Álgebra booleana (estructura)

En matemáticas , un álgebra booleana o retículo booleano es un retículo distributivo complementado . Este tipo de estructura algebraica captura propiedades esenciales tanto de las operaciones de conjuntos como de las operaciones lógicas . Un álgebra booleana puede considerarse una generalización de un álgebra de conjuntos potencia o un cuerpo de conjuntos , o bien sus elementos pueden verse como valores de verdad generalizados . También es un caso especial de un álgebra de De Morgan y un álgebra de Kleene (con involución) .

Cada álgebra booleana da lugar a un anillo booleano , y viceversa, correspondiendo la multiplicación de anillos a la conjunción o intersección ∧, y la adición de anillos a la disyunción exclusiva o diferencia simétrica (no disyunción ∨). Sin embargo, la teoría de los anillos booleanos presenta una asimetría inherente entre ambos operadores, mientras que los axiomas y teoremas del álgebra booleana expresan la simetría de la teoría descrita por el principio de dualidad . ^{[ 1 ]}

Historia

El término "álgebra booleana" honra a George Boole (1815-1864), un matemático inglés autodidacta. Introdujo el sistema algebraico inicialmente en un pequeño folleto, El análisis matemático de la lógica , publicado en 1847 en respuesta a una controversia pública entre Augustus De Morgan y William Hamilton , y posteriormente en un libro más extenso, Las leyes del pensamiento , publicado en 1854. La formulación de Boole difiere de la descrita anteriormente en algunos aspectos importantes. Por ejemplo, la conjunción y la disyunción en Boole no eran un par dual de operaciones. El álgebra booleana surgió en la década de 1860, en artículos escritos por William Jevons y Charles Sanders Peirce .

La primera presentación sistemática del álgebra booleana y los retículos distributivos se debe a las Vorlesungen de Ernst Schröder de 1890. El primer tratamiento extenso del álgebra booleana en inglés es Universal Algebra de AN Whitehead de 1898. El álgebra booleana como una estructura algebraica axiomática en el sentido axiomático moderno comienza con un artículo de Edward V. Huntington de 1904. ^[²^] El álgebra booleana alcanzó la madurez como matemáticas serias con el trabajo de Marshall Stone en la década de 1930, y con Lattice Theory de Garrett Birkhoff de 1940. En la década de 1960, Paul Cohen , Dana Scott y otros encontraron nuevos y profundos resultados en lógica matemática y teoría de conjuntos axiomáticos utilizando ramificaciones del álgebra booleana, a saber, forcing y modelos con valores booleanos .

Definición

Un álgebra booleana es un conjunto $A$ , equipado con dos operaciones binarias $\land$ (llamada "encontrar" o "y"), $\lor$ (llamada "unir" o "o"), una operación unaria $\neg$ (llamada "complemento" o "no") y dos elementos $0$ y $1$ en $A$ (llamados "fondo" y "cierre", o elemento "menor" y "mayor", también denotados por los símbolos $⊥$ y $⊤$ , respectivamente), tales que para todos los elementos $a$ , $b$ y $c$ de $A$ , se cumplen los siguientes axiomas : ^{[ 3 ]}

Sin embargo, tenga en cuenta que la ley de absorción e incluso la ley de asociatividad pueden excluirse del conjunto de axiomas, ya que pueden derivarse de los otros axiomas (véase Propiedades demostradas ).

Un álgebra booleana con un solo elemento se denomina álgebra booleana trivial o álgebra booleana degenerada . (En trabajos anteriores, algunos autores exigían que $0$ y $1$ fueran elementos distintos para excluir este caso).

De los últimos tres pares de axiomas anteriores (identidad, distributividad y complementos), o del axioma de absorción, se deduce que

a = b \land a

si y solo si

a

\lor

b

=

b

.

