La ecuación de Burgers

La ecuación de Burgers o ecuación de Bateman-Burgers es una ecuación diferencial parcial fundamental y ecuación de convección-difusión ^[1] que aparece en varias áreas de las matemáticas aplicadas , como la mecánica de fluidos , ^[2] la acústica no lineal , ^[3] la dinámica de gases y el flujo de tráfico . ^[4] La ecuación fue introducida por primera vez por Harry Bateman en 1915 ^{[5] [6]} y luego estudiada por Johannes Martinus Burgers en 1948. ^[7] Para un campo y un coeficiente de difusión dados (o viscosidad cinemática , como en el contexto original de la mecánica de fluidos) , la forma general de la ecuación de Burgers (también conocida como ecuación de Burgers viscosa ) en una dimensión espacial es el sistema disipativo : ${\displaystyle u(x,t)}$${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle {\frac {\parcial u}{\parcial t}}+u{\frac {\parcial u}{\parcial x}}=\nu {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}.}$

El término también puede reescribirse como . Cuando el término de difusión está ausente (es decir, ), la ecuación de Burgers se convierte en la ecuación de Burgers no viscosa : ${\displaystyle u\parcial u/\parcial x}$${\displaystyle \parcial (u^{2}/2)/\parcial x}$${\displaystyle \nu = 0}$

${\displaystyle {\frac {\parcial u}{\parcial t}}+u{\frac {\parcial u}{\parcial x}}=0,}$

que es un prototipo de ecuaciones de conservación que pueden desarrollar discontinuidades ( ondas de choque ).

La razón de la formación de gradientes agudos para valores pequeños de se vuelve intuitivamente clara cuando uno examina el lado izquierdo de la ecuación. El término es evidentemente un operador de onda que describe una onda que se propaga en la dirección positiva con una velocidad . Dado que la velocidad de onda es , las regiones que exhiben valores grandes de se propagarán hacia la derecha más rápido que las regiones que exhiben valores más pequeños de ; en otras palabras, si es decreciente en la dirección , inicialmente, entonces los más grandes que se encuentran en el lado posterior alcanzarán a los más pequeños en el lado frontal. El papel del término difusivo del lado derecho es esencialmente evitar que el gradiente se vuelva infinito. ${\estilo de visualización \nu}$${\displaystyle \parcial /\parcial t+u\parcial /\parcial x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$

La ecuación de Burgers no viscosa es una ecuación de conservación , más generalmente una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden . La solución de la ecuación y junto con la condición inicial

${\displaystyle {\frac {\parcial u}{\parcial t}}+u{\frac {\parcial u}{\parcial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

se puede construir por el método de características . Sea el parámetro que caracteriza cualquier característica dada en el plano - , entonces las ecuaciones características están dadas por ${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

La integración de la segunda ecuación nos dice que es constante a lo largo de la característica y la integración de la primera ecuación muestra que las características son líneas rectas, es decir, ${\estilo de visualización u}$

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

donde es el punto (o parámetro) en el eje x ( t  = 0) del plano x - t desde el que se dibuja la curva característica. Como en el eje se conoce a partir de la condición inicial y el hecho de que no cambia a medida que nos movemos a lo largo de la característica que emana de cada punto , escribimos en cada característica. Por lo tanto, la familia de trayectorias de características parametrizadas por es ${\estilo de visualización \xi}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle x=\xi}$${\displaystyle u=c=f(\xi )}$${\estilo de visualización \xi}$

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

Por lo tanto, la solución viene dada por

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =xf(\xi )t.}$

Esta es una relación implícita que determina la solución de la ecuación de Burgers no viscosa siempre que las características no se intersequen. Si las características se intersecan, entonces no existe una solución clásica para la EDP y conduce a la formación de una onda de choque . Si las características pueden o no intersecar depende de la condición inicial. De hecho, el tiempo de ruptura antes de que se pueda formar una onda de choque está dado por ^{[8] [9]}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

La solución implícita descrita anteriormente que contiene una función arbitraria se denomina integral general. Sin embargo, la ecuación de Burgers no viscosa, al ser una ecuación diferencial parcial de primer orden , también tiene una integral completa que contiene dos constantes arbitrarias (para las dos variables independientes). ^{[10] [ se necesita una mejor fuente ]} Subrahmanyan Chandrasekhar proporcionó la integral completa en 1943, ^[11] que se da por ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}$

donde y son constantes arbitrarias. La integral completa satisface una condición inicial lineal, es decir, . También se puede construir la integral general utilizando la integral completa anterior. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle f(x)=ax+b}$

