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Método de frontera singular

Figura 1. Esquema del problema y distribución de nodos mediante MFS: (a) problemas interiores, (b) problemas exteriores ( haga clic para ver las imágenes ampliadas ). Figura 2. ...

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Figura 1. Esquema del problema y distribución de nodos mediante MFS: (a) problemas interiores, (b) problemas exteriores ( haga clic para ver las imágenes ampliadas ).
Figura 2. Esquema del problema y distribución de nodos mediante SBM: (c) problemas interiores, (d) problemas exteriores ( haga clic para ver las imágenes ampliadas ).

En el análisis numérico , el método de frontera singular (SBM) pertenece a una familia de técnicas de colocación de frontera sin malla que incluyen el método de soluciones fundamentales (MFS), [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] el método de nudos de frontera (BKM), [ 4 ] el método sin malla regularizado (RMM), [ 5 ] el método de partículas de frontera (BPM), [ 6 ] el MFS modificado, [ 7 ] y otros. Esta familia de métodos de colocación de forma fuerte está diseñada para evitar la integración numérica singular y la generación de malla en el método de elementos de frontera (BEM) tradicional en la solución numérica de problemas de valor de frontera con nodos de frontera, en los que se conoce explícitamente una solución fundamental de la ecuación gobernante.

La característica más destacada del SBM es superar el límite ficticio del método de solución fundamental, conservando todas las ventajas de este último. El método ofrece varias ventajas sobre los métodos clásicos de discretización de dominio o frontera, entre las que se incluyen:

  • Sin malla. El método no requiere ni mallado de dominio ni de contorno, sino solo puntos de discretización en el contorno;
  • sin integración. La integración numérica de núcleos singulares o casi singulares podría ser problemática, costosa y complicada, como en el caso, por ejemplo, del método de elementos de contorno;
  • Discretización solo en el contorno para problemas homogéneos. El SBM comparte todas las ventajas del BEM sobre los métodos de discretización de dominio como los métodos de elementos finitos o de diferencias finitas;
  • para superar el desconcertante límite ficticio en el método de soluciones fundamentales (véanse las figuras 1 y 2), gracias a la introducción del concepto de factor de intensidad de origen, que aísla la singularidad de las soluciones fundamentales.

El método SBM ofrece una alternativa significativa y prometedora a los métodos de contorno populares, como el BEM y el MFS, en particular para problemas de dominio infinito, ondas, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos.

Historia del método de frontera singular

La metodología del SBM fue propuesta por primera vez por Chen y sus colaboradores en 2009. [ 8 ] [ 9 ] La idea básica es introducir un concepto de factor de intensidad de origen para aislar la singularidad de las soluciones fundamentales, de modo que los puntos fuente puedan ubicarse directamente en el límite real. En comparación, el método de soluciones fundamentales requiere un límite ficticio para ubicar los puntos fuente y evitar la singularidad de la solución fundamental. Desde entonces, el SBM se ha aplicado con éxito a una variedad de problemas físicos, como problemas de potencial, [ 10 ] [ 11 ] problemas de dominio infinito, [ 12 ] problemas de Helmholtz, [ 13 ] y problemas de elasticidad plana. [ 14 ]

Existen dos técnicas para evaluar el factor de intensidad de origen. El primer enfoque consiste en colocar un grupo de nodos de muestra dentro del dominio del problema y calcular las ecuaciones algebraicas. Esta estrategia conlleva costes computacionales adicionales y hace que el método no sea tan eficiente como se esperaba en comparación con el MFS. El segundo enfoque [ 15 ] [ 16 ] consiste en emplear una técnica de regularización para cancelar las singularidades de la solución fundamental y sus derivadas. En consecuencia, los factores de intensidad de origen pueden determinarse directamente sin utilizar nodos de muestra. Este esquema hace que el método sea más estable, preciso y eficiente, y amplía su aplicabilidad.

Novedades recientes

Problemas del efecto de la capa límite

Al igual que otros métodos numéricos de tipo frontera, se observa que el SBM experimenta una drástica disminución en la precisión de la solución en la región cercana a la frontera. A diferencia de la singularidad en el origen, la solución fundamental en las regiones cercanas a la frontera permanece finita. Sin embargo, en lugar de ser una función plana, la función de interpolación desarrolla un pico pronunciado a medida que el punto del campo se aproxima a la frontera. En consecuencia, los núcleos se vuelven "casi singulares" y no pueden calcularse con precisión. Esto es similar al denominado efecto de capa límite que se observa en los métodos basados ​​en BEM.

