ecuación de Sine-Gordon

La ecuación de Sine-Gordon es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden para una función${\displaystyle \varphi }$dependiente de dos variables típicamente denotadas${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$, que involucra al operador de onda y el seno de${\displaystyle \varphi }$.

Fue introducida originalmente por Edmond Bour ( 1862 ) en el curso del estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura gaussiana constante −1 en el espacio tridimensional . ^{[ 1 ]} La ecuación fue redescubierta por Yakov Frenkel y Tatyana Kontorova ( 1939 ) en su estudio de dislocaciones cristalinas conocido como el modelo de Frenkel-Kontorova . ^{[ 2 ]}  

Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones solitónicas , ^{[ 3 ]} y es un ejemplo de una EDP integrable . Entre las EDP integrables bien conocidas, la ecuación de seno-Gordon es el único sistema relativista debido a su invariancia de Lorentz .

El nombre "ecuación seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$$

La ecuación de seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana viene dada por

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$$

Utilizando la expansión en serie de Taylor del coseno en el lagrangiano,

$${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$$

Se puede reescribir como el lagrangiano de Klein-Gordon más términos de orden superior:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$$

Una característica interesante de la ecuación de Sine-Gordon es la existencia de soluciones solitónicas y multisolitónicas.

soluciones de 1 solitón

La ecuación de seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de 1- solitón :

$${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$$

dónde

$${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$$

y se asume la forma ligeramente más general de la ecuación:

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$$

La solución de 1 solitón para la cual hemos elegido la raíz positiva para${\displaystyle \gamma }$se llama torsión y representa un giro en la variable${\displaystyle \varphi }$lo que lleva al sistema de una solución constante${\displaystyle \varphi =0}$a una solución constante adyacente${\displaystyle \varphi =2\pi }$Los estados${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$se conocen como estados de vacío, ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de 1 solitón en la que tomamos la raíz negativa para${\displaystyle \gamma }$Se denomina antikink . La forma de las soluciones de 1-solitón se puede obtener mediante la aplicación de una transformada de Bäcklund a la solución trivial (de vacío) y la integración de las diferenciales de primer orden resultantes:

$${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$$

$${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$$

para siempre.

Las soluciones de 1 solitón se pueden visualizar utilizando el modelo de seno-Gordon de cinta elástica introducido por Julio Rubinstein en 1970. ^{[ 8 ]} Aquí tomamos una torsión en sentido horario ( levógira ) de la cinta elástica como un quiebre con carga topológica${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$. La torsión alternativa en sentido antihorario ( dextrógira ) con carga topológica${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$será anti-fetiche.

Supongamos que${\displaystyle \varphi }$es una solución de la ecuación de seno-Gordon $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$$

Entonces el sistema $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$$ donde a es un parámetro arbitrario, es resoluble para una función${\displaystyle \psi }$que también satisfará la ecuación de seno-Gordon. Este es un ejemplo de una transformación de Bäcklund automática, ya que ambas${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle \psi }$son soluciones de la misma ecuación, es decir, la ecuación de seno-Gordon.

Mediante el uso de un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada de Bäcklund lineal para soluciones de la ecuación de seno-Gordon.

Por ejemplo, si${\displaystyle \varphi }$es la solución trivial${\displaystyle \varphi \equiv 0}$, entonces${\displaystyle \psi }$es la solución de un solitón con${\displaystyle a}$relacionado con el impulso aplicado al solitón.

La carga topológica o número de enrollamiento de una solución${\displaystyle \varphi }$es $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$ La energía de una solución${\displaystyle \varphi }$es $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$donde se ha añadido una densidad de energía constante de modo que el potencial sea no negativo. Con ello, los dos primeros términos del desarrollo de Taylor del potencial coinciden con el potencial de un campo escalar masivo, como se menciona en la sección de nomenclatura; los términos de orden superior pueden considerarse como interacciones.

La carga topológica se conserva si la energía es finita. La carga topológica no determina la solución, incluso hasta transformaciones de Lorentz. Tanto la solución trivial como la solución de pares solitón-antisolitón tienen${\displaystyle N=0}$.

La ecuación de seno-Gordon es equivalente a la curvatura de un sistema particular.${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$- conexión en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$siendo igual a cero. ^{[ 12 ]}

Explícitamente, con coordenadas${\displaystyle (u,v)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$los componentes de conexión${\displaystyle A_{\mu }}$son dados por $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$$${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ donde el${\displaystyle \sigma _{i}}$son las matrices de Pauli . Entonces la ecuación de curvatura cero $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

es equivalente a la ecuación de seno-Gordon${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$La ecuación de curvatura cero se denomina así porque corresponde a que la curvatura sea igual a cero si se define${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$.

El par de matrices${\displaystyle A_{u}}$y${\displaystyle A_{v}}$También se les conoce como un par de Lax para la ecuación de seno-Gordon, en el sentido de que la ecuación de curvatura cero recupera la EDP en lugar de que satisfagan la ecuación de Lax.

ElLa ecuación de sinh-Gordon viene dada por ^{[ 13 ].}

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$$

Esta es la ecuación de Euler-Lagrange del lagrangiano

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$$

Otra ecuación estrechamente relacionada es la ecuación elíptica de seno-Gordon o ecuación euclidiana de seno-Gordon , dada por

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$$

dónde${\displaystyle \varphi }$ahora es una función de las variables x e y . Esta ya no es una ecuación de solitón, pero tiene muchas propiedades similares, ya que está relacionada con la ecuación de seno-Gordon por la continuación analítica (o rotación de Wick ) y  =  i t .

La ecuación elíptica de sinh-Gordon puede definirse de manera similar.

Otra ecuación similar proviene de la ecuación de Euler-Lagrange para la teoría de campos de Liouville.

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

Una generalización viene dada por la teoría de campos de Toda . ^{[ 14 ]} Más precisamente, la teoría de campos de Liouville es la teoría de campos de Toda para el álgebra de Kac-Moody finita.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$, mientras que sin(h)-Gordon es la teoría de campos de Toda para el álgebra de Kac-Moody afín.${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$.

También se puede considerar el modelo de seno-Gordon en un círculo, ^{[ 15 ]} en un segmento de línea o en una semirrecta. ^{[ 16 ]} Es posible encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad del modelo. ^{[ 16 ]} En una semirrecta, el espectro contiene estados ligados de contorno además de los solitones y respiradores. ^{[ 16 ]}

En la teoría cuántica de campos, el modelo de seno-Gordon contiene un parámetro que puede identificarse con la constante de Planck . El espectro de partículas consta de un solitón, un antisolitón y un número finito (posiblemente cero) de respiradores . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} El número de respiradores depende del valor del parámetro. La producción de múltiples partículas se cancela en la capa de masas.

La cuantización semiclasica del modelo de seno-Gordon fue realizada por Ludwig Faddeev y Vladimir Korepin . ^{[ 20 ]} La matriz de dispersión cuántica exacta fue descubierta por Alexander Zamolodchikov . ^{[ 21 ]} Este modelo es S-dual al modelo de Thirring , como descubrió Coleman . ^{[ 22 ]} Esto se conoce a veces como la correspondencia de Coleman y sirve como ejemplo de correspondencia bosón-fermión en el caso de interacción. Este artículo también mostró que las constantes que aparecen en el modelo se comportan bien bajo renormalización : hay tres parámetros${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$y${\displaystyle \gamma _{0}}$Coleman mostró${\displaystyle \alpha _{0}}$recibe únicamente una corrección multiplicativa,${\displaystyle \gamma _{0}}$recibe únicamente una corrección aditiva y${\displaystyle \beta }$no se renormaliza. Además, para un valor crítico distinto de cero${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$, de hecho, la teoría es dual a una teoría de campo de Dirac masiva libre .

La ecuación cuántica de seno-Gordon debe modificarse de modo que las exponenciales se conviertan en operadores de vértice.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$$

con${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$donde los puntos y comas denotan ordenación normal . Se incluye un posible término de masa.

El modelo estocástico o dinámico de seno-Gordon ha sido estudiado por Martin Hairer y Hao Shen ^{[ 25 ],} lo que permite demostrar resultados heurísticos de la teoría cuántica de seno-Gordon en un entorno estadístico.

La ecuación es $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ dónde${\displaystyle c,\beta ,\theta }$son constantes de valor real y${\displaystyle \xi }$es ruido blanco espacio-temporal . La dimensión espacial está fijada a 2. En la prueba de existencia de soluciones, los umbrales${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$nuevamente desempeñan un papel en la determinación de la convergencia de ciertos términos.

También existe una extensión supersimétrica del modelo de seno-Gordon. ^{[ 26 ]} Asimismo, se pueden encontrar condiciones de contorno que preservan la integrabilidad para esta extensión. ^{[ 26 ]}

El modelo de Sine-Gordon surge como el límite continuo del modelo de Frenkel-Kontorova, que modela las dislocaciones cristalinas.

La dinámica en uniones Josephson largas se describe bien mediante las ecuaciones de seno-Gordon y, a su vez, proporciona un sistema experimental útil para estudiar el modelo de seno-Gordon. ^{[ 27 ]}

El modelo de seno-Gordon pertenece a la misma clase de universalidad que la acción efectiva para un gas de Coulomb de vórtices y antivórtices en el modelo clásico continuo XY , que es un modelo de magnetismo. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Por lo tanto, la transición de Kosterlitz-Thouless para vórtices puede derivarse de un análisis del grupo de renormalización de la teoría de campos de seno-Gordon. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

La ecuación de seno-Gordon también surge como el límite continuo formal de un modelo diferente de magnetismo, el modelo cuántico de Heisenberg , en particular el modelo XXZ. ^{[ 32 ]}

• Efecto Josephson
• Fluxón
• Ondas de forma

• Ecuación de seno-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Sinh-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de seno-Gordon. Archivada el 16 de marzo de 2012 en la Wayback Machine de NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.