Estadísticas de Bose-Einstein

Supongamos que tenemos una serie de niveles de energía, etiquetados por índice${\displaystyle i}$, cada nivel tiene energía${\displaystyle \varepsilon _{i}}$y que contiene un total de${\displaystyle n_{i}}$partículas. Supongamos que cada nivel contiene${\displaystyle g_{i}}$subniveles distintos, todos con la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes, en cuyo caso son distinguibles entre sí, pero aún así pueden tener la misma energía. El valor de${\displaystyle g_{i}}$asociado con el nivel${\displaystyle i}$Se denomina "degeneración" de ese nivel de energía. Cualquier número de bosones puede ocupar el mismo subnivel.

Dejar${\displaystyle w(n,g)}$sea ​​el número de formas de distribuir${\displaystyle n}$partículas entre las${\displaystyle g}$subniveles de un nivel de energía. Solo hay una forma de distribuirlos.${\displaystyle n}$partículas con un subnivel, por lo tanto${\displaystyle w(n,1)=1}$Es fácil ver que hay${\displaystyle (n+1)}$formas de distribución${\displaystyle n}$partículas en dos subniveles que escribiremos como: $${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

Con un poco de reflexión (ver Notas a continuación) se puede observar que el número de formas de distribuir${\displaystyle n}$partículas en tres subniveles es $${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$ de modo que $${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$ donde hemos utilizado el siguiente teorema que involucra coeficientes binomiales : $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

Continuando con este proceso, podemos ver que${\displaystyle w(n,g)}$es simplemente un coeficiente binomial (Ver notas a continuación) $${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

Por ejemplo, los números de población para dos partículas en tres subniveles son 200, 110, 101, 020, 011 o 002 para un total de seis que es igual a 4!/(2!2!). El número de maneras en que un conjunto de números de ocupación${\displaystyle n_{i}}$lo que se puede realizar es el producto de las formas en que se puede poblar cada nivel de energía individual: $${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$ donde la aproximación supone que${\displaystyle n_{i}\gg 1}$.

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto de ${\displaystyle n_{i}}$para el cual W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número total fijo de partículas y una energía total fija. Los máximos de${\displaystyle W}$y${\displaystyle \ln(W)}$ocurren al mismo valor de ${\displaystyle n_{i}}$y, dado que es más fácil de lograr matemáticamente, maximizaremos la segunda función. Restringimos nuestra solución utilizando multiplicadores de Lagrange que forman la función: $${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

Utilizando el${\displaystyle n_{i}\gg 1}$aproximación y uso de la aproximación de Stirling para los factoriales${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$da $${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$ donde K es la suma de una serie de términos que no son funciones de la${\displaystyle n_{i}}$. Tomando la derivada con respecto a${\displaystyle n_{i}}$y estableciendo el resultado a cero y resolviendo para${\displaystyle n_{i}}$, produce los números de población de Bose-Einstein: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo sobre estadística de Maxwell-Boltzmann , se puede observar que: $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$ que, utilizando la famosa relación de Boltzmann${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$se convierte en un enunciado de la segunda ley de la termodinámica a volumen constante, y de ello se deduce que${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$y${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$donde S es la entropía ,${\displaystyle \mu }$es el potencial químico , k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura , de modo que finalmente: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior a veces se escribe de la siguiente manera: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$ dónde${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$es la actividad absoluta , como señaló McQuarrie. ^{[ 17 ]}

Tenga en cuenta también que cuando no se conservan los números de partículas, eliminar la restricción de conservación de los números de partículas es equivalente a establecer${\displaystyle \alpha }$y por lo tanto el potencial químico${\displaystyle \mu }$a cero. Este será el caso para fotones y partículas masivas en equilibrio mutuo y la distribución resultante será la distribución de Planck .

Una forma mucho más sencilla de pensar en la función de distribución de Bose-Einstein es considerar que n partículas se denotan por bolas idénticas y g capas se marcan por g-1 particiones de línea. Es evidente que las permutaciones de estas n bolas y g  -  1 particiones darán diferentes maneras de organizar los bosones en diferentes niveles de energía. Digamos que para 3 (= n ) partículas y 3 (= g ) capas, por lo tanto ( g -1) = 2 , la disposición podría ser |●●|● , o ||●●● , o |●|●● , etc. Por lo tanto, el número de permutaciones distintas de n + ( g -1) objetos que tienen n elementos idénticos y ( g - 1) elementos idénticos será:     $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

