Grupo de carniceros

En matemáticas , el grupo de Butcher , nombrado en honor al matemático neozelandés John C. Butcher por Hairer y Wanner (1974) , es un grupo de Lie de dimensión infinita ^{[ 1 ]} introducido por primera vez en el análisis numérico para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales mediante el método de Runge-Kutta . Surgió de un formalismo algebraico que involucra árboles con raíz que proporciona soluciones formales en series de potencias de la ecuación diferencial que modela el flujo de un campo vectorial . Fue Cayley (1857) , impulsado por el trabajo de Sylvester sobre el cambio de variables en el cálculo diferencial , quien primero observó que las derivadas de una composición de funciones pueden expresarse convenientemente en términos de árboles con raíz y su combinatoria.

Connes y Kreimer (1999) señalaron que el grupo de Butcher es el grupo de caracteres del álgebra de Hopf de árboles con raíz que había surgido independientemente en su propio trabajo sobre renormalización en teoría cuántica de campos y en el trabajo de Connes con Moscovici sobre teoremas de índice local . Esta álgebra de Hopf, a menudo llamada álgebra de Connes-Kreimer , es esencialmente equivalente al grupo de Butcher, ya que su dual puede identificarse con el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie del grupo de Butcher. ^{[ 2 ]} Como comentaron:

Consideramos que el trabajo de Butcher sobre la clasificación de los métodos de integración numérica es un ejemplo impresionante de que el trabajo concreto orientado a la resolución de problemas puede conducir a resultados conceptuales de gran alcance.

Un árbol con raíz es un grafo con un nodo distinguido, llamado raíz , en el que todos los demás nodos están conectados a la raíz por un camino único. Si se elimina la raíz de un árbol t y los nodos conectados al nodo original por un solo enlace se toman como nuevas raíces, el árbol t se divide en árboles con raíz t₁ , t₂ _, ... Revirtiendo este proceso, se puede construir un nuevo árbol _t = [ t₁ _, t₂ _, ...] uniendo las raíces de los árboles a una nueva raíz común. El número de nodos en un árbol se denota por | t |. Un ordenamiento de montículo de un árbol con raíz t es una asignación de los números del 1 al | t | a los nodos de manera que los números aumenten en cualquier camino que se aleje de la raíz. Dos ordenamientos de montículo son equivalentes si existe un automorfismo de árboles con raíz que mapea uno de ellos sobre el otro. El número de clases de equivalencia de ordenamientos de montículos en un árbol particular se denota por α( t ) y se puede calcular utilizando la fórmula de Butcher: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle \alpha (t)={|t|! \over t!|S_{t}|},}$

donde S _t denota el grupo de simetría de t y el factorial del árbol se define recursivamente por

${\displaystyle [t_{1},\dots ,t_{n}]!=|[t_{1},\dots ,t_{n}]|\cdot t_{1}!\cdots t_{n}!}$

con el factorial del árbol de una raíz aislada definido como 1

${\displaystyle \bullet$ !=1.}

La ecuación diferencial ordinaria para el flujo de un campo vectorial en un subconjunto abierto U de R ^N se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle {dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,x(0)=x_{0},}$

donde x ( s ) toma valores en U , f es una función suave de U a R ^N y x ₀ es el punto de partida del flujo en el tiempo s = 0.

Cayley (1857) dio un método para calcular las derivadas de orden superior x ^{( m )} ( s ) en términos de árboles con raíz. Su fórmula se puede expresar convenientemente utilizando los diferenciales elementales introducidos por Butcher. Estos se definen inductivamente por

${\displaystyle \delta _{\bullet }^{i}=f^{i},\,\,\,\delta _{[t_{1},\dots ,t_{n}]}^{i}=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=1}^{N}(\delta _{t_{1}}^{j_{1}}\cdots \delta _{t_{n}}^{j_{n}})\partial _{j_{1}}\cdots \partial _{j_{n}}f^{i}.}$

Con esta notación

${\displaystyle {d^{m}x \over ds^{m}}=\sum _{|t|=m}\alpha (t)\delta _{t},}$

dando la expansión de la serie de poder

${\displaystyle \displaystyle x(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)\delta _{t}(0).}$

Como ejemplo, cuando N = 1, de modo que x y f son funciones de valor real de una sola variable real, la fórmula produce:

${\displaystyle x^{(4)}=f^{\prime \prime \prime }f^{3}+3f^{\prime \prime }f^{\prime }f^{2}+f^{\prime }f^{\prime \prime }f^{2}+(f^{\prime })^{3}f,}$

donde los cuatro términos corresponden a los cuatro árboles enraizados de izquierda a derecha en la Figura 3 anterior.