La relación $\leq$ definida por $a \leq b$ si se cumplen estas condiciones equivalentes, es un orden parcial con el elemento mínimo 0 y el elemento máximo 1. La intersección $a \land b$ y la unión $a \lor b$ de dos elementos coinciden con su ínfimo y supremo , respectivamente, con respecto a ≤.

Los primeros cuatro pares de axiomas constituyen una definición de un retículo acotado .

De los primeros cinco pares de axiomas se deduce que cualquier complemento es único.

El conjunto de axiomas es autodual en el sentido de que si se intercambia $\lor$ por $\land$ y $0$ por $1$ en un axioma, el resultado es nuevamente un axioma. Por lo tanto, al aplicar esta operación a un álgebra booleana (o retículo booleano), se obtiene otra álgebra booleana con los mismos elementos; se la denomina su dual . ^{[ 4 ]}

Ejemplos

El álgebra booleana no trivial más simple, el álgebra booleana de dos elementos , tiene solo dos elementos, $0$ y $1$ , y se define mediante las siguientes reglas:

Tiene aplicaciones en lógica , interpretando $0$ como falso , $1$ como verdadero , $\land$ como conjunción , $\lor$ como disyunción y $\neg$ como negación . Las expresiones que involucran variables y operaciones booleanas representan formas proposicionales, y se puede demostrar que dos de dichas expresiones son iguales utilizando los axiomas anteriores si y solo si las formas proposicionales correspondientes son lógicamente equivalentes .

El álgebra booleana de dos elementos también se utiliza para el diseño de circuitos en ingeniería eléctrica ; ^{[ nota 1 ]} aquí 0 y 1 representan los dos estados diferentes de un bit en un circuito digital , típicamente alto y bajo voltaje . Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de dichas expresiones son iguales para todos los valores de las variables si y solo si los circuitos correspondientes tienen el mismo comportamiento de entrada-salida. Además, cualquier comportamiento de entrada-salida posible puede modelarse mediante una expresión booleana adecuada.

El álgebra booleana de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras booleanas, porque una ecuación que involucra varias variables es generalmente verdadera en todas las álgebras booleanas si y solo si es verdadera en el álgebra booleana de dos elementos (lo cual se puede comprobar mediante un algoritmo de fuerza bruta trivial para un número pequeño de variables). Esto se puede usar, por ejemplo, para demostrar que las siguientes leyes ( teoremas de consenso ) son generalmente válidas en todas las álgebras booleanas:
- $(a \lor b) \land (\neg a \lor c) \land (b \lor c) \equiv (a \lor b) \land (\neg a \lor c)$
- $(a \land b) \lor (\neg a \land c) \lor (b \land c) \equiv (a \land b) \lor (\neg a \land c)$

El conjunto potencia (conjunto de todos los subconjuntos) de cualquier conjunto no vacío $S$ constituye un álgebra booleana, un álgebra de conjuntos , con las operaciones $\lor := \cup$ (unión) y $\land := \cap$ (intersección). El elemento más pequeño, 0, es el conjunto vacío y el elemento más grande, $1,$ es el propio conjunto $S.$

Después del álgebra booleana de dos elementos, el álgebra booleana más simple es la definida por el conjunto potencia de dos átomos:

El conjunto $A$ de todos los subconjuntos de $S$ que son finitos o cofinitos es un álgebra booleana y un álgebra de conjuntos llamada álgebra finito-cofinita . Si $S$ es infinito, entonces el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de $S$ , que se llama filtro de Fréchet , es un ultrafiltro libre en $A.$ Sin embargo, el filtro de Fréchet no es un ultrafiltro en el conjunto potencia de $S.$
Partiendo del cálculo proposicional con $κ$ símbolos de sentencia, se forma el álgebra de Lindenbaum (es decir, el conjunto de sentencias del cálculo proposicional módulo equivalencia lógica ). Esta construcción da lugar a un álgebra booleana. De hecho, se trata del álgebra booleana libre sobre $κ$ generadores. Una asignación de verdad en el cálculo proposicional es entonces un homomorfismo de álgebra booleana de esta álgebra al álgebra booleana de dos elementos.
Dado cualquier conjunto linealmente ordenado $L$ con un elemento mínimo, el álgebra de intervalos es el álgebra booleana más pequeña de subconjuntos de $L$ que contienen todos los intervalos semiabiertos $[a, b)$ tales que $a$ pertenece a $L$ y $b pertenece a$ $L$ o es igual a $\infty$ . Las álgebras de intervalos son útiles en el estudio de las álgebras de Lindenbaum-Tarski ; toda álgebra booleana numerable es isomorfa a un álgebra de intervalos.

