lema de la serpiente

El lema de la serpiente es una herramienta matemática , especialmente en álgebra homológica , para construir secuencias exactas largas . Es válido en toda categoría abeliana y constituye una herramienta fundamental en álgebra homológica y sus aplicaciones, como la topología algebraica . Los homomorfismos construidos con su ayuda se denominan generalmente homomorfismos de conexión .

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ), consideremos un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero .

Entonces hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y co-núcleos de a , b y c : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \ker(f)~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} g'}$$donde d es un homomorfismo, conocido como el homomorfismo de conexión .

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo.${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es.${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$.

Los co-granos aquí son:${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$,${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$,${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$.

Para ver de dónde proviene el nombre del lema de la serpiente, amplíe el diagrama anterior de la siguiente manera:

y entonces la secuencia exacta que es la conclusión del lema se puede dibujar en este diagrama ampliado en la forma de "S" invertida de una serpiente deslizándose .

Los mapas entre los núcleos y los mapas entre los conúcleos se inducen de manera natural por los mapas (horizontales) dados debido a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de las dos secuencias inducidas se deduce directamente de la exactitud de las filas del diagrama original. La afirmación importante del lema es que un homomorfismo de conexión${\displaystyle d}$Existe lo cual completa la secuencia exacta.

En el caso de grupos o módulos abelianos sobre algún anillo , el mapa${\displaystyle d}$se puede construir de la siguiente manera:

Elige un elemento${\displaystyle x}$en${\displaystyle \operatorname {ker} c}$y verlo como un elemento de${\displaystyle C}$. Desde${\displaystyle g}$es sobreyectiva , existe${\displaystyle y}$en${\displaystyle B}$con${\displaystyle g(y)=x}$. Por la conmutatividad del diagrama, tenemos${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$(desde${\displaystyle x}$está en el núcleo de${\displaystyle c}$), y por lo tanto${\displaystyle b(y)}$está en el núcleo de${\displaystyle g'}$. Dado que la fila inferior es exacta, encontramos un elemento${\displaystyle z}$en${\displaystyle A'}$con${\displaystyle f'(z)=b(y)}$. Por inyectividad de${\displaystyle f'}$,${\displaystyle z}$es único. Luego definimos${\displaystyle d(x)=z+\operatorname {im} (a)}$. Ahora hay que comprobar que${\displaystyle d}$está bien definido (es decir,${\displaystyle d(x)}$solo depende de${\displaystyle x}$y no en la elección de${\displaystyle y}$), que es un homomorfismo y que la secuencia larga resultante es efectivamente exacta. Se puede verificar rutinariamente la exactitud mediante el seguimiento de diagramas (véase la demostración del Lema 9.1 en ^{[ 2 ]} ).

Una vez hecho esto, el teorema queda demostrado para grupos o módulos abelianos sobre un anillo. Para el caso general, el argumento puede reformularse en términos de propiedades de flechas y cancelación en lugar de elementos. Alternativamente, se puede recurrir al teorema de incrustación de Mitchell .

En las aplicaciones, a menudo es necesario demostrar que las secuencias exactas largas son "naturales" (en el sentido de transformaciones naturales ). Esto se deduce de la naturalidad de la secuencia producida por el lema de la serpiente.

Si

es un diagrama conmutativo con filas exactas, entonces el lema de la serpiente se puede aplicar dos veces, al "frente" y al "reverso", produciendo dos largas secuencias exactas; estas están relacionadas por un diagrama conmutativo de la forma

Dejar${\displaystyle k}$ser campo,${\displaystyle V}$ser un${\displaystyle k}$-espacio vectorial.${\displaystyle V}$es${\displaystyle k[t]}$-módulo por${\displaystyle t:V\to V}$ser un${\displaystyle k}$-transformación lineal, por lo que podemos tensor${\displaystyle V}$y${\displaystyle k}$encima${\displaystyle k[t]}$.

$${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$$

Dada una secuencia corta y exacta de${\displaystyle k}$-espacios vectoriales${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$, podemos inducir una secuencia exacta${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$por la exactitud correcta del producto tensorial. Pero la secuencia${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$En general, no es exacto. Por lo tanto, surge una pregunta natural: ¿Por qué esta secuencia no es exacta?

Según el diagrama anterior, podemos inducir una secuencia exacta.${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$aplicando el lema de la serpiente. Por lo tanto, el lema de la serpiente refleja la falta de exactitud del producto tensorial.

Que el lema de la serpiente se cumpla en la categoría de grupos depende de la definición de conúcleo. Si${\displaystyle f:A\to B}$es un homomorfismo de grupos, la propiedad universal del conúcleo se satisface mediante el mapa natural.${\displaystyle B\to B/N(\operatorname {im} f)}$, dónde${\displaystyle N(\operatorname {im} f)}$es la normalización de la imagen de${\displaystyle f}$El lema de la serpiente falla con esta definición de conúcleo: El homomorfismo de conexión aún puede definirse, y se puede escribir una secuencia como en el enunciado del lema de la serpiente. Esto siempre será un complejo de cadenas, pero puede que no sea exacto.

Si simplemente se reemplazan los conúcleos en el enunciado del lema de la serpiente con las clases laterales (derechas)${\displaystyle A'/\operatorname {im} a,B'/\operatorname {im} b,C'/\operatorname {im} c'}$, el lema sigue siendo válido. Sin embargo, los cocientes no son grupos, sino conjuntos apuntados (una secuencia corta).${\displaystyle (X,x)\to (Y,y)\to (Z,z)}$de conjuntos señalados con mapas${\displaystyle f:X\to Y}$y${\displaystyle g:Y\to Z}$se llama exacto si${\displaystyle f(X)=g^{-1}(z)}$).

La demostración del lema de la serpiente la enseña el personaje de Jill Clayburgh al comienzo de la película de 1980 It's My Turn . ^{[ 4 ]}

• Lema en zigzag

• Weisstein, Eric W. "Lema de la serpiente" . MathWorld .
• Snake Lemma en el laboratorio n
• Prueba del lema de la serpiente en la película Es mi turno