O

El propósito de estas notas es aclarar algunos aspectos de la derivación de la distribución de Bose-Einstein para principiantes. La enumeración de casos (o formas) en la distribución de Bose-Einstein se puede reformular de la siguiente manera. Consideremos un juego de lanzamiento de dados en el que hay${\displaystyle n}$dados, y cada dado toma valores en el conjunto${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$, para${\displaystyle g\geq 1}$Las restricciones del juego son que el valor de un dado${\displaystyle i}$, denotado por${\displaystyle m_{i}}$, tiene que ser mayor o igual que el valor del dado${\displaystyle (i-1)}$, denotado por${\displaystyle m_{i-1}}$, en el lanzamiento anterior, es decir,${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$Por lo tanto, una secuencia válida de lanzamientos de dados puede describirse mediante una n -tupla.${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$, de tal manera que${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$. Dejar${\displaystyle S(n,g)}$denotemos el conjunto de estas n- tuplas válidas:

Entonces la cantidad${\displaystyle w(n,g)}$( definido anteriormente como el número de formas de distribuir${\displaystyle n}$partículas entre las${\displaystyle g}$subniveles de un nivel de energía) es la cardinalidad de${\displaystyle S(n,g)}$, es decir, el número de elementos (o n- tuplas válidas) en${\displaystyle S(n,g)}$. Por lo tanto, el problema de encontrar una expresión para${\displaystyle w(n,g)}$se convierte en el problema de contar los elementos en${\displaystyle S(n,g)}$.

Ejemplo n = 4, g = 3:$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$$${\displaystyle w(4,3)=15}$$(hay${\displaystyle 15}$elementos en${\displaystyle S(4,3)}$)

Subconjunto${\displaystyle (a)}$se obtiene fijando todos los índices${\displaystyle m_{i}}$a${\displaystyle 1}$, excepto por el último índice,${\displaystyle m_{n}}$, que se incrementa desde${\displaystyle 1}$a${\displaystyle g=3}$. Subconjunto${\displaystyle (b)}$se obtiene fijando${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$y aumentando${\displaystyle m_{3}}$de${\displaystyle 2}$a${\displaystyle g=3}$Debido a la restricción${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$en los índices en${\displaystyle S(n,g)}$, el índice${\displaystyle m_{4}}$debe tomar automáticamente valores en${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$La construcción de subconjuntos${\displaystyle (c)}$y${\displaystyle (d)}$sigue el mismo camino.

Cada elemento de${\displaystyle S(4,3)}$puede pensarse como un multiconjunto de cardinalidad${\displaystyle n=4}$; los elementos de dicho multiconjunto se toman del conjunto${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$de cardinalidad${\displaystyle g=3}$y el número de tales multiconjuntos es el coeficiente del multiconjunto$${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

De manera más general, cada elemento de${\displaystyle S(n,g)}$es un multiconjunto de cardinalidad${\displaystyle n}$(número de dados) con elementos tomados del conjunto${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$de cardinalidad${\displaystyle g}$(número de valores posibles de cada dado) y el número de tales multiconjuntos, es decir,${\displaystyle w(n,g)}$es el coeficiente del multiconjunto

que es exactamente la misma que la fórmula para${\displaystyle w(n,g)}$, como se derivó anteriormente con la ayuda de un teorema que involucra coeficientes binomiales, a saber:

Para comprender la descomposición

o por ejemplo,${\displaystyle n=4}$y${\displaystyle g=3}$$${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

reorganicemos los elementos de${\displaystyle S(4,3)}$como sigue $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

Claramente, el subconjunto${\displaystyle (\alpha )}$de${\displaystyle S(4,3)}$es lo mismo que el conjunto $${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

Al eliminar el índice${\displaystyle m_{4}=3}$(mostrado en rojo con doble subrayado ) en el subconjunto${\displaystyle (\beta )}$de${\displaystyle S(4,3)}$, se obtiene el conjunto $${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

En otras palabras, existe una correspondencia uno a uno entre el subconjunto${\displaystyle (\beta )}$de${\displaystyle S(4,3)}$y el conjunto${\displaystyle S(3,2)}$. Nosotros escribimos $${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

De igual modo, es fácil ver que $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$$${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$$${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

Así podemos escribir $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$ o más generalmente,

y dado que los conjuntos $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$ no se intersecan, por lo tanto tenemos

con la convención de que

Continuando con el proceso, llegamos a la siguiente fórmula. $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$ Utilizando la convención (7) ₂ anterior, obtenemos la fórmula

teniendo en cuenta que para${\displaystyle q}$y${\displaystyle p}$siendo constantes, tenemos

Entonces se puede verificar que (8) y (2) dan el mismo resultado para${\displaystyle w(4,3)}$,${\displaystyle w(3,3)}$,${\displaystyle w(3,2)}$, etc.