Vórtice de hamburguesas

En dinámica de fluidos , el vórtice de Burgers o vórtice de Burgers-Rott es una solución exacta a las ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo viscoso , y recibe su nombre de Jan Burgers ^{[ 1 ]} y Nicholas Rott ^{[ 2 ]} . El vórtice de Burgers describe un flujo estacionario y autosimilar . Un flujo radial hacia el interior tiende a concentrar la vorticidad en una columna estrecha alrededor del eje de simetría, mientras que un estiramiento axial provoca un aumento de la vorticidad. Al mismo tiempo, la difusión viscosa tiende a dispersar la vorticidad. El vórtice de Burgers estacionario surge cuando estos tres efectos se encuentran en equilibrio.

El vórtice de Burgers, además de servir como ilustración del mecanismo de estiramiento de vórtices , puede describir flujos como los tornados, donde la vorticidad es proporcionada por el estiramiento continuo de vórtices impulsado por la convección .

El flujo para el vórtice de Burgers se describe en forma cilíndrica.${\displaystyle (r,\theta ,z)}$coordenadas. Suponiendo simetría axial (no${\displaystyle \theta }$-dependencia), se considera el campo de flujo asociado con el flujo del punto de estancamiento axisimétrico:

${\displaystyle v_{r}=-\alpha r,}$

${\displaystyle v_{z}=2\alpha z,}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r),}$

dónde${\displaystyle \alpha >0}$(velocidad de deformación) y${\displaystyle \Gamma >0}$(circulación) son constantes. El flujo satisface la ecuación de continuidad mediante las dos primeras ecuaciones anteriores. La ecuación de momento azimutal de las ecuaciones de Navier-Stokes se reduce entonces a ^{[ 3 ].}

${\displaystyle r{\frac {d^{2}g}{dr^{2}}}+\left({\frac {\alpha r^{2}}{\nu }}-1\right){\frac {dg}{dr}}=0}$

dónde${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática del fluido. La ecuación se integra con la condición${\displaystyle g(\infty )=1}$de modo que en el infinito la solución se comporta como un vórtice potencial, pero en una ubicación finita, el flujo es rotacional. La elección${\displaystyle g(0)=0}$garantiza${\displaystyle v_{\theta }=0}$en el eje. La solución es

${\displaystyle g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}$

La ecuación de vorticidad solo proporciona un componente no trivial en la${\displaystyle z}$-dirección, dada por

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}$

Intuitivamente, el flujo se puede entender observando los tres términos en la ecuación de vorticidad para${\displaystyle \omega _{z}}$,

${\displaystyle -\alpha r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}=2\alpha \omega _{z}+{\frac {\nu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}\right).}$

El primer término del lado derecho de la ecuación anterior corresponde al estiramiento del vórtice, que intensifica la vorticidad del núcleo del vórtice debido a la componente de velocidad axial.${\displaystyle v_{z}=2\alpha z}$. La vorticidad intensificada intenta difundirse radialmente hacia afuera debido al segundo término del lado derecho, pero se ve impedida por la convección de vorticidad radial debido a${\displaystyle v_{r}=-\alpha r}$que emerge en el lado izquierdo de la ecuación anterior. El equilibrio de tres vías establece una solución estable. El vórtice de Burgers es una solución estable de las ecuaciones de Navier-Stokes. ^{[ 4 ]}

Una de las propiedades importantes del vórtice de Burgers que demostró Jan Burgers es que la tasa total de disipación viscosa${\displaystyle \Phi }$por unidad de longitud axial es independiente de la viscosidad, lo que indica que la disipación por el vórtice de Burgers no es cero incluso en el límite${\displaystyle \nu \to 0}$Por esta razón, sirve como un candidato adecuado para modelar y comprender los tubos de vórtice estirados observados en flujos turbulentos. La tasa de disipación total por unidad de longitud axial es, en flujos incompresibles, simplemente igual a la enstrofía total por unidad de longitud, que viene dada por ^{[ 5 ].}

${\displaystyle \Phi =\nu \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\omega _{z}^{2}\,rdrd\theta ={\frac {\alpha \Gamma ^{2}}{4\pi }}.}$

La capa de vórtices de Burgers o lámina de vórtices de Burgers es una capa de cizallamiento deformada, que es un análogo bidimensional del vórtice de Burgers. Esta es también una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes, descritas por primera vez por Albert A. Townsend en 1951. ^{[ 8 ]} El campo de velocidad${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$expresados ​​en coordenadas cartesianas son