Para cualquier número natural $n$ , el conjunto de todos los divisores positivos de $n$ , que define $a \leq b$ si $a$ divide $a b$ , forma un retículo distributivo . Este retículo es un álgebra booleana si y solo si $n$ es libre de cuadrados . Los elementos inferior y superior de esta álgebra booleana son los números naturales $1$ y $n$ , respectivamente. El complemento de $a$ viene dado por $n / a$ . La intersección y la unión de $a$ y $b$ vienen dadas por el máximo común divisor ( $mcd$ ) y el mínimo común múltiplo ( $mcm$ ) de $a$ y $b$ , respectivamente. La suma de anillos $a + b$ viene dada por $mcm(a, b) / mcd(a, b)$ . La imagen muestra un ejemplo para $n = 30.$ Como contraejemplo, considerando el no libre de cuadrados $n = 60$ , el máximo común divisor de 30 y su complemento 2 sería 2, mientras que debería ser el elemento inferior 1.
Otros ejemplos de álgebras booleanas surgen de espacios topológicos : si $X$ es un espacio topológico, entonces la colección de todos los subconjuntos de $X$ que son a la vez abiertos y cerrados forma un álgebra booleana con las operaciones $\lor := \cup$ (unión) y $\land := \cap$ (intersección).
Si $R$ es un anillo arbitrario, entonces su conjunto de idempotentes centrales , que es el conjunto

$A=\left\{e\in R:e^{2}=e{\text{ y }}ex=xe\;{\text{ para todo }}\;x\in R\right\},$ se convierte en un álgebra booleana cuando sus operaciones se definen por $e \lor f := e + f - ef$ y $e \land f := ef$ .

Homomorfismos e isomorfismos

Un homomorfismo entre dos álgebras booleanas $A$ y $B$ es una función $f : A \to B$ tal que para todo $a$ , $b$ en $A$ :

f (a \lor b) = f (a) \lor f (b)

,

f (a \land b) = f (a) \land f (b)

,

f (0) = 0

,

f (1) = 1

.

De ello se deduce que $f (\neg a) = \neg f (a)$ para todo $a$ en $A$ . La clase de todas las álgebras booleanas, junto con esta noción de morfismo, forma una subcategoría completa de la categoría de retículos.

Un isomorfismo entre dos álgebras booleanas $A$ y $B$ es un homomorfismo $f : A \to B$ con un homomorfismo inverso, es decir, un homomorfismo $g : B \to A$ tal que la composición $g \circ f : A \to A$ es la función identidad en $A$ , y la composición $f \circ g : B \to B$ es la función identidad en $B.$ Un homomorfismo de álgebras booleanas es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .

Anillos booleanos

Cada álgebra booleana $(A, \land, \lor)$ da lugar a un anillo $(A, +, \cdot)$ definiendo $a + b := (a \land \neg b) \lor (b \land \neg a) = (a \lor b) \land \neg(a \land b)$ (esta operación se llama diferencia simétrica en el caso de conjuntos y XOR en el caso de lógica) y $a \cdot b := a \land b$ . El elemento cero de este anillo coincide con el 0 del álgebra booleana; el elemento identidad multiplicativa del anillo es el $1$ del álgebra booleana. Este anillo tiene la propiedad de que $a \cdot a = a$ para todo $a$ en $A$ ; los anillos con esta propiedad se llaman anillos booleanos .

