ya que el denominador es cero. De manera similar,${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$. De este modo,

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$.

Ahora bien, supongamos que la secuencia espectral converge a H con una filtración F como en el ejemplo anterior. Dado que${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$,${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$, etc., tenemos:${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$. Al juntarlo todo, se obtiene: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

El cálculo de la sección anterior se generaliza de forma directa. Consideremos una fibración sobre una esfera:

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

con n al menos 2. Existe la secuencia espectral de Serre :

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}$;

es decir,${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)}$con algo de filtración${\displaystyle F_{\bullet }}$.