La ecuación viscosa de Burgers se puede convertir en una ecuación lineal mediante la transformación de Cole-Hopf , ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\parcial }{\parcial x}}\ln \varphi (x,t),}$

lo que lo convierte en la ecuación

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

que se puede integrar con respecto a para obtener ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

donde es una función arbitraria del tiempo. Introduciendo la transformación (que no afecta a la función ), la ecuación requerida se reduce a la ecuación del calor ^[15]${\displaystyle df/dt}$${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

La ecuación de difusión se puede resolver . Es decir, si , entonces ${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

La función inicial está relacionada con la función inicial por ${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

donde el límite inferior se elige arbitrariamente. Invirtiendo la transformación de Cole-Hopf, tenemos

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

lo que simplifica, al deshacerse del prefactor dependiente del tiempo en el argumento del logaritmo, a

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

Esta solución se deriva de la solución de la ecuación de calor para que decae a cero cuando ; se pueden obtener otras soluciones para a partir de soluciones de que satisface diferentes condiciones de contorno. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x\to \pm \infty }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi }$

Existen expresiones explícitas para la ecuación viscosa de Burgers. A continuación se ofrecen algunas de las soluciones físicamente relevantes: ^[16]

Si es tal que y y , entonces tenemos una solución de onda viajera (con una velocidad constante ) dada por ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle f(-\infty )=f^{+}}$${\displaystyle f(+\infty )=f^{-}}$${\displaystyle f'(x)<0}$${\displaystyle c=(f^{+}+f^{-})/2}$

${\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}$

Esta solución, que fue derivada originalmente por Harry Bateman en 1915, ^[5] se utiliza para describir la variación de la presión a lo largo de una onda de choque débil ^[15] . Cuándo y para ${\displaystyle f^{+}=2}$${\displaystyle f^{-}=0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}}$

con . ${\displaystyle c=1}$

Si , donde (digamos, el número de Reynolds ) es una constante, entonces tenemos ^[17]${\displaystyle u(x,0)=2\nu Re\delta (x)}$${\displaystyle Re}$

${\displaystyle u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].}$

En el límite , el comportamiento limitante es una expansión difusional de una fuente y, por lo tanto, está dado por ${\displaystyle Re\to 0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).}$

Por otra parte, en el límite , la solución se aproxima a la de la solución de onda de choque de Chandrasekhar antes mencionada de la ecuación de Burgers no viscosa y está dada por ${\displaystyle Re\to \infty }$

${\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu Re\,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

La ubicación de la onda de choque y su velocidad están dadas por y${\displaystyle x={\sqrt {2\nu Re\,t}}}$${\displaystyle {\sqrt {\nu Re/t}}.}$

La solución de onda N comprende una onda de compresión seguida de una onda de rarefacción. Una solución de este tipo viene dada por

${\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}}$

donde puede considerarse como un número de Reynolds inicial en el tiempo y con , puede considerarse como el número de Reynolds variable en el tiempo. ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle Re(t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})}$${\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {e^{Re_{0}}-1}}}$

En dos o más dimensiones, la ecuación de Burgers se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.}$

También se puede extender la ecuación para el campo vectorial , como en ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .}$

La ecuación generalizada de Burgers extiende la convección cuasilineal a una forma más generalizada, es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

donde es cualquier función arbitraria de u. La ecuación no viscosa sigue siendo una ecuación hiperbólica cuasilineal para y su solución se puede construir utilizando el método de características como antes. ^[18]${\displaystyle c(u)}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle c(u)>0}$

El ruido espacio-temporal añadido , donde es un proceso de Wiener , forma una ecuación de Burgers estocástica ^[19]${\displaystyle \eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$

Esta PDE estocástica es la versión unidimensional de la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang en un campo al sustituir . ${\displaystyle h(x,t)}$${\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}$

• La ecuación de Chaplygin
• Ecuación de conservación
• Ecuación de Euler-Tricomi
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación de KdV-Burgers

• Ecuación de Burgers en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Burgers en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.