En una sola variable esta fórmula es la misma que la fórmula de Faà di Bruno de 1855; sin embargo, en varias variables debe escribirse con más cuidado en la forma

${\displaystyle x^{(4)}=f^{\prime \prime \prime }(f,f,f)+3f^{\prime \prime }(f,f^{\prime }(f))+f^{\prime }(f^{\prime \prime }(f,f))+f^{\prime }(f^{\prime }(f^{\prime }(f))),}$

donde la estructura del árbol es crucial.

El álgebra de Hopf H de árboles con raíz fue definida por Connes y Kreimer (1998) en relación con el trabajo previo de Kreimer sobre renormalización en teoría cuántica de campos . Posteriormente se descubrió que el álgebra de Hopf era la dual de un álgebra de Hopf definida anteriormente por Grossman y Larson (1989) en un contexto diferente. Los caracteres de H , es decir, los homomorfismos del álgebra conmutativa subyacente en R , forman un grupo, llamado grupo de Butcher . Este corresponde a la estructura de grupo formal descubierta en análisis numérico por Butcher (1972) .

El álgebra de Hopf de árboles con raíz H se define como el anillo de polinomios en las variables t , donde t recorre los árboles con raíz.

• Su comultiplicación${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H}$se define por

${\displaystyle \Delta (t)=t\otimes I+I\otimes t+\sum _{s\subset t}s\otimes [t\backslash s],}$

donde la suma se realiza sobre todos los subárboles con raíz propia s de t ;${\displaystyle [t\backslash s]}$es el monomio dado por el producto de las variables t _i formado por los árboles enraizados que surgen al borrar todos los nodos de s y los enlaces conectados de t . El número de tales árboles se denota por n ( t \ s ).

• Su counidad es el homomorfismo ε de H en R que envía cada variable t a cero.
• Su antípoda S puede definirse recursivamente mediante la fórmula

${\displaystyle S(t)=-t-\sum _{s\subset t}(-1)^{n(t\backslash s)}S([t\backslash s])s,\,\,\,S(\bullet )=-\bullet .}$

El grupo de Butcher se define como el conjunto de homomorfismos de álgebra φ de H en R con estructura de grupo .

${\displaystyle \varphi _{1}\star \varphi _{2}(t)=(\varphi _{1}\otimes \varphi _{2})\Delta (t).}$

La inversa en el grupo de Butcher viene dada por

${\displaystyle \varphi ^{-1}(t)=\varphi (St)}$

y la identidad por la counidad ε.

Utilizando coeficientes complejos en la construcción del álgebra de Hopf de árboles enraizados se obtiene el álgebra de Hopf compleja de árboles enraizados. Sus caracteres con valores en C forman un grupo, llamado grupo de Butcher complejo G _C . El grupo de Butcher complejo G _C es un grupo de Lie complejo de dimensión infinita ^{[ 1 ]} que aparece como un modelo de juguete en la §  Renormalización de teorías de campos cuánticos.

La ecuación diferencial ordinaria no lineal

${\displaystyle {dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,\,x(0)=x_{0},}$

se puede resolver aproximadamente mediante el método de Runge-Kutta . Este esquema iterativo requiere una matriz m x m.

${\displaystyle A=(a_{ij})}$

y un vector

${\displaystyle b=(b_{i})}$

con m componentes.

El esquema define vectores x _n encontrando primero una solución X ₁ , ... , X _m de

${\displaystyle X_{i}=x_{n-1}+h\sum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j})}$

y luego configurar

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+h\sum _{j=1}^{m}b_{j}f(x_{j}).}$

Butcher (1963) demostró que la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias correspondientes

${\displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+s\sum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j}(s)),\,\,\,x(s)=x_{0}+s\sum _{j=1}^{m}b_{j}f(X_{j}(s))}$

tiene la expansión de la serie de poder

${\displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\varphi _{j}(t)\delta _{t}(0),\,\,\,\,x(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),}$

donde φ _j y φ se determinan recursivamente por

${\displaystyle \varphi _{j}(\bullet )=1.\,\,\,\varphi _{i}([t_{1},\cdots ,t_{k}])=\sum _{j_{1},\dots ,j_{k}}a_{ij_{1}}\dots a_{ij_{k}}\varphi _{j_{1}}(t_{1})\dots \varphi _{j_{k}}(t_{k})}$

y

${\displaystyle \varphi (t)=\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(t).}$

Las series de potencias anteriores se denominan series B o series de Butcher . ^{[ 3 ] [ 5 ]} La asignación correspondiente φ es un elemento del grupo de Butcher. El homomorfismo correspondiente al flujo real tiene