Se puede emplear una transformación no lineal, basada en la función sinh , para eliminar o amortiguar las variaciones rápidas de los núcleos casi singulares. [ 17 ] Como resultado, el problemático efecto de capa límite en el SBM se ha remediado con éxito. La implementación de esta transformación es sencilla y se puede integrar fácilmente en programas SBM existentes. Para los problemas de prueba estudiados, se obtienen resultados muy prometedores incluso cuando la distancia entre el punto de campo y el límite es tan pequeña como 1 × 10−10 .

Problemas a gran escala

Al igual que el MFS y el BEM, el SBM producirá matrices de coeficientes densas, cuyo número de operaciones y requisitos de memoria para la construcción de ecuaciones matriciales son del orden de O ( N 2 ), lo cual es computacionalmente demasiado costoso para simular problemas a gran escala.

El método multipolar rápido (FMM) puede reducir tanto el tiempo de CPU como los requisitos de memoria de O ( N² ) a O ( N ) o O ( N log N ). Gracias al FMM, el SBM puede resolver problemas de gran escala con varios millones de incógnitas en un ordenador de sobremesa. Este algoritmo rápido amplía drásticamente el ámbito de aplicación del SBM a problemas mucho mayores de los que se podían resolver anteriormente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ método de soluciones fundamentales (MSF)
  2. ↑ Golberg MA, Chen CS, Ganesh M, "Soluciones particulares de ecuaciones de tipo Helmholtz 3D utilizando funciones de base radial con soporte compacto", Eng Anal Bound Elem 2000;24(7–8): 539–47.
  3. ↑ Fairweather G, Karageorghis A, "El método de soluciones fundamentales para problemas de valores en la frontera elípticos", Adv Comput Math 1998;9(1): 69–95.
  4. ↑ Chen W, Tanaka M, " Una técnica RBF sin malla, sin integración y solo en el límite. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine ", Comput Math Appl 2002;43(3–5): 379–91.
  5. ↑ DL Young, KH Chen, CW Lee, "Nuevo método sin malla para resolver problemas potenciales con dominio arbitrario", J Comput Phys 2005;209(1): 290–321.
  6. ↑ método de partículas de contorno (BPM)
  7. ↑ Sarler B, "Solución de problemas de flujo potencial mediante el método modificado de soluciones fundamentales: formulaciones con soluciones fundamentales de capa simple y doble capa", Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
  8. ↑ Chen W, " Método de contorno singular: un método numérico de colocación de contorno novedoso, simple y sin malla ", Chin J Solid Mech 2009;30(6): 592–9.
  9. ↑ Chen W, Wang FZ, " Un método de soluciones fundamentales sin frontera ficticia Archivado el 6 de junio de 2015 en Wayback Machine ", Eng Anal Bound Elem 2010;34(5): 530–32.
  10. ↑ Wei X, Chen W, Fu ZJ, "Resolución de problemas no homogéneos mediante el método de frontera singular", J Mar SCI Tech 2012; 20(5).
  11. ↑ Chen W, Fu ZJ, Wei X, " Problemas potenciales mediante el método de frontera singular que satisface la condición de momento ", Comput Model Eng Sci 2009;54(1): 65–85.
  12. ↑ Chen W, Fu Z, " Un nuevo método numérico para problemas de potencial de dominio infinito ", Chin Sci Bull 2010;55(16): 1598–603.
  13. ↑ Fu ZJ, Chen W, "Un nuevo método sin malla de contorno para problemas de radiación y dispersión", Avances en técnicas de elementos de contorno XI, Actas de la 11.ª Conferencia Internacional , 12-14 de julio de 2010, 83-90, Publicado por EC Ltd, Reino Unido ( ISBN 978-0-9547783-7-8)
  14. ↑ Gu Y, Chen W, Zhang CZ., " Método de contorno singular para resolver problemas elastostáticos de deformación plana ", Int J Solids Struct 2011;48(18): 2549–56.
  15. ↑ Chen W, Gu Y, " Avances recientes en el método de frontera singular ", Taller Internacional Conjunto sobre el Método Trefftz VI y el Método de Solución Fundamental II , Taiwán 2011.
  16. ↑ Gu Y, Chen, W, " Método de contorno singular mejorado para problemas de potencial tridimensionales ", Revista China de Mecánica Teórica y Aplicada , 2012, 44(2): 351-360 (en chino)
  17. ↑ Gu Y, Chen W, Zhang J, " Investigación sobre soluciones cercanas al límite mediante el método de límite singular ", Eng Anal Bound Elem 2012;36(8): 117–82.
  • Funciones de distancia de núcleo y funciones de base radial
  • Método de frontera singular