Por el contrario, si se da un anillo booleano $A$ , podemos convertirlo en un álgebra booleana definiendo $x \lor y := x + y + (x \cdot y)$ y $x \land y := x \cdot y$ . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Dado que estas dos construcciones son inversas entre sí, podemos decir que todo anillo booleano surge de un álgebra booleana, y viceversa. Además, una aplicación $f : A \to B$ es un homomorfismo de álgebras booleanas si y solo si es un homomorfismo de anillos booleanos. Las categorías de anillos booleanos y álgebras booleanas son equivalentes ; ^{[ 7 ]} de hecho, las categorías son isomorfas .

Hsiang (1985) dio un algoritmo basado en reglas para comprobar si dos expresiones arbitrarias denotan el mismo valor en cada anillo booleano. ^{[ 8 ]}

De manera más general, Boudet, Jouannaud y Schmidt-Schauß (1989) ^{[ 9 ]} dieron un algoritmo para resolver ecuaciones entre expresiones arbitrarias de anillos booleanos. Empleando la similitud de anillos booleanos y álgebras booleanas, ambos algoritmos tienen aplicaciones en la demostración automatizada de teoremas .

Ideales y filtros

Un ideal del álgebra booleana $A$ es un subconjunto no vacío $I$ tal que para todo $x$ , $y$ en $I$ se cumple que $x \lor y$ en $I$ y para todo $a$ en $A$ se cumple $que a \land x$ en $I.$ Esta noción de ideal coincide con la noción de ideal de anillo en el anillo booleano $A.$ Un ideal $I$ de $A$ se llama primo si $I \neq A$ y si $a \land b$ en $I$ siempre implica $a$ en $I$ o $b$ en $I.$ Además, para todo $a \in A$ se cumple que $a \land - a = 0 \in I$ , y entonces si $I$ es primo se cumple que $a \in I$ o $- a \in I$ para todo $a \in A.$ Un ideal $I$ de $A$ se llama maximal si $I \neq A$ y si el único ideal que contiene propiamente $a I$ es $A$ mismo. Para un ideal $I$ , si $a \notin I$ y $-a \notin I$ , entonces $I \cup {a}$ o $I \cup {-a} está$ contenido en otro ideal propio $J.$ Por lo tanto, dicho $I no es maximal, y en consecuencia$ $, las nociones de ideal primo e ideal maximal son equivalentes en las álgebras booleanas. Además, estas nociones coinciden con las de$ ideal primo e ideal maximal en el anillo booleano $A$ , propias de la teoría de anillos .

El dual de un ideal es un filtro . Un filtro del álgebra booleana $A$ es un subconjunto no vacío $p$ tal que para todo $x$ , $y$ en $p$ tenemos $x \land y$ en $p$ y para todo $a$ en $A$ tenemos $a \lor x$ en $p$ . El dual de un ideal maximal (o primo ) en un álgebra booleana es un ultrafiltro . Los ultrafiltros pueden describirse alternativamente como morfismos bivaluados de $A$ al álgebra booleana de dos elementos. La afirmación de que todo filtro en un álgebra booleana puede extenderse a un ultrafiltro se llama lema del ultrafiltro y no puede demostrarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), si ZF es consistente . Dentro de ZF, el lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección . El lema del ultrafiltro tiene muchas formulaciones equivalentes: toda álgebra booleana tiene un ultrafiltro , todo ideal en un álgebra booleana puede extenderse a un ideal primo , etc.

Representaciones

Se puede demostrar que toda álgebra booleana finita es isomorfa al álgebra booleana de todos los subconjuntos de un conjunto finito. Por lo tanto, el número de elementos de toda álgebra booleana finita es una potencia de dos .