${\displaystyle \Phi (t)={1 \over t!}.}$

Butcher demostró que el método de Runge-Kutta proporciona una aproximación de orden n del flujo real siempre que φ y Φ coincidan en todos los árboles con n nodos o menos. Además, Butcher (1972) demostró que los homomorfismos definidos por el método de Runge-Kutta forman un subgrupo denso del grupo de Butcher: de hecho, demostró que, dado un homomorfismo φ', existe un homomorfismo de Runge-Kutta φ que coincide con φ' hasta el orden n ; y que si se dan los homomorfismos φ y φ' correspondientes a los datos de Runge-Kutta ( A , b ) y ( A' , b' ), el homomorfismo producto${\displaystyle \varphi \star \varphi ^{\prime }}$corresponde a los datos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&0\\0&A^{\prime }\\\end{pmatrix}},\,\,(b,b^{\prime }).}$

Hairer y Wanner (1974) demostraron que el grupo de Butcher actúa de forma natural sobre las funciones f . De hecho, al establecer

${\displaystyle \varphi \circ f=1+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),}$

demostraron que

${\displaystyle \varphi _{1}\circ (\varphi _{2}\circ f)=(\varphi _{1}\star \varphi _{2})\circ f.}$

Connes y Kreimer (1998) demostraron que, asociada al grupo de Butcher G, existe un álgebra de Lie de dimensión infinita. La existencia de esta álgebra de Lie está predicha por un teorema de Milnor y Moore (1965) : la conmutatividad y la graduación natural en H implican que el dual graduado H * puede identificarse con el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Connes y Kreimer identifican explícitamente${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con un espacio de derivaciones θ de H en R , es decir, aplicaciones lineales tales que

${\displaystyle \theta (ab)=\varepsilon (a)\theta (b)+\theta (a)\varepsilon (b),}$

el espacio tangente formal de G en la identidad ε. Esto forma un álgebra de Lie con corchete de Lie

${\displaystyle [\theta _{1},\theta _{2}](t)=(\theta _{1}\otimes \theta _{2}-\theta _{2}\otimes \theta _{1})\Delta (t).}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se genera mediante las derivaciones θ _t definidas por

${\displaystyle \theta _{t}(t^{\prime })=\delta _{tt^{\prime }},}$

para cada árbol enraizado t .

El álgebra de Lie de dimensión infinita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de Connes y Kreimer (1998) y el álgebra de Lie L(G) del grupo de Butcher como un grupo de Lie de dimensión infinita no son lo mismo. El álgebra de Lie L(G) puede identificarse con el álgebra de Lie de todas las derivaciones en el dual de H (es decir, el espacio de todas las aplicaciones lineales de H a R ), mientras que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se obtiene del dual graduado. Por lo tanto${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$resulta ser una subálgebra de Lie (estrictamente más pequeña) de L(G) . ^{[ 1 ]}

Connes y Kreimer (1998) proporcionaron un contexto general para el uso de métodos algebraicos de Hopf , con el fin de ofrecer una formulación matemática sencilla de la renormalización en la teoría cuántica de campos . La renormalización se interpretó como la factorización de Birkhoff de bucles en el grupo de caracteres del álgebra de Hopf asociada. Los modelos considerados por Kreimer (1999) tenían un álgebra de Hopf H y un grupo de caracteres G , el grupo de Butcher. Brouder (2000) ha descrito este proceso de renormalización en términos de datos de Runge-Kutta.

En este entorno simplificado, un modelo renormalizable tiene dos piezas de datos de entrada: ^{[ 6 ]}

• un conjunto de reglas de Feynman dadas por un homomorfismo de álgebras Φ de H en el álgebra V de series de Laurent en z con polos de orden finito;
• un esquema de renormalización dado por un operador lineal R en V tal que R satisface la identidad de Rota-Baxter

${\displaystyle R(fg)+R(f)R(g)=R(fR(g))+R(R(f)g)}$

y la imagen de R – id se encuentra en el álgebra V ₊ de series de potencias en z .

Nótese que R satisface la identidad de Rota-Baxter si y solo si id – R la satisface. Un ejemplo importante es el esquema de resta mínima.

