Método del nudo de frontera

En matemáticas numéricas, el método del nudo de frontera (BKM) se propone como un esquema alternativo de colocación de funciones de distancia sin malla de tipo frontera.

En las últimas décadas se ha observado un auge en la investigación de técnicas numéricas sin malla para ecuaciones diferenciales parciales (EDP), dado que la construcción de una malla en el método de elementos finitos estándar y el método de elementos de contorno no es trivial, especialmente para contornos móviles y problemas de dimensiones superiores. El método de nudos de contorno se diferencia de otros métodos basados ​​en soluciones fundamentales , como el método de elementos de contorno , el método de soluciones fundamentales y el método de contorno singular , en que no requiere técnicas especiales para corregir la singularidad. El método de nudos de contorno es verdaderamente sin malla, espectralmente convergente (observaciones numéricas), simétrico (EDP autoadjuntas), sin integración y fácil de aprender e implementar. El método se ha probado con éxito en las ecuaciones de Helmholtz, difusión, convección-difusión y Poisson con dominios 2D y 3D muy irregulares.

El método BKM es básicamente una combinación de la función de distancia, la solución general no singular y el método de reciprocidad dual (DRM). La función de distancia se emplea en el BKM para aproximar los términos no homogéneos mediante el DRM, mientras que la solución general no singular de la ecuación diferencial parcial conduce a una formulación de frontera única para la solución homogénea. Al prescindir de la solución fundamental singular, el BKM elimina la controvertida frontera artificial del método de soluciones fundamentales. Algunos experimentos numéricos preliminares demuestran que el BKM puede producir excelentes resultados con un número relativamente pequeño de nodos para diversos problemas lineales y no lineales.

Consideremos los siguientes problemas,

(1)${\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega }$

(2)${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}}$

(3)${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}}$

dónde${\displaystyle L}$es el operador diferencial,${\displaystyle \Omega }$representa el dominio computacional,${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$y${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$denotan los límites de Dirichlet y Neumann respectivamente, satisfechos${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$y${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$El BKM emplea la solución general no singular del operador${\displaystyle L}$para aproximar la solución numérica de la siguiente manera:

(4)${\displaystyle u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$

dónde${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}}$denota la distancia euclidiana,${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$¿Se satisface la solución general?

(5)${\displaystyle L\phi =0}$

Al emplear la técnica de colocación para satisfacer las condiciones de contorno (2) y (3),

(6)${\displaystyle {\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}}$y${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}}$denota los puntos de colocación ubicados en el límite de Dirichlet y en el límite de Neumann respectivamente. Los coeficientes desconocidos${\displaystyle \alpha _{i}}$puede determinarse de forma única mediante la ecuación (6) anterior. Y entonces la solución BKM en cualquier ubicación del dominio computacional puede evaluarse mediante la formulación (4).

Desde hace tiempo se ha señalado que el método de elementos de contorno (BEM) es un método alternativo al método de elementos finitos (FEM) y al método de volúmenes finitos (FVM) para dominios infinitos, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos , gracias a su reducibilidad dimensional. Sin embargo, los principales inconvenientes del BEM son el elevado coste computacional para evaluar la integración de la solución fundamental singular y para generar o remallar la malla superficial. El método de soluciones fundamentales (MFS) ^{[ 1 ]} ha surgido en la última década para mitigar estos inconvenientes y está recibiendo cada vez más atención. El MFS no requiere integración, convergencia espectral ni malla.

Como su nombre lo indica, la solución fundamental de las ecuaciones que rigen el sistema se utiliza como función base en el método sin malla (MFS). Para evitar la singularidad de la solución fundamental, se requiere un límite artificial fuera del dominio físico, lo cual ha representado un obstáculo importante para la amplia utilización del MFS, ya que dicho límite ficticio puede causar inestabilidad computacional. El método sin malla (BKM) se clasifica como un tipo de método sin malla que no utiliza malla ni límite artificial.

El BKM ha sido ampliamente probado desde entonces. En ^{[ 2 ]} el BKM se utiliza para resolver la ecuación de Laplace, la ecuación de Helmholtz y las ecuaciones de Helmholtz de parámetros variables; en ^{[ 3 ]} por analogía con la interpolación RBF de Hermite de Fasshauer, se propone un esquema BKM simétrico en presencia de condiciones de contorno mixtas; en ^{[ 4 ]} se realizan investigaciones numéricas sobre la convergencia del BKM en el análisis de problemas homogéneos de Helmholtz, Helmholtz modificado y de convección-difusión; en ^{[ 5 ]} el BKM se emplea para tratar la geometría complicada de problemas de Helmholtz y de convección-difusión de dos y tres dimensiones; en ^{[ 6 ]} la vibración de membrana bajo condiciones de contorno de tipo mixto se investiga mediante el método de nudo de contorno simétrico; en ^{[ 7 ]} el BKM se aplica a algunos problemas inversos de Helmholtz; en ^{[ 8 ]} el BKM resuelve ecuaciones de Poisson; En ^{[ 9 ]} el BKM calcula ecuaciones de Helmholtz no homogéneas inversas de Cauchy; en ^{[ 10 ]} el BKM simula los problemas anisotrópicos a través de la distancia geodésica; en ^{[ 11 ] [ 12 ]} se investigan las relaciones entre el número de condición, el número de condición efectivo y las regularizaciones; en ^{[ 13 ]} se examina la conducción de calor en un material funcionalmente graduado no lineal mediante el BKM; en ^{[ 14 ]} el BKM también se utiliza para resolver la ecuación de Eikonal no lineal.

• Método de soluciones fundamentales
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