El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que toda álgebra booleana $A$ es isomorfa al álgebra booleana de todos los conjuntos clopen en algún espacio topológico ( compacto totalmente disconexo de Hausdorff ). ^{[ 10 ]}

Axiomática

La primera axiomatización de retículos/álgebras booleanas en general fue dada por el filósofo y matemático inglés Alfred North Whitehead en 1898. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Incluía los axiomas anteriores y, adicionalmente, $x \lor 1 = 1$ y $x \land 0 = 0$ . En 1904, el matemático estadounidense Edward V. Huntington (1874–1952) dio probablemente la axiomatización más parsimoniosa basada en $\land$ , $\lor$ , $\neg$ , incluso demostrando las leyes de asociatividad (véase el recuadro). ^{[ 13 ]} También demostró que estos axiomas son independientes entre sí. ^{[ 14 ]}

En 1933, Huntington estableció la siguiente elegante axiomatización para el álgebra booleana. ^{[ 15 ]} Requiere solo una operación binaria $+$ y un símbolo funcional unario $n$ , que se lee como 'complemento', que satisfacen las siguientes leyes:

Conmutatividad : $x + y = y + x$ .
Asociatividad : $(x + y) + z = x + (y + z)$ .
Ecuación de Huntington : $n (n (x) + y) + n (n (x) + n (y)) = x$ .

Herbert Robbins preguntó inmediatamente: Si la ecuación de Huntington se reemplaza por su dual, a saber:

Ecuación de Robbins : $n (n (x + y) + n (x + n (y))) = x$ ,

¿Forman (1), (2) y (4) una base para el álgebra booleana? Si llamamos a (1), (2) y (4) un álgebra de Robbins , la pregunta entonces es: ¿Es toda álgebra de Robbins un álgebra booleana? Esta pregunta (que llegó a conocerse como la conjetura de Robbins ) permaneció abierta durante décadas y se convirtió en una pregunta favorita de Alfred Tarski y sus estudiantes.

En 1996, William McCune, del Laboratorio Nacional Argonne , basándose en trabajos previos de Larry Wos, Steve Winker y Bob Veroff, respondió afirmativamente a la pregunta de Robbins: Toda álgebra de Robbins es un álgebra booleana. Fundamental para la demostración de McCune fue el programa informático EQP que él mismo diseñó. Para una simplificación de la demostración de McCune, véase Dahn (1998). ^{[ 16 ]}

Se han realizado trabajos adicionales para reducir el número de axiomas; véase Axiomas mínimos para el álgebra booleana .

Generalizaciones

Al eliminar el requisito de existencia de una unidad de los axiomas del álgebra booleana, se obtienen las "álgebras booleanas generalizadas". Formalmente, un retículo distributivo $B$ es un retículo booleano generalizado si tiene un elemento mínimo $0$ y para cualesquiera elementos $a$ y $b$ en $B$ tales que $a \leq b$ , existe un elemento $x$ tal que $a \land x = 0$ y $a \lor x = b$ . Definiendo $a \ b$ como el único $x$ tal que $(a \land b) \lor x = a$ y $(a \land b) \land x = 0$ , decimos que la estructura $( B , ∧, ∨, \, 0)$ es un álgebra booleana generalizada , mientras que $(B, \lor, 0)$ es un semiretículo booleano generalizado . Los retículos booleanos generalizados son precisamente los ideales de los retículos booleanos.

Una estructura que satisface todos los axiomas de las álgebras booleanas, excepto los dos axiomas de distributividad, se denomina retículo ortocomplementado . Los retículos ortocomplementados surgen de forma natural en la lógica cuántica como retículos de subespacios lineales cerrados para espacios de Hilbert separables .

Notas

↑ Estrictamente hablando, los ingenieros eléctricos tienden a utilizar estados adicionales para representar otras condiciones del circuito, como la alta impedancia; véase IEEE 1164 o IEEE 1364 .

Referencias

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Obras citadas

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Referencias generales

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Enlaces externos

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