${\displaystyle \displaystyle R(\sum _{n}a_{n}z^{n})=\sum _{n<0}a_{n}z^{n}.}$

Además, existe una proyección P de H sobre el ideal de aumento ker ε dada por

${\displaystyle \displaystyle P(x)=x-\varepsilon (x)1.}$

Para definir las reglas de Feynman renormalizadas, observe que el antípoda S satisface

${\displaystyle m\circ (S\otimes {\rm {id}})\Delta (x)=\varepsilon (x)1}$

de modo que

${\displaystyle S\circ P=P\circ S=-m\circ (S\otimes P)\Delta ,}$

Las reglas de Feynman renormalizadas vienen dadas por un homomorfismo${\displaystyle \Phi _{S}^{R}}$de H en V obtenido al girar el homomorfismo Φ • S. El homomorfismo${\displaystyle \Phi _{S}^{R}}$está especificado de forma única por

${\displaystyle \Phi _{S}^{R}=-m(S\otimes \Phi _{S}^{R}\circ P)\Delta .}$

Debido a la forma precisa de Δ, esto da una fórmula recursiva para${\displaystyle \Phi _{S}^{R}}$.

Para el esquema de sustracción mínima, este proceso puede interpretarse en términos de factorización de Birkhoff en el grupo complejo de Butcher. Φ puede considerarse como una aplicación γ del círculo unitario en la complejización G _C de G (se aplica en C en lugar de R ). Como tal, tiene una factorización de Birkhoff.

${\displaystyle \displaystyle \gamma (z)=\gamma _{-}(z)^{-1}\gamma _{+}(z),}$

donde γ ₊ es holomorfa en el interior del disco unitario cerrado y γ _– es holomorfa en su complemento en la esfera de Riemann C${\displaystyle \cup \{\infty \}}$con γ _– (∞) = 1. El bucle γ ₊ corresponde al homomorfismo renormalizado. La evaluación en z = 0 de γ ₊ o del homomorfismo renormalizado da los valores regularizados dimensionalmente para cada árbol con raíz.

Por ejemplo, las reglas de Feynman dependen de un parámetro adicional μ, una "unidad de masa". Connes y Kreimer (2001) demostraron que

${\displaystyle \partial _{\mu }\gamma _{\mu -}=0,}$

de modo que γ _μ– es independiente de μ.

El complejo grupo de Butcher viene con un grupo natural de un parámetro λ _w de automorfismos, dual al de H

${\displaystyle \lambda _{w}(t)=w^{|t|}t}$

para w ≠ 0 en C .

Los bucles γ _μ y λ _w · γ _μ tienen la misma parte negativa y, para t real,

${\displaystyle \displaystyle F_{t}=\lim _{z=0}\gamma _{-}(z)\lambda _{tz}(\gamma _{-}(z)^{-1})}$

define un subgrupo de un parámetro del grupo complejo de Butcher G _C llamado flujo de grupo de renormalización (RG).

Su generador infinitesimal β es un elemento del álgebra de Lie de G _C y se define por

${\displaystyle \beta =\partial _{t}F_{t}|_{t=0}.}$

Se denomina función beta del modelo.

En cualquier modelo dado, suele existir un espacio de dimensión finita de constantes de acoplamiento complejas. El grupo de Butcher complejo actúa mediante difeomorfismos sobre este espacio. En particular, el grupo de renormalización define un flujo en el espacio de constantes de acoplamiento, donde la función beta proporciona el campo vectorial correspondiente.

Los modelos más generales de la teoría cuántica de campos requieren que los árboles con raíz se reemplacen por diagramas de Feynman con vértices decorados con símbolos de un conjunto de índices finito. Connes y Kreimer también han definido álgebras de Hopf en este contexto y han demostrado cómo pueden utilizarse para sistematizar cálculos estándar en la teoría de la renormalización.

Kreimer (2007) ha dado un "modelo de juguete" que involucra regularización dimensional para H y el álgebra V. Si c es un entero positivo y q _μ = q / μ es una constante adimensional, las reglas de Feynman se pueden definir recursivamente mediante

${\displaystyle \displaystyle \Phi ([t_{1},\dots ,t_{n}])=\int {\Phi (t_{1})\cdots \Phi (t_{n}) \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}(|y|^{2})^{-z({c \over 2}-1)}\,d^{D}y,}$

donde z = 1 – D /2 ​​es el parámetro de regularización. Estas integrales se pueden calcular explícitamente en términos de la función Gamma usando la fórmula

${\displaystyle \displaystyle \int {(|y|^{2})^{-u} \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}\,d^{D}y=\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-z-u}{\Gamma (-u+D/2)\Gamma (1+u-D/2) \over \Gamma (D/2)}.}$

En particular

${\displaystyle \displaystyle \Phi (\bullet )=\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-zc/2}{\Gamma (1+cz) \over cz}.}$

Tomando el esquema de renormalización R de sustracción mínima, las cantidades renormalizadas${\displaystyle \Phi _{S}^{R}(t)}$son polinomios en${\displaystyle \log q_{\mu }^{2}}$cuando se evalúa en z = 0.

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