${\displaystyle v_{x}=-\alpha x,}$

${\displaystyle v_{z}=\alpha z,}$

${\displaystyle v_{y}=U\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\alpha }}x}{\sqrt {2\nu }}}\right),}$

dónde${\displaystyle \alpha >0}$es la tasa de deformación,${\displaystyle v_{y}(+\infty )=U}$y${\displaystyle v_{y}(-\infty )=-U}$. El valor${\displaystyle 2U}$se interpreta como la fuerza de la lámina de vórtices . La ecuación de vorticidad solo proporciona un componente no trivial en la${\displaystyle z}$-dirección, dada por

${\displaystyle \omega _{z}=2U{\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi \nu }}}\exp \left(-{\frac {\alpha x^{2}}{2\nu }}\right).}$

^{KN Beronov y S. Kida [ 9 ]} demostraron que la lámina de vórtices de Burgers es inestable ante pequeñas perturbaciones, experimentando inicialmente una inestabilidad de Kelvin-Helmholtz , seguida de segundas inestabilidades ^{[ 10 ] [ 11 ]} y posiblemente transicionando a vórtices de Kerr-Dold a números de Reynolds moderadamente grandes, pero volviéndose turbulenta a números de Reynolds grandes.

En flujos deformados no axisimétricos, emergen vórtices de Burgers no axisimétricos. Teoría para vórtices de Burgers no axisimétricos para números de Reynolds de vórtice pequeños.${\displaystyle Re=\Gamma /(2\pi \nu )}$fue desarrollado por AC Robinson y Philip Saffman en 1984, ^{[ 4 ]} mientras que Keith Moffatt , S. Kida y K. Ohkitani desarrollaron la teoría para${\displaystyle Re\gg 1}$en 1994. ^{[ 12 ]} La estructura de los vórtices de Burgers no axisimétricos para valores arbitrarios del número de Reynolds del vórtice se puede analizar mediante integraciones numéricas. ^{[ 13 ]} El campo de velocidad toma la forma

${\displaystyle v_{x}=-\alpha x+u(x,y),}$

${\displaystyle v_{y}=-\beta y+v(x,y),}$

${\displaystyle v_{z}=\gamma z}$

sujeto a la condición${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$Sin pérdida de generalidad , se supone que${\displaystyle \alpha >0}$y${\displaystyle \gamma >0}$. La sección transversal del vórtice se encuentra en${\displaystyle xy}$plano, proporcionando un componente de vorticidad distinto de cero en el${\displaystyle z}$dirección

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

El vórtice axisimétrico de Burgers se recupera cuando${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma /2}$mientras que la capa de vórtice de Burgers se recupera cuando${\displaystyle \alpha =\gamma }$y${\displaystyle \beta =0}$.

P. Rajamanickam y AD Weiss resolvieron explícitamente las ecuaciones de Navier-Stokes para el vórtice de Burgers en superficies de estancamiento cilíndricas estiradas. ^{[ 14 ]} La solución se expresa en el sistema de coordenadas cilíndricas de la siguiente manera:

${\displaystyle v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),}$

${\displaystyle v_{z}=2\alpha z,}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}P\left(1+{\frac {\alpha r_{s}^{2}}{2\nu }},{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right),}$

dónde${\displaystyle \alpha >0}$es la tasa de deformación,${\displaystyle r_{s}\geq 0}$es la ubicación radial de la superficie de estancamiento cilíndrica,${\displaystyle \Gamma >0}$es la circulación y${\displaystyle P}$es la función gamma regularizada . Esta solución no es más que el vórtice de Burgers en presencia de una fuente lineal con intensidad de fuente.${\displaystyle Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}}$. La ecuación de vorticidad solo proporciona un componente no trivial en la${\displaystyle z}$-dirección, dada por

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu {\tilde {\Gamma }}(1+\alpha r_{s}^{2}/2\nu )}}\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)^{\alpha r_{s}^{2}/2\nu }\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)}$

dónde${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$En la expresión anterior está la función gamma . Como${\displaystyle r_{s}\rightarrow 0}$, la solución se reduce a la solución de vórtice de Burgers y como${\displaystyle r_{s}\rightarrow \infty }$La solución se convierte en la solución de la capa de vórtices de Burgers. También existe una solución explícita para el vórtice de Sullivan en una superficie de estancamiento cilíndrica.

• vórtice de Sullivan
• vórtice de Kerr-Dold