Superficie de respiración

En geometría diferencial , una superficie respiradora es una familia uniparamétrica de superficies matemáticas que corresponden a soluciones respiradoras ^{[ 1 ]} de la ecuación de seno-Gordon , una ecuación diferencial que aparece en física teórica . Las superficies tienen la notable propiedad de que tienen curvatura constante.${\displaystyle -1}$donde la curvatura está bien definida. Esto las convierte en ejemplos de pseudoesferas generalizadas .

Existe una correspondencia entre las superficies incrustadas de curvatura constante -1, conocidas como pseudoesferas, y las soluciones de la ecuación de seno-Gordon. Esta correspondencia se puede establecer a partir del ejemplo más simple de una pseudoesfera, el tractoide . En un conjunto especial de coordenadas, conocidas como coordenadas asintóticas, las ecuaciones de Gauss-Codazzi , que son ecuaciones de consistencia que dictan cuándo una superficie de primera y segunda forma fundamental prescrita puede incrustarse en el espacio tridimensional con la métrica plana , se reducen a la ecuación de seno-Gordon.

En la correspondencia, el tractoide corresponde a la solución estática de 1 solitón de la solución de seno-Gordon. Debido a la invariancia de Lorentz de seno-Gordon, se puede aplicar una familia de transformaciones de Lorentz de un parámetro a la solución estática para obtener nuevas soluciones: en el lado de la pseudoesfera, estas se conocen como transformaciones de Lie , que deforman el tractoide a la familia de superficies de un parámetro conocidas como superficies de Dini .

El método de transformación de Bäcklund permite construir un gran número de soluciones distintas para la ecuación de seno-Gordon, las soluciones multisolitónicas. Por ejemplo, el 2-solitón corresponde a la superficie de Kuen . Sin embargo, si bien esto genera una familia infinita de soluciones, las soluciones de tipo respirador no se encuentran entre ellas.

Las soluciones de tipo respirador se derivan del método de dispersión inversa para la ecuación de seno-Gordon. ^{[ 2 ]} Están localizadas en el espacio, pero oscilan en el tiempo.

Cada solución a la ecuación de seno-Gordon proporciona una primera y una segunda forma fundamental que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. El teorema fundamental de la teoría de superficies garantiza entonces que existe una superficie parametrizada que recupera las primeras y segundas formas fundamentales prescritas. Localmente, la parametrización se comporta bien, pero extendida arbitrariamente, la superficie resultante puede tener autointersecciones y cúspides. De hecho, un teorema de Hilbert afirma que ninguna pseudoesfera puede incrustarse regularmente (aproximadamente, es decir, sin cúspides) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

La parametrización${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};(u,v)\mapsto (x,y,z)} con parámetro${\displaystyle 0<a<1}$es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=-u+{\frac {2\left(1-a^{2}\right)\cosh(au)\sinh(au)}{w}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\\\\z&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle w={a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}$

• La superficie de Dini
• Superficie de Kuen

• Xah Lee Web - Galería de Superficies
• Superficie de respiración en el Museo Virtual de Matemáticas