Frecuencia de Brunt–Väisälä

En dinámica atmosférica , oceanografía , astrosismología y geofísica , la frecuencia de Brunt-Väisälä , o frecuencia de flotabilidad , es una medida de la estabilidad de un fluido frente a desplazamientos verticales, como los causados ​​por la convección . Más precisamente, es la frecuencia a la que una parcela desplazada verticalmente oscila dentro de un entorno estáticamente estable. Recibe su nombre de David Brunt y Vilho Väisälä . Puede utilizarse como medida de la estratificación atmosférica.

Consideremos una porción de agua o gas que tenga densidad${\displaystyle \rho _{0}}$Esta parcela se encuentra en un entorno de otras partículas de agua o gas donde la densidad del entorno es función de la altura:${\displaystyle \rho =\rho (z)}$Si la parcela se desplaza en un incremento vertical infinitesimalmente pequeño${\displaystyle z'}$y mantiene su densidad original de modo que su volumen no cambia, estará sujeto a una fuerza gravitacional adicional contra su entorno de:

$${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g\left[\rho (z)-\rho (z+z')\right]}$$

dónde${\displaystyle g}$es la aceleración gravitatoria, y se define como positiva. Distribuimos el signo negativo antes de sustituir la aproximación lineal :

${\displaystyle \rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$

y luego dividiendo${\displaystyle \rho _{0}}$a la RHS, dando:$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}$$

La ecuación diferencial de segundo orden anterior tiene la siguiente solución:

$${\displaystyle z'=z'_{0}e^{iNt}}$$

donde la frecuencia de Brunt–Väisälä${\displaystyle N}$es: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}}$$

Para negativo${\displaystyle {\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}$, el desplazamiento${\displaystyle z'}$tiene soluciones oscilantes (y N nos da nuestra frecuencia angular). Si es positiva, entonces hay un crecimiento descontrolado, es decir, el fluido es estáticamente inestable.

Para una parcela de gas, la densidad solo permanecerá fija como se supuso en la derivación anterior si la presión,${\displaystyle P}$es constante con la altura, lo cual no es cierto en una atmósfera confinada por la gravedad. En cambio, la parcela se expandirá adiabáticamente a medida que disminuye la presión. Por lo tanto, una formulación más general utilizada en meteorología es:

$${\displaystyle N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}},}$$dónde${\displaystyle \theta }$es la temperatura potencial ,${\displaystyle g}$es la aceleración local de la gravedad y${\displaystyle z}$es altura geométrica . ^{[ 2 ]}

Desde${\displaystyle \theta =T(P_{0}/P)^{R/c_{P}}}$, dónde${\displaystyle P_{0}}$es una presión de referencia constante, para un gas ideal esta expresión es equivalente a:$${\displaystyle N^{2}\equiv g\left({\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {R}{c_{P}}}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right)=g\left({\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right),}$$donde en la última forma ${\displaystyle \gamma =c_{P}/c_{V}}$, el índice adiabático . Usando la ley de los gases ideales , podemos eliminar la temperatura para expresar${\displaystyle N^{2}}$en términos de presión y densidad:$${\displaystyle N^{2}\equiv g\left({\frac {1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}\right)=g\left({\frac {1}{\gamma }}{\frac {d\ln P}{dz}}-{\frac {d\ln \rho }{dz}}\right).}$$

Esta versión es de hecho más general que la primera, ya que se aplica cuando la composición química del gas varía con la altura, y también para gases imperfectos con índice adiabático variable, en cuyo caso${\displaystyle \gamma \equiv \gamma _{01}=\left({\frac {\partial \ln P}{\partial \ln \rho }}\right)_{S}}$, es decir, la derivada se toma a entropía constante ,${\displaystyle S}$. ^{[ 3 ]}

Si una masa de gas es empujada hacia arriba y${\displaystyle N^{2}>0}$, la parcela de aire se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la altura donde la densidad de la parcela coincide con la densidad del aire circundante. Si la parcela de aire es empujada hacia arriba y${\displaystyle N^{2}=0}$, la masa de aire no se moverá más. Si la masa de aire es empujada hacia arriba y${\displaystyle N^{2}<0}$, (es decir, la frecuencia de Brunt–Väisälä es imaginaria), entonces la masa de aire ascenderá y ascenderá a menos que${\displaystyle N^{2}}$vuelve a ser positivo o cero más arriba en la atmósfera. En la práctica, esto conduce a la convección y, por lo tanto, el criterio de Schwarzschild para la estabilidad frente a la convección (o el criterio de Ledoux si hay estratificación composicional) es equivalente a la afirmación de que${\displaystyle N^{2}}$debe ser positivo.

La frecuencia de Brunt-Väisälä aparece comúnmente en las ecuaciones termodinámicas de la atmósfera y en la estructura de las estrellas.

En el océano, donde la salinidad es importante, o en lagos de agua dulce cercanos al punto de congelación, donde la densidad no es una función lineal de la temperatura:$${\displaystyle N\equiv {\sqrt {-{\frac {g}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}}}}$$dónde${\displaystyle \rho }$La densidad potencial depende tanto de la temperatura como de la salinidad. Un ejemplo de oscilación de Brunt-Väisälä en un líquido estratificado por densidad se puede observar en el vídeo 'Magic Cork' aquí .

El concepto se deriva de la segunda ley de Newton aplicada a una parcela de fluido en presencia de una estratificación de fondo (en la que la densidad varía verticalmente, es decir, se puede decir que la densidad tiene múltiples capas verticales). La parcela, perturbada verticalmente desde su posición inicial, experimenta una aceleración vertical. Si la aceleración se dirige hacia la posición inicial, se dice que la estratificación es estable y la parcela oscila verticalmente. En este caso, ^N₂ > 0 y la frecuencia angular de oscilación es N. Si la aceleración se aleja de la posición inicial ( N₂ < 0 ), la estratificación es inestable. En este caso, generalmente se produce ^un vuelco o convección.

La frecuencia de Brunt-Väisälä está relacionada con las ondas internas de gravedad : es la frecuencia con la que las ondas se propagan horizontalmente y proporciona una descripción útil de la estabilidad atmosférica y